相关试卷

1、如图1，已知 $∠ A O B$ ，在 $∠ A O B$ 内部画射线 $O C$ 得到三个角，分别为 $∠ A O C$ ， $∠ B O C$ ， $∠ A O B$ ．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线 $O C$ 为 $∠ A O B$ 的“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于 $0 °$ 且小于 $180 °$ 的角）
阅读理解：
（1）角的平分线这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）
初步应用：
（2）如图1，若 $∠ A O B = 72 °$ ，射线 $O C$ 为 $∠ A O B$ 的“幸运线”，求 $∠ A O C$ 的度数；
解决问题：
（3）如图2，已知 $∠ A O B = 72 °$ ，射线 $O M$ 从 $O A$ 出发，以每秒 $12 °$ 的速度绕点O顺时针旋转，同时射线 $O N$ 从 $O B$ 出发，以每秒 $15 °$ 的速度绕点O顺时针旋转，设旋转的时间为t秒（ $0 < t < 6$ ）．若 $O M$ ， $O N$ ， $O B$ 三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求t的值．

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2、【阅读材料】
“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如我们把 $(a + b)$ 看成一个整体，则 $4 (a + b) - 2 (a + b) + (a + b) = (4 - 2 + 1) (a + b) = 3 (a + b)$
【尝试应用】
（1）已知 $4 a - b = 3$ ， $x = - 4$ ， $y = - \frac{1}{2}$ ，求 $2 a x - 16 b y^{3} - (12 a - 3 b) + 2026$ 的值；
【拓展探索】
（2）把一个大正方形和四个相同的小正方形按图1，2两种方式摆放，已知 $a + b = 32, a - b = 16$ ，请观察图形，求图2中阴影部分的面积．

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3、教科书中这样写道：“我们把多项式 $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 及 $a^{2} - 2 a b + b^{2}$ 叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能求代数式的最大值、最小值．如： $x^{2} + 2 x - 3 = (x^{2} + 2 x + 1) - 4 = {(x + 1)}^{2} - 4 = (x + 1 + 2) (x + 1 - 2) = (x + 3) (x - 1)$ ，如：求代数式 $2 x^{2} + 4 x - 6$ 的最小值． $2 x^{2} + 4 x - 6 = 2 (x^{2} + 2 x - 3) = 2 {(x + 1)}^{2} - 8$ ．可知当 $x = - 1$ 时， $2 x^{2} + 4 x - 6$ 有最小值，最小值是 $- 8$ ．根据阅读材料用配方法解决下列问题：

(1)、分解因式： $x^{2} - 4 x - 5 =$ ______．

(2)、当 $x$ 为何值时，多项式 $x^{2} - 4 x + 3$ 有最小值？并求出这个最小值．

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4、材料1：一般地， $n$ 个相同因数 $a$ 相乘： $\underset{n 个}{\underset{⏟}{a \cdot a \cdot a \cdot \dots \cdot a \cdot a}}$ 记为 $a^{n}$ ，如 $2^{4} = 16$ ，此时，4叫做以2为底的16的对数，记为 ${log}_{2} 16$ （即 ${log}_{2} 16 = 4$ ）．
（1）计算： ${log}_{3} 27 =$ ________， ${({log}_{2} 8)}^{2} + \frac{1}{2} {log}_{3} 9 =$ ________；
材料2：新规定一种运算法则：自然数1到 $n$ 的连乘积用 $n!$ 表示，例如： $1! = 1$ ， $2! = 2 \times 1 = 2$ ， $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ ， $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ ， ⋯，在这种规定下：
（2）求出满足该等式的 $x$ ： $\frac{|x - 1| \cdot 6!}{7!} = 1$ ；
（3）当 $x$ 为何值时， $|x + {log}_{4} 16| + |x - 5| = 11$ ．

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5、综合与实践．
一块材料的形状是锐角三角形 $A B C$ ，边 $B C = 120 mm$ ，高 $A D = 80 mm$ ．
【特例初探】
（1）若把它加工成正方形零件如图（a），使正方形的一边在 $B C$ 上，其余两个顶点分别在 $A B$ 和 $A C$ 上．这个正方形零件的边长是多少？
【迁移运用】
（2）若把它加工成矩形零件，如图（b），当宽 $E G$ 为多少时，矩形有最大面积，最大面积是多少？

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6、多项式 $2 x^{2} - 8$ 彻底因式分解的结果是（）

A、 $2 (x^{2} - 4)$ B、 $2 (x + 4) (x - 4)$ C、 $(2 x + 2) (x - 4)$ D、 $2 (x + 2) (x - 2)$

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7、在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 3,0)$ ， $B (1,0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图甲，在 $y$ 轴上找一点 $D$ ，使 $△ A C D$ 为等腰三角形，请直接写出点 $D$ 的坐标；

(3)、如图乙，点 $P$ 为抛物线对称轴上一点，是否存在 $P$ 、 $Q$ 两点使以点 $A$ ， $C$ ， $P$ ， $Q$ 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出 $P$ 、 $Q$ 两点的坐标，若不存在，请说明理由．

