相关试卷

1、甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线OBCDA表示轿车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题：
（1）当轿车刚到乙地时，此时货车距离乙地　　千米；
（2）当轿车与货车相遇时，求此时x的值；
（3）在两车行驶过程中，当轿车与货车相距20千米时，求x的值．

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2、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A B = 8$ ， $B C = 6$ ，点D是 $A B$ 边上的一个动点，连接 $C D$ ，作 $C E ∥ A B$ ，作 $A E ∥ C D$ ，连接 $D E$ 交 $A C$ 于点O．

(1)、求证： $O D = O E$ ；

(2)、若四边形 $A D C E$ 是菱形，求菱形 $A D C E$ 的面积．

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3、2020年为“扶贫攻坚”决胜之年．某校八年级（1）班的同学积极响应校团委号召，每位同学都向学校对口帮扶的贫困地区捐赠了图书．全班捐书情况如图，请你根据图中提供的信息解答以下问题，
（1）该班共有__________名学生；
（2）本次捐赠图书册数的中位数为__________册，众数为___________册；
（3）该校八年级共有320名学生，估计该校八年级学生本次捐赠图书为7册的学生人数．

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4、已知一次函数 $y = k x + b$ 的图象经过点 $(- 2, 4)$ ，且与直线 $y = 3 x$ 平行，求一次函数的解析式．

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5、如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD＝°．

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6、如图，从数轴的原点O向右数出4个单位，记为点A，过点A作数轴的垂线并截取AB为1个单位长度，连接OB，以点O为圆心，以OB为半径画弧，交数轴的正半轴于点C，则点C所表示的实数为．

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7、数据1，2，3，3，5，5，5的众数和中位数分别是（）

A、5，4 B、3，5 C、5，5 D、5，3

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8、一次函数y=kx+b的图象如图所示，不等式kx+b＞0的解集是（　　）

A、x＞2 B、x＞4 C、x＜2 D、x＜4

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9、下列各式一定是二次根式的是（）

A、 $\sqrt[3]{2}$ B、 $\sqrt{x^{2} + 1}$ C、 $\sqrt{- 4}$ D、 $\sqrt{\frac{1}{x}}$

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10、综合与实践课上、数学老师让同学们通过折纸进行探究活动．

【动手操作】

如图1，将平行四边形纸片 $A B C D$ 沿过顶点 $A$ 的直线折叠，使得点 $D$ 落在 $B C$ 边上的点 $G$ 处，折痕交 $C D$ 于点 $E$ ，再沿着过点 $G$ 的直线折叠，使得点 $B$ 落在 $A G$ 边上的点 $H$ 处，折痕交 $A B$ 于点 $F$ ．将纸片展平，画出对应点 $G$ ， $H$ 及折痕 $A E$ ， $F G$ ，连接 $F H$ ， $A G$ ， $E G$ ．

【初步探究】

（1）确定 $F G$ 和 $A E$ 的位置关系及线段 $A F$ 和 $D E$ 的数量关系．

求知小组经过一番思考和研讨后，发现 $F G ∥ A E$ ，证明过程如下：

由折叠，可知 $∠ D A E = ∠ G A E = \frac{1}{2} ∠ D A G$ ， $∠ F G H = ∠ F G B = \frac{1}{2} ∠ B G A$ ．

又由平行四边形的性质，可知 $D A ∥ B C$ ， ∴ $∠ D A G = ∠ B G A$ ．

∴①______．

∴ $F G ∥ A E$ ．

先测量 $A F$ 和 $D E$ 的长度，猜想其关系为②______．

奋进小组经过一番思考和研讨后，发现在寻找 $A F$ 和 $D E$ 的数量关系时，方法不一：

方法一：证明 $△ A H F ≌ △ G C E$ ，得到 $A F = G E$ ，再由 $G E = D E$ 可得结论．

方法二：过点 $G$ 作 $A B$ 的平行线交 $A E$ 于点 $N$ ，构造平行四边形 $A F G N$ ，然后证 $G N = G E$ 可得结论

补充上述过程中横线上的内容：①______；②______．

【类比探究】

（2）如图2，将平行四边形纸片 $A B C D$ 特殊化为矩形纸片 $A B C D$ ，重复上述操作．请判断 $F G$ 和 $A E$ 的位置关系及 $A F$ 和 $D E$ 的数量关系是否发生变化，并说明理由．

