相关试卷

【猜想】（1）如图①，$\angle EOF$的顶点O在正方形$ADBC$两条对角线的交点处，$\angle EOF=90°$ ， 将$\angle EOF$绕点O旋转，旋转过程中，$\angle EOF$的两边分别与正方形$ADBC$的边$BC$和$CA$交于点E和点F（点F与点C、A不重合），则$OE$与$OF$之间满足的数量关系是______；

【问题情境】在数学活动课上，老师提出了一个问题：如图，在等腰$△ACB$中，$\angle ACB=90°$ ， $AC=BC$ ， O是$AB$的中点，E是直线$BC$上的一个动点，过点O作$OF\perp OE$ ， 交直线$AC$于点F．

【证明猜想】（2）如图②，当点E在线段$CB$上时，请判断线段$OE,OF$的数量关系，并说明理由；

【类比探究】（3）如图③，当点E在线段$CB$的延长线上时，（2）中的结论是否依然成立？请说明理由．

特例感知：

（1）如图，已知线段$AB=14\text{cm}$ ， 点C为线段$AB$上的一个动点，点D，E分别是$AC$和$BC$的中点．若$AC=4\text{cm}$ ， 则线段$DE=$          $\text{cm}$；

知识迁移：

（2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图①，若$\angle AOB=120°$ ， $OC$是$\angle AOB$内部的一条射线，射线$OM$平分$\angle AOC$ ， 射线$ON$平分$\angle BOC$ ， 求$\angle MON$的度数．

拓展探究：

（3）已知$\angle COD$在$\angle AOB$内部的位置如图②所示，$\angle AOB=\alpha °$$\left(\alpha <180\right)$ ， $\angle COD=30°$ ， 且$\angle DOM=2\angle AOM$ ， $\angle CON=2\angle BON$ ， 请直接写出$\angle MON=$          $°$ ． （用含α的式子表示）

综合提升：

（4）如图③所示，若$\angle AOB=120°$ ， $\angle COD=60°$ ， 射线$OE$、$OF$分别在$\angle AOC$和$\angle BOD$的内部．且$\angle EOC=\frac{1}{3}\angle AOC$ ， $\angle DOF=\frac{1}{3}\angle BOD$ ， 请直接写出$\angle EOF=$          $°$ ．

材料二：如图2，由画函数$y=2x-1$与$y=-0.5x+1$的图象可知，利用所学知识一定能证出这两条直线是互相垂直的．由此我们得到正确的结论二：在直线$l_1$：$y=k_{1}x+b_1$与$l_2$：$y=k_{2}x+b_2$中，如果$k_1·k_2=-1$ ， 那么$l_1\perp l_2$ ， 反过来，也成立．

应用举例：已知直线$y=-\frac{1}{6}x+5$与直线$y=kx+2$互相垂直，则$-\frac{1}{6}k=-1$ ， 所以$k=6$ ．

解决问题：

在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“等角线四边形”（如图1）进行研究．

定义：对角线相等的凸四边形为等角线四边形．

（1）在我们下列学过的特殊四边形中，一定是等角线四边形的有______（填序号）；

①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．

性质探究

（2）如图2，若E，F，G，H分别是等角线四边形$ABCD$四条边$AB$ ， $BC$ ， $CD$ ， $DA$的中点，此时以E，F，G，H为顶点的四边形称为它的中点四边形，当$AC\perp BD$时，请判断中点四边形$EFGH$的形状并说明理由；

（3）如图3，在$△ABC$中，$AB=13,BC=11,CA=8$ ， D为$△ABC$外一点，若以A，B，C，D四点为顶点的四边形为等对角线四边形且对角线互相垂直，请直接写出以A，B，C，D为顶点的等角线四边形的中点四边形的面积．

问题提出：如图1，在$△ABC$中，$AD$平分$\angle BAC$ ， 交$BC$于点D，且$\angle ACB=2\angle B$ ， 则$AB$ ， $CD$ ， $AC$之间存在怎样的数量关系？并说明理由．

方法运用：

（1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长$AC$至点E，使得$AE=AB$ ， 连接$DE$ ， ……，请判断$AB$ ， $CD$ ， $AC$之间的数量关系并补充完整解题过程．

（2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在$AB$上截取线段构造全等三角形来解题．如图3，在线段$AB$上截取$AF$ ， 使得$AF=$①________，连接②________．请补全空格，并在图3中画出辅助线．

延伸探究：

（3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形$ABCDE$中，$EA=ED$ ， $AB+DC=BC$ ， $\angle A+\angle D=180°$ ， 若$\angle BCD=140°$ ， 求$\angle BCE$的度数．