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1、定义：在平面直角坐标系中，对两点 $A (x_{1}, y_{1})$ 和 $B (x_{2}, y_{2})$ ，若 $d_{A B} = |x_{1} - x_{2} |+| y_{1} - y_{2}|$ ，则称 $d_{A B}$ 为 $A$ 、 $B$ 两点的“绝对距离”．

(1)、已知点 $A (3, 1)$ ，则 $d_{O A} =$ ______；

(2)、函数 $y = \frac{1}{2} x + 2$ 的图象上存在点 $B$ ，若 $d_{O B} = 3$ ，则点 $B$ 的坐标为______；

(3)、菱形 $A B C D$ 顶点 $A$ 的坐标是 $(2, 3)$ ， $B (5, 1)$ ， $C (8, 3)$ ， $D (5, 5)$ ．
①若点 $E$ 在菱形的边上且 $d_{O E} = d_{O B}$ ，求点 $E$ 的坐标；
②已知点 $P (4, 2)$ ，且菱形 $A B C D$ 上只有两个点到点 $P$ 的“绝对距离”等于 $m$ ，则 $m$ 的取值范围是______．

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2、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点D、E、F分别是 $A B 、 A C 、 B C$ 的中点，连接 $D F 、 E F$ ．

(1)、求证：四边形 $A D F E$ 是菱形；

(2)、若 $B C = 4 ， tan ∠ F E C = \frac{2}{3}$ ，则 $S_{△ A B C} =$ ．

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3、解下列方程：

(1)、 $x^{2} - 4 x = 0$ ；

(2)、 $2 x^{2} - 4 x + 1 = 0$ ．

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4、计算：

(1)、 $\sqrt[3]{27} + \sqrt{{(- 2)}^{2}} - \sqrt{3^{2}}$ ；

(2)、 $- \sqrt{3} - |\sqrt{3} - 2|$ ．

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5、在 $△ A B C$ 中， $∠ C A B = 30 °$ ， $∠ A B C = 45 °$ ， $A C = 2$ ． D为直线 $A B$ 上一点，以 $C D$ 为边在 $C D$ 右侧作等边 $△ C D E$ ，连接 $B E$ ．当 $△ B D E$ 为等腰三角形时，则 $A D$ 的长为．

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6、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交 $A B, A C$ 于点M，N；分别以M，N为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 长为半径作弧，两弧交于点P，作射线 $A P$ 交 $B C$ 于点 $D$ ，作 $B F ⊥ A C$ 于点 $F$ ；以点 $A$ 为圆心， $A D$ 长为半径作弧，以点 $C$ 为圆心， $C D$ 长为半径作弧，两弧在AC右侧交于点E，连接 $A E, C E, E F$ ，若 $E F = m$ ， $\sin ∠ E C A = \frac{4}{5}$ ，则 $B F$ 的长为．（用含m的式子表示）

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7、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A, B$ 分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形 $O A C B$ 是矩形，函数 $y = \frac{1}{x} (x > 0)$ 的图象与边 $A C$ 交于点 $M$ ，与边 $B C$ 交于点 $N$ （ $M, N$ 不重合）．给出下面四个结论：
① $△ C O M$ 与 $△ C O N$ 的面积不一定相等；
② $△ M O N$ 与 $△ M C N$ 的面积一定不相等；
③ $△ M O N$ 不一定是锐角三角形；
④ $△ M O N$ 一定不是等边三角形．
上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A、①③ B、①④ C、②③ D、②④

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8、大自然是美的设计师，如图是一片银杏叶，点 $P$ 是线段AB的黄金分割点 $(A P > B P)$ ，若 $A B = 4 cm$ ，则 $A P$ 的长为（）

A、 $(6 - 2 \sqrt{5}) cm$ B、 $(2 \sqrt{5} - 2) cm$ C、 $(\sqrt{5} - 1) cm$ D、 $(3 - \sqrt{5}) cm$

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9、下列函数表达式中为二次函数的是（）

A、 $y = 2 x - 1$ B、 $y = - x^{2} + 2 x + 3$ C、 $y = \frac{1}{x}$ D、 $y = a x^{2} + b x + c$ （a，b，c是常数）