【拓展运用】

（3）在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ，按上述操作折叠并展开后，过点 $G$ 作 $G M ∥ C D$ 交 $A E$ 于点 $M$ ，连接 $H M$ ．当 $∠ M H G = 90 °$ 时，直接写出 $D E$ 的长．

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11、已知菱形 $A B C D$ 的两边 $A B$ 、 $A D$ 的长是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - m x + \frac{m}{2} - \frac{1}{4} = 0$ 的两个实数根，则 $m =$ ．

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12、在某次综合与实践活动中，小华同学了解到鞋号（码）与脚长（毫米）的对应关系如表：
鞋号（码）
…
33
34
35
36
37
…
脚长（毫米）
…
$215 \pm 2$
$220 \pm 2$
$225 \pm 2$
$230 \pm 2$
$235 \pm 2$
…
若小华的脚长为261 $mm$ ，则他的鞋号（码）是（）

A、39 B、40 C、41 D、42

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13、阅读下列材料，并回答问题．
利用完全平方公式，可以将多项式 $a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 变形为 $a {(x + m)}^{2} + n$ 的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式 $a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的配方法．
运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．例如：
$x^{2} + 11 x + 24 = x^{2} + 11 x + {(\frac{11}{2})}^{2} - {(\frac{11}{2})}^{2} + 24$ $= {(x + \frac{11}{2})}^{2} - \frac{25}{4} = (x + \frac{11}{2} + \frac{5}{2}) (x + \frac{11}{2} - \frac{5}{2}) = (x + 8) (x + 3)$
根据以上材料，解答下列问题：

(1)、用多项式的配方法将 $x^{2} + 8 x - 1$ 化成 ${(x + m)}^{2} + n$ 的形式_______________；

(2)、下面是某位同学用配方法及平方差公式把多项式 $x^{2} - 3 x - 40$ 进行分解因式的解答过程：
解： $x^{2} - 3 x - 40$
$= x^{2} - 3 x + 3^{2} - 3^{2} - 40$ 步骤①
$= {(x - 3)}^{2} - 49$ 步骤②
$= (x - 3 + 7) (x - 3 - 7)$ 步骤③
$= (x + 4) (x - 10)$ 步骤④
老师说，这位同学的解答过程中有错误，该同学解答中开始出现错误的地方是从步骤_______开始的．

(3)、通过上述材料的学习，证明： $x$ ， $y$ 取任何实数时，多项式 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 16$ 的值总为正数．

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14、综合与实践：数学活动课上，某数学兴趣小组对图形的翻折进行了如下探究．
问题背景：已知等腰直角三角形 $A B C$ ， $∠ C = 90 °$ ．
（1）如图1，若直线l经过 $A B$ 的中点O，将边 $A B$ 关于直线l翻折，点 $A^{'}$ ， $B^{'}$ 分别为A，B的对应点．连接 $A A^{'} ， A B^{'} ， B B^{'} ， A^{'} B$ ，判断四边形 $A A^{'} B B^{'}$ 的形状，并说明理由；
问题迁移：
（2）如图2， $A B = 4$ ，直线l与 $A B$ 交于点H，点A关于直线l的对称点 $A^{'}$ 恰好落在 $B C$ 上，若 $A A^{'}$ 恰好平分 $∠ C A B$ ，求 $C A^{'}$ 的长；
问题拓展：
（3）如图3， $C D ∥ A B$ ，且 $C D = A B$ ，若直线l经过点C，将边 $A B$ 关于直线l翻折，当A，B的对应点 $A^{'}$ ， $B^{'}$ 与点D在同一条直线上时，求 $∠ A^{'} C D$ 的度数．

