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1、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，如果把 $Rt △ A B C$ 的各边都扩大为原来的4倍，则 $\frac{B C}{A B}$ 的值（）

A、不变 B、缩小为原来的 $\frac{1}{4}$ 倍 C、扩大为原来的2倍 D、扩大为原来的4倍

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2、如图，直线 $l ∥ m ∥ n$ ，线段 $A C$ ， $A D$ 分别交m于点B，E，若 $A C = 3 A B$ ，则 $A D =$ （）

A、 $A E$ B、 $2 A E$ C、 $3 A E$ D、 $4 A E$

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3、甲乙两人玩“石头、剪子、布”游戏，两人玩一次恰好平手（出相同手势）的概率是（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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4、将抛物线 $y = {(x + 2)}^{2}$ 向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为（）

A、 $y = {(x + 4)}^{2} - 3$ B、 $y = {(x + 4)}^{2} + 3$ C、 $y = x^{2} + 3$ D、 $y = x^{2} - 3$

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5、已知 $△ A B C ∽ △ D E F$ ， $A B = 4$ ， $A C = 7$ ， $B C = 8$ ，若 $△ D E F$ 的最长边为16，则 $\frac{S_{△ A B C}}{S_{△ D E F}}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{16}$ D、 $\frac{1}{32}$

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6、如图，在 $△ A B C$ 中，D，E分别是边 $B C ， A B$ 的中点．若 $△ A B C$ 的面积等于8，则 $△ B D E$ 的面积等于（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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7、如图 $1$ ， $△ A B C$ 是边长为 $4$ 的等边三角形， $O$ 为 $B C$ 中点．

(1)、求 $A O$ 的长．

(2)、如图 $2$ ，点 $E$ 在线段 $A C$ 上，连接 $B E$ 并延长至点 $F$ ，使 $E F = B E$ ，连接 $A F$ ， $G$ 为线段 $B C$ 上一动点．

①当 $A E = 1$ 时，求 $A F$ 的长；
②若 $A G = A F$ ，且 $∠ B A F \leq 150 °$ ，求 $A E + B G$ 的最小值．

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8、如图，已知 $B D ⊥ A C$ ，点 $E$ 为垂足， $E F ⊥ A B$ 于点 $F$ ， $F E$ 的延长线交 $C D$ 于点 $G$ ，且 $∠ B = ∠ C$ ．

(1)、若 $∠ B = 35 °$ ，求 $∠ A E F$ 的度数．

(2)、求证： $C G = D G$ ．

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9、爱动脑筋的小华同学在学习完角平分线的性质一节后意犹未尽，经过思考发现里面还有一个有趣的结论：
如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，若 $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，则有 $A B : A C = B D : D C$ ．
对此结论，小华同学的证法如下：
过点 $D$ 作 $D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ， $D F ⊥ A C$ 于点 $F$ ，过点 $A$ 作 $A G ⊥ B C$ 于点 $G$ ，因为 $A D$ 是 $∠ B A C$ 的角平分钱，且 $D E ⊥ A B$ ， $D F ⊥ A C$ ，
所以_______ $=$ _______，
因为 $S_{△ A B D} = \frac{1}{2} A B \times D E$ ， $S_{△ A C D} = \frac{1}{2} A C \times D F$
所以 $S_{△ A B D} : S_{△ A C D} = A B : A C$
因为 $A G ⊥ B C$ ， ∴ $S_{△ A B D} = \frac{1}{2} A G \times B D$ ， $S_{△ A C D} = \frac{1}{2} A G \times D C$
所以 $S_{△ A B D} : S_{△ A C D} = B D : D C$
所以 $A B : A C = B D : D C$
【尝试探究】
（1）请将小华同学的证明过程补充完整．
【迁移应用】
（2）如图2，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = 4$ ， $A C = 3$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 于点 $D$ ， $A M ⊥ B C$ 于点 $M$ ．求 $D M$ 的长．

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10、如图，在等边三角形 $A B C$ 边 $A C$ ， $B C$ 上分别取点P，Q，且 $A P = C Q$ ，连接 $A Q$ ， $B P$ 交于点 $O$ ．

(1)、求证： $△ A B P ≌ △ C A Q$ ．

(2)、求 $∠ B O Q$ 的度数．

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11、如图，在 $6 \times 6$ 的方格纸中，已知格点 $△ A B C$ 和格点线段 $D E$ ，请按要求画出格点三角形（顶点均在格点上）．

(1)、在图1中画 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，使 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 与 $△ A B C$ 关于直线 $D E$ 成轴对称．

(2)、在图2中画 $Rt △ A P C$ ，使 $Rt △ A P C$ 与 $△ A B C$ 不全等．

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12、解不等式 $2 + 3 x \geq 2 x - 1$ ，并把解集表示在数轴上．

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13、如图，在四边形 $A C D B$ 中， $∠ A B D = ∠ A C D = 90 °$ ，连接 $A D$ ，若 $B D = C D$ ．求证： $△ A B D ≌ △ A C D$ ．

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14、如图，在等腰直角 $△ A B C$ 中， $∠ C A B = 90 °$ ， $A D ⊥ B C$ ， $E$ 是 $A D$ 上一点，连接 $C E$ ， $B E$ ，点 $A$ 关于直线 $C E$ 的对称点 $F$ 恰好落在 $B E$ 上，则 $∠ A E B$ 的度数为；连接 $C F$ 交 $A D$ 于点 $G$ ．若 $A G = 1$ ，则 $B F$ 的长为．

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15、如图，已知 $D$ 为 $△ A B C$ 内一点， $C D$ 平分 $∠ A C B$ ， $B D ⊥ C D$ ， $∠ A = ∠ A B D$ ．若 $A C = 9$ ， $B C = 6$ ，则 $B D$ 的长为．

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16、如图，大树 $A B$ 垂直于地面，为测树高，小明在 $C$ 处，测得 $∠ A C B = 15 °$ ，他沿 $C B$ 方向走了30米，到达 $D$ 处，测得 $∠ A D B = 30 °$ ，则树高 $A B$ 为米．

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17、将一把直尺和一块含有 $30 °$ 角的直角三角板按如图所示方式放置，直角三角板的一个顶点在直尺一边上，若 $∠ 1 = 38 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为°．

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18、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，以其三边为边向外作正方形．连结 $G M$ ， $D N$ ，若 $△ A B C$ 的面积为2.5，则阴影部分面积为（）

A、2.5 B、5 C、7.5 D、8

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19、如图，在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，边 $A C$ 的垂直平分线 $E F$ 分别交 $A C$ ， $A B$ 于点E，F，D为 $B C$ 边的中点，点 $M$ 为线段 $E F$ 上一动点，若 $B C = 4$ ， $△ A B C$ 的面积为12，则 $△ C D M$ 周长的最小值为（）

A、8 B、10 C、12 D、14

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20、在 $△ A B C$ 中，a，b，c分别是 $∠ A$ ， $∠ B$ ， $∠ C$ 的对边，下列条件中能判断 $△ A B C$ 是直角三角形的是（）

A、 $∠ A : ∠ B : ∠ C = 1 : 2 : 3$ B、 $a + b = c$ C、 $a : b : c = 1 : 2 : 3$ D、 $∠ A = ∠ B = 3 ∠ C$

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