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10、如图，平面直角坐标系中，A﹙0，a﹚，B﹙b，0﹚且a、b满足 $\sqrt{a + 2 b - 6} + |a - 2 b + 2| = 0$ ．

(1)、∠OAB的度数为；

(2)、已知M点是y轴上的一个动点，以BM为腰向下作等腰直角△BMN，∠MBN=90°，P为MN的中点，试问：M点运动时，点P是否始终在某一直线上运动？若是，请指出该直线；若不是，请说明理由；

(3)、如图，C为AB的中点，D为CO延长线上一动点，以 AD 为边作等边△ADE，连BE交CD于F，当D点运动时，线段EF，BF，DF之间有何数量关系？证明你的结论．

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11、如图，已知在 $△ A B C$ 中， $O B$ 和 $O C$ 分别平分 $∠ A B C$ 和 $∠ A C B$ ，过O作 $D E ∥ B C$ ，分别交 $A B ， A C$ 于点D，E，连接 $A O$ ，

(1)、 $①$ 指出图中所有的等腰三角形，并就其中的一个进行证明；
$②$ 若 $A B = 6 ， A C = 5$ ，则 $△ A D E$ 的周长为 ▲ ；

(2)、若 $A O ⊥ D E$ ，求证： $△ A B C$ 为等腰三角形；

(3)、若 $O D = O E$ ， $△ A B C$ 是否仍为等腰三角形？请证明你的结论．

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12、先阅读下列材料，再解答后面的问题．
一般地，若aⁿ=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即log_ab=n）．
如3⁴=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log₃81（即log₃81=4）．

(1)、计算以下各对数的值：log₂4=             ， log₂16=              ， log₂ 64=                ．

(2)、观察（1）中的结果，则log₂4、 log₂16、log₂ 64之间的关系是                        ．

(3)、猜想：log_aM+log_aN=                                           （a＞0且a≠1，M＞0，N＞0），并根据幂的运算法则：a^m•aⁿ=a^m⁺ⁿ以及对数的含义证明你的猜想．

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13、如图 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D = A E$ ， $∠ B A D = 40 °$ ，求 $∠ E D C$ 的度数．

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14、观察下列各式：
$(x^{2} - 1) \div (x - 1) = x + 1$ ；
$(x^{3} - 1) \div (x - 1) = x^{2} + x + 1$ ；
$(x^{4} - 1) \div (x - 1) = x^{3} + x^{2} + x + 1$ ；
$(x^{5} - 1) \div (x - 1) = x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1$ ；
……
（1）试写出一般情况下 $(x^{n} - 1) \div (x - 1)$ 的结论．
（2）根据这一结果计算：1＋2＋ $2^{2} ＋ 2^{3} ＋$ …＋ $2^{62} ＋ 2^{63}$ ．

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15、计算： $\frac{20012000^{2}}{20011999^{2} + 20012001^{2} - 2}$

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16、在 $△ A B C$ 中， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ， $B D ⊥ A D$ ，垂足为D，过D作 $D E ∥ A B$ ，交 $A C$ 于E．若 $A B = 2 \sqrt{6}$ ， $A C = 2 \sqrt{5}$ ，线段 $D E$ 的长为．

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17、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，直线m，n分别是 $A B$ 、 $A C$ 的垂直平分线，m，n交于点P，连接 $C P$ ．若 $∠ 1 = 21 °$ ，则 $∠ B$ 的度数为．

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18、如图，直线l，m分别与 $△ A B C$ 的边 $B C, A B$ 平行， $∠ 1 = 120 °, ∠ 2 = 100 °$ ，则 $∠ B$ 的度数是．

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19、如果 $(x + 1) (x^{2} - a x + 3)$ 的乘积中不含二次项，那么 $a$ 的值为．

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20、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ．分别以点 $A$ ， $B$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 长为半径画弧，交于点 $M$ ， $N$ ，作直线 $M N$ 分别交 $A B$ ， $A C$ 于点 $D$ ， $E$ ，连接 $C D$ ， $B E$ ．若 $∠ C B E = 18 °$ ，则 $∠ B C D$ 的度数为（）

A、 $18 °$ B、 $32 °$ C、 $36 °$ D、 $54 °$

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