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1、对数运算是高中常用的一种重要运算，它的定义为：如果( $a^{x} = N (a⟩ 0,$ 且 $a \neq$ 1)，那么数x叫作以a为底N 的对数，记作. $x = {l o g}_{a} N .$ 例如： $3^{2} = 9,$ 则 ${l o g}_{3} 9 = 2 .$ 其中a=10的对数叫作常用对数，此时log₁₀N 可记为 lg N.当(a>0，且a≠1，M>0，N>0时， ${l o g}_{a} (M \cdot N) =$ ${l o g}_{a} M + {l o g}_{a} N .$

(1)、解方程： ${l o g}_{x} 4 = 2 .$

(2)、求值：log₄8.

(3)、计算： ${(l g 2)}^{2} + l g 2 \cdot l g 5 + l g 5 - 2018 .$

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2、已知 $a^{m} = 5, a^{n} = 2,$ 求 $a^{3 m + 2 n}$ 的值.

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3、计算：

(1)、 $- a \cdot {(- a)}^{n} =$

(2)、 $27 \cdot 3^{n} =$

(3)、 $- {(x + y)}^{3} \cdot {(x + y)}^{4} =$

(4)、 ${(a - b)}^{3} \cdot {(b - a)}^{4} =$

(5)、 $x \cdot x^{m - 1} + x^{2} \cdot x^{m - 2} - 3 x^{3} \cdot x^{m - 3} =$

(6)、 ${(- x)}^{2} \cdot {(- x)}^{3} + 2 x \cdot {(- x)}^{4} =$

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4、下列计算正确的是( ).

A、 $m^{3} \div m^{2} = m$ B、 ${(a^{3})}^{2} = a^{5}$ C、 $x^{2} \cdot x^{3} = x^{6}$ D、 $3 a^{3} - a^{2} = 2 a$

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5、如图1，在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=40°，点 P 为∠ABC的角平分线与∠ACB的角平分线的交点.求证：AB=PC.

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6、如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点E，若E为BD的中点， $∠ B A C =$ 2∠ACD，AE=2，CE=8，求AB的长.

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7、如图，AD为△ABC的高，H为AC 的垂直平分线与BC 的交点，F为BC上一点，若∠B=2∠C，且AC=AB+BF，求 $\frac{A C - F C}{D F}$ 的值.

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8、如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，E是线段AD上一点，且.AE=CD，BE 的延长线交AC 于点F，若AF=EF，求证：AC=BE.

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9、如图，在 $△ A B C$ 中，AB=AC，过点 C作 BC 的垂线，交 BA的延长线于点D，延长AC至点E，使(CE=DB，连接DE交BC 的延长 E-线于点F，求 $\frac{B C}{C F}$ 的值.

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10、如图，在1 $R t △ A B C$ 中，AB=CB，将 $△ A B C$ 绕点A 旋转 $α (4 5^{\circ} < α < 18 0^{\circ}),$ 连接BD交AC 于点F，AH平分 $∠ C A D$ 交BD于点H，若 $△ F H A$ 为等腰三角形，则 $α =$

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11、在△ABC中，若AB=AC，过其中一个顶点的一条直线将 $△ A B C$ 分成两个等腰三角形，请直接写出△ABC的顶角的度数.

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12、如图是一个5×5的正方形网格，网格中的每个小正方形的边长均为1，点A 和点B 在小正方形的顶点上，点C也在小正方形的顶点上，若 $△ A B C$ 为等腰三角形，则满足条件的点 C 的个数为( ).

A、9 B、8 C、7 D、6

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13、定义：等腰三角形的底边与其一腰的长度的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”.若等腰△ABC的周长为13 cm，AB=5cm ，则它的“优美比” k=.

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14、已知在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画( ).

A、6条 B、7条 C、8条 D、9条

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15、如图，D，E，F分别是△ABC三边上的点，AB=BD=AE，AD=4，EF与AD交于点G，FG=3，∠C=∠AGF=45°，求△AFG的面积.

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16、如图，在△ABC中，AB=AC，若∠ABD=∠ACD.
求证：

(1)、BD=CD.

(2)、AD⊥BC.

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17、如图，在△ABC中，CA=CB，D为AB 边的中点，∠CED=∠CFD=90°，CE=CF.求证：∠ADF=∠BDE.

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18、如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=70°，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连接AP，则∠BAP 的度数是.

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19、如图，已知 $∠ A O B = α,$ ，在射线OA，OB上分别取点. $A_{1}, B_{1},$ 使得 $O A_{1} = O B_{1},$ 连接在 $B_{1} A_{1}, B_{1} B$ 上分别取点. $A_{2}, B_{2},$ 使得 $B_{1} B_{2} = B_{1} A_{2},$ 连接 $A_{2} B_{2}, \dots,$ 按此规律，记 $∠ A_{2} B_{1} B_{2} = θ_{1}, ∠ A_{3} B_{2} B_{3} = θ_{2}, \dots, ∠ A_{n + 1} B_{n} B_{n + 1} = θ_{n}$ ，则 $θ_{2021} - θ_{2020}$ 的值为.

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20、在如图所示的钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若 $A P_{1} = P_{1} P_{2} = P_{2} P_{3} = \dots =$ $P_{13} P_{14} = P_{14} A,$ 则 $∠ A$ 的度数是.

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