相关试卷

1、如图1，点P为∠MON的角平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满足 $O A \cdot O B = O P^{2},$ 我们就把∠APB叫做∠MON 的互智角.

(1)、若∠MON=60°， ∠APB是∠MON的互智角，求∠APB的度数；

(2)、若 $∠ M O N = α (0^{\circ} < α < 9 0^{\circ}), O P = \sqrt{2}, ∠ A P B$ 是∠MON的互智角，连接AB，用含α的式子分别表示∠APB的度数和△AOB的面积；

(3)、如图2， C是函数 $y = \frac{2}{x} （ x > 0 ）$ 图象上的一个动点，过点 C的直线分别交x轴和y轴于A，B两点，且满足BC=CA，请求出∠AOB的互智角∠APB的顶点P的坐标.

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2、某校九年级数学活动小组开展了“古塔高度的测量”项目式学习，形成了如下报告.

活动背景	文峰塔(俗称镇龙塔)坐落于湖南省境内，承载着深厚的历史文化底蕴与科学实践价值，其精湛的建造技艺与独特的风水文化象征(如“青云得路”“文光射斗”等门额题刻)体现了古人对自然与人文和谐统一的追求.
活动主题	测算文峰塔的高度
测量工具	无人机，测角仪，计算器等
测量数据	1.小山坡AB的坡比为 $i = 1 : 2;$ 2.从点B到点A上升的高度为3米； 3. A处测得塔顶D的仰角为 $31 °;$ 4.无人机从地面沿竖直方向飞行15m到达点P处； 5.在P处测得塔角E的俯角为 $60 °,$ 测得坡底B处的俯角为 $30 °$ ． (点B，E在同一水平线上)
测量示意图
任务 1	⑴求BE的距离；(结果精确到1米)
任务2	⑵求文峰塔DE的高度.(结果精确到0.1米)
参考数据	$s i n 31 ° \approx 0.52, c o s 31 ° \approx 0.86, t a n 31 ° \approx 0.6$ ， $\sqrt{2} \approx 1.414, \sqrt{3} \approx 1.732$

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3、如图，在△ABC中， ∠BAC的平分线交CB于点 D，点E为线段AD 的中点，AC=5， AB=10.

(1)、求证： △AEC~△ADB；

(2)、若AD=4，求△ADC的面积.

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4、2025年湖南省足球联赛正在火热进行，球迷们都穿着主队球服应援球队.商家销售某主队球服，每件进价为60元，销售价为 100元时，每天可售出40件；经市场调查发现若每件降价1元，每天可多售出2件.

(1)、在让利于顾客的情况下，每件球服降价多少元时，商家每天能盈利1750元?

(2)、当每件球服降价多少元时，商家每天盈利最大?并求出盈利最大值.

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5、如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象交于.A(2，-3)，B(-3，n)两点.

(1)、求反比例函数的表达式；

(2)、请直接写出关于x的不等式 $k x + b > \frac{m}{x}$ 的解集.

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6、已知m，n 是关于 x 的一元二次方程 $x^{2} + b x + 2 = 0$ 的两个不同的解，其中 $m = \sqrt{3} + 1,$ 请求出b和n的值.

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7、计算： $6 t a n 3 0^{\circ} + {(\frac{1}{3})}^{- 1} - \sqrt{12} - {(π - 2025)}^{0} .$

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8、如图，点A在反比例函数 $y = \frac{12}{x}$ 的图象上，作 $R t △ A B C,$ ，边BC在x轴上，点D为斜边AC的中点，直线BD交y轴于点E，则 $△ B C E$ 的面积为.

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9、《九章算术》中记载“今有勾6步，股14步，问勾中容方几何?”(注：“勾”“股”为直角三角形的两条直角边)．如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 9 0^{\circ}, A C = 6, B C = 14,$ 内接正方形 CDEF (D 在 AC 上，E 在 AB 上，F 在 BC 上)，则正方形的边长为．

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10、如图，是二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的部分图象，由图象可知不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集是.

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11、若关于x的一元二次方程. $x^{2} - 2 x + k = 0$ 有两个相等的实数根，则代数k的值为．

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12、已知-2<x<4，化简： $\sqrt{{(x + 2)}^{2}} + \sqrt{{(x - 4)}^{2}} =$ ．

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13、如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将 $△ A B O$ 扩大到原来的2倍，得到 $△ A^{'} B^{'} O$ .若点 A'的坐标是(2，-4)，则点A 的坐标是.

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14、化简 $\sqrt{25} \times \sqrt{\frac{1}{9}}$ 的结果为.

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15、如果二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的系数a，b，c满足a-b+c=0，那么我们把这种函数称为“潇湘”函数，对于“潇湘”函数，下列说法中正确的个数有（）
①该“潇湘”函数必过定点(-1，0)；
②若y关于x的函数. $y = x^{2} + 2 a x - 3 a^{2}$ 是“潇湘”函数，则a=-1；
③若该“潇湘”函数的图象与x轴有且只有一个交点时，则a=c；
④若该“潇湘”函数的图象与x轴的两个交点坐标为(x₁ ， 0)，(x₂ ， 0)，则 $x_{1} + x_{2} + 1 = - x_{1} x_{2};$

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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16、在第十五届全运会女子10米跳台跳水比赛中，某运动员在完成某一跳后，其运动轨迹成抛物线状，重心相对于水面的竖直高度h(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系如下表所示：（）
t/s
0
0.3
0.6
0.9
1.5
1.8
●●
h/m
10
10.75
11.25
11.55
11.55
11.25

下列结论正确的是

A、运动员的重心相对水面的最大高度是11.55m B、运动轨迹路线的对称轴是直线t=1.2 C、运动员的重心相对水面的高度是10.75m时，时间为0.3s D、当t=2.4s时，运动员入水

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17、如图，在一条笔直的海岸线(东西方向)的北边有一座灯塔 P小华在海岸线上的点A 测得灯塔P在北偏东 70°的方向上；小华继续沿着正东方向走了a海里到达点B处，此时测得灯塔P在北偏东50°的方向上.那么灯塔P到海岸线的距离为（）

A、atan50°海里 B、 $\frac{a}{s i n 4 0^{\circ}}$ 海里 C、asin40°海里 D、 $\frac{a}{t a n 5 0^{\circ}}$ 海里

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18、下列命题是真命题的是（）

A、若两个相似三角形对应中线的比是1∶3，则它们的面积比是1∶9 B、对于反比例函数 $y = - \frac{3}{x},$ 函数值y随x的增大而增大 C、二次函数 $y = {(x + 1)}^{2} + 2$ 的顶点坐标是(1，2) D、 $\sqrt{8}$ 是最简二次根式

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19、如图，已知∠A=∠D ，下列条件不能判定△ABC~△DEF的是（）

A、∠B=∠E B、 $\frac{A C}{D F} = \frac{A B}{D E}$ C、 $\frac{B C}{E F} = \frac{A C}{D F}$ D、∠C=∠F

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20、如图，AE，BF是人字梯的两条支撑腿，梯子中间的横档AB，CD，EF互相平行.已知AC=50cm，AE=75cm， DF=20cm，那么BD的长为（）

A、50cm B、30cm C、60cm D、40cm

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t/s	0	0.3	0.6	0.9	1.5	1.8	●●
h/m	10	10.75	11.25	11.55	11.55	11.25