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15、两个智能机器人在如图所示的 $Rt △ A B C$ 区域工作， $∠ A B C = 90 ° ， A B = 40 m$ ， $B C = 30 m$ ，直线 $B D$ 为生产流水线，且 $B D$ 平分 $△ A B C$ 的面积（即D为 $A C$ 中点）．机器人甲从点A出发，沿 $A \to B$ 的方向以 $v_{1} (m / min)$ 的速度匀速运动，其所在位置用点P表示，机器人乙从点B出发，沿 $B \to C \to D$ 的方向以 $v_{2} (m / min)$ 的速度匀速运动，其所在位置用点Q表示．两个机器人同时出发，设机器人运动的时间为 $t (min)$ ，记点P到 $B D$ 的距离（即垂线段 $P P^{'}$ 的长）为 $d_{1} (m)$ ，点Q到 $B D$ 的距离（即垂线段 $Q Q^{'}$ 的长）为 $d_{2} (m)$ ．当机器人乙到达终点时，两个机器人立即同时停止运动，此时 $d_{1} = 7.5 m ， d_{2}$ 与t的部分对应数值如下表 $(t_{1} < t_{2})$ ：
$t (min)$
0
$t_{1}$
$t_{2}$
5.5
$d_{2} (m)$
0
16
16
0

(1)、机器人乙运动的路线长为________m；

(2)、求 $t_{2} - t_{1}$ 的值；

(3)、当机器人甲、乙到生产流水线 $B D$ 的距离相等（即 $d_{1} = d_{2}$ ）时，求t的值．

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16、定义：在平面直角坐标系中，对两点 $A (x_{1}, y_{1})$ 和 $B (x_{2}, y_{2})$ ，若 $d_{A B} = |x_{1} - x_{2} |+| y_{1} - y_{2}|$ ，则称 $d_{A B}$ 为 $A$ 、 $B$ 两点的“绝对距离”．

(1)、已知点 $A (3, 1)$ ，则 $d_{O A} =$ ______；

(2)、函数 $y = \frac{1}{2} x + 2$ 的图象上存在点 $B$ ，若 $d_{O B} = 3$ ，则点 $B$ 的坐标为______；

(3)、菱形 $A B C D$ 顶点 $A$ 的坐标是 $(2, 3)$ ， $B (5, 1)$ ， $C (8, 3)$ ， $D (5, 5)$ ．
①若点 $E$ 在菱形的边上且 $d_{O E} = d_{O B}$ ，求点 $E$ 的坐标；
②已知点 $P (4, 2)$ ，且菱形 $A B C D$ 上只有两个点到点 $P$ 的“绝对距离”等于 $m$ ，则 $m$ 的取值范围是______．

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17、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点D、E、F分别是 $A B 、 A C 、 B C$ 的中点，连接 $D F 、 E F$ ．

(1)、求证：四边形 $A D F E$ 是菱形；

(2)、若 $B C = 4 ， tan ∠ F E C = \frac{2}{3}$ ，则 $S_{△ A B C} =$ ．

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18、解下列方程：

(1)、 $x^{2} - 4 x = 0$ ；

(2)、 $2 x^{2} - 4 x + 1 = 0$ ．

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19、计算：

(1)、 $\sqrt[3]{27} + \sqrt{{(- 2)}^{2}} - \sqrt{3^{2}}$ ；

(2)、 $- \sqrt{3} - |\sqrt{3} - 2|$ ．

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20、在 $△ A B C$ 中， $∠ C A B = 30 °$ ， $∠ A B C = 45 °$ ， $A C = 2$ ． D为直线 $A B$ 上一点，以 $C D$ 为边在 $C D$ 右侧作等边 $△ C D E$ ，连接 $B E$ ．当 $△ B D E$ 为等腰三角形时，则 $A D$ 的长为．

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鞋号（码）	…	33	34	35	36	37	…
脚长（毫米）	…	$215 \pm 2$	$220 \pm 2$	$225 \pm 2$	$230 \pm 2$	$235 \pm 2$	…

$t (min)$	0	$t_{1}$	$t_{2}$	5.5
$d_{2} (m)$	0	16	16	0