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8、如图，已知 $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 为圆上一点， $A D$ 垂直于过点 $C$ 的直线，交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，垂足为点 $D$ ， $A C$ 平分 $∠ B A D$ ．

(1)、求证： $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A C = 8$ ， $B C = 6$ ，求 $D E$ 的长．

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9、如图，轮船甲和轮船乙同时离开海港 $O$ ，轮船甲沿北偏东 $60 °$ 的方向航行，轮船乙沿东南方向航行， $2$ 小时后，轮船甲到达 $A$ 处，轮船乙到达 $B$ 处，此时轮船甲正好在轮船乙的正北方向 $.$ 已知轮船甲的速度为每小时 $25$ 海里，求轮船乙的速度 $. ($ 结果保留根号 $)$

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10、如图，一次函数 $y = x + 2$ 与反比例函数 $y = \frac{a}{x}$ 的图象相交于 $A$ ， $B$ 两点，且点 $A$ 的坐标为 $(1, m)$ ，点 $B$ 的坐标为 $(n, - 1)$ ．

(1)、求 $m$ ， $n$ 的值和反比例函数的解析式；

(2)、点 $A$ 关于原点 $O$ 的对称点为 $A^{'}$ ，在 $x$ 轴上找一点 $P$ ，使 $P A^{'} + P B$ 最小，求出点 $P$ 的坐标．

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11、列方程 $($ 组 $)$ 解应用题
如图，巴桑家客厅的电视背景墙是由 $10$ 块形状大小相同的长方形墙砖砌成．

(1)、求一块长方形墙砖的长和宽；

(2)、求电视背景墙的面积．

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12、某校为了改善学生伙食状况，更好满足校园内不同民族学生的饮食需求，充分体现对不同民族学生饮食习惯的尊重，进行了一次随机抽样调查，调查了各民族学生的人数，绘制了两幅不完整的统计图，如图．
请根据图中给出的信息，回答下列问题：

(1)、调查的样本容量为，并把条形统计图补充完整；

(2)、珞巴族所在扇形圆心角的度数为；

(3)、学校为了举办饮食文化节，从调查的四个民族的学生中各选出一名学生，再从选出的四名学生中随机选拔两名主持人，请用列表或画树状图的方法求出两名主持人中有一名是藏族学生的概率．

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13、圆锥的底面半径是 $3 c m$ ，母线长 $10 c m$ ，则它的侧面展开图的圆心角的度数为．

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14、函数 $y = \frac{1}{x - 5}$ 中自变量 $x$ 的取值范围是．

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15、如图，矩形 $A B C D$ 中， $A C$ 和 $B D$ 相交于点 $O$ ， $A D = 3$ ， $A B = 4$ ，点 $E$ 是 $C D$ 边上一点，过点 $E$ 作 $E H ⊥ B D$ 于点 $H$ ， $E G ⊥ A C$ 于点 $G$ ，则 $E H + E G$ 的值是( )

A、 $2.4$ B、 $2.5$ C、 $3$ D、 $4$

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16、如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $E$ 为 $B C$ 延长线上一点 $.$ 若 $∠ D C E = 65 °$ ，则 $∠ B O D$ 的度数是( )

A、 $65 °$ B、 $115 °$ C、 $130 °$ D、 $140 °$

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17、如图，已知 $a / / b$ ，点 $A$ 在直线 $a$ 上，点 $B$ ， $C$ 在直线 $b$ 上， $∠ B A C = 90 °$ ， $∠ 1 = 30 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数是( )

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $75 °$

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18、下列计算正确的是( )

A、 $2 a^{2} b - 3 a^{2} b = - a^{2} b$ B、 $a^{3} \cdot a^{4} = a^{12}$ C、 $(- 2 a^{2} b)^{3} = - 6 a^{6} b^{3}$ D、 $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$

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19、 $2023$ 年 $1$ 月 $18$ 日，国务院新闻办公室介绍了 $2022$ 年知识产权相关工作情况，截至 $2022$ 年底，我国发明专利有效量为 $421.2$ 万件 $.$ 将数据 $4212000$ 用科学记数法表示为( )

A、 $0.4212 \times 10^{7}$ B、 $4.212 \times 10^{6}$ C、 $4.212 \times 10^{5}$ D、 $42.12 \times 10^{5}$

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20、如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴分别交于点 $A (- 2,0)$ ， $B (4,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $B C$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图 $1$ ，点 $P$ 是第一象限内抛物线上的一个动点，过点 $P$ 作直线 $l ⊥ x$ 轴于点 $M (m, 0)$ ，交 $B C$ 于点 $N$ ，连接 $C M$ ， $P B$ ， $P C . △ P C B$ 的面积记为 $S_{1}$ ， $△ B C M$ 的面积记为 $S_{2}$ ，当 $S_{1} = S_{2}$ 时，求 $m$ 的值；

(3)、在 $(2)$ 的条件下，点 $Q$ 在抛物线上，直线 $M Q$ 与直线 $B C$ 交于点 $H$ ，当 $△ H M N$ 与 $△ B C M$ 相似时，请直接写出点 $Q$ 的坐标．

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