相关试卷

1、体育课上的侧压腿动作可以抽象为如图所示的几何图形，若点 $O$ ， $A$ ， $B$ 在同一条直线上， $∠ 1 = 120 °$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 2$ ，则 $A C =$ （）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $4$ D、 $8$

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2、若多项式 $9 x^{2} + 12 x + m$ 可以用完全平方公式分解因式，则m的值为（）

A、 $- 4$ B、 $\pm 6$ C、2 D、4

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3、下列式子中，不是分式的是（）

A、 $\frac{1}{a}$ B、 $\frac{2}{a + b}$ C、 $\frac{a b}{3}$ D、 $a + \frac{1}{b}$

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4、维生素D在人体健康中发挥着至关重要的作用，从维持骨骼健康到调节免疫功能，再到预防多种疾病，维生素D都扮演着重要的角色．某天林林维生素D的摄入量约为 $0.0000016 g$ ，数据 $0.0000016$ 用科学记数法表示为（）

A、 $1.6 \times 10^{- 5}$ B、 $1.6 \times 10^{- 6}$ C、 $1.6 \times 10^{- 7}$ D、 $0.16 \times 10^{- 5}$

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5、贵州文化源远流长，每一个城市的标志性建筑物都有自己独特的标志．以下文化场馆标志中，属于轴对称图形的是（）

A、贵州省地质博物馆 B、贵州科技馆 C、遵义大剧院 D、贵州省民族博物馆

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6、一次函数 $y_{1} = a x + b (a \neq 0)$ 的图象恒过定点 $(1, 1)$ ．

(1)、①若图象还经过 $(2, 3)$ ，求该一次函数的表达式．
②若当 $- 3 \leq x \leq 4$ 时，一次函数 $y_{1}$ 的最大值和最小值的差是6．求 $b$ 的值．

(2)、对于一次函数 $y_{2} = 2 x + a$ 当 $x > 0$ 时， $y_{1} < y_{2}$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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7、勾股定理的证明方法多种多样，我国古代数学家赵爽构造“弦图”证明了勾股定理，后人称其为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成．其中 $∠ A G B = ∠ D F A = ∠ C E D = ∠ B H C = 90^{\circ}$ ，连接 $A E$ 交 $B G$ 于点 $P$ ，连接 $B E$ ，得到图1．若 $∠ A B E = ∠ A E B$ ．

(1)、求证： $E F = D F$ ；

(2)、延长 $A E$ ，交 $B C$ 于点 $M$ ，若 $A B = 5$ ，求 $C M$ 的长．

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8、卫生防疫部门规定游泳池必须定期换水、清洗、我区某游泳池周六早上从 $8 : 00$ 打开排水孔开始排水，排水孔的排水速度保持不变，期间因清洗游泳池需要暂停排水，游泳池的水在 $11 : 30$ 全部排完．游泳池内的水量 $Q$ $(m^{3})$ 和开始排水后的时间 $t (h)$ 之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题：

(1)、直接写出排水孔的排水速度，并求当 $2 \leq t \leq 3.5$ 时， $Q$ 关于 $t$ 的函数表达式．

(2)、排水多少小时后游泳池内存水量小于300立方米？

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9、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ A < 90 °$ ，点 $D$ ， $E$ ， $F$ 分别在边 $A B 、 B C$ ， $A C$ 上，连接 $D E$ ， $D F$ ， $E F$ ．点 $B$ 和点 $F$ 关于直线 $D E$ 对称，设 $\frac{B C}{A B} = k$ ，若 $A D = B D$ ，则 $\frac{F A}{F C} =$ （结果用含 $k$ 的代数式表示）．

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10、函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 的图象经过点 $A (1, 2), B (3, 0)$ ，则不等式 $0 < k x + b < 2 x$ 的解集为．

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11、已知 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), (x_{3}, y_{3})$ 为直线 $y = - 2 x + 1$ 上的三个点，且 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ ，则以下判断正确的是（）

A、若 $y_{1} y_{3} < 0$ ，则 $x_{1} x_{2} > 0$ B、若 $y_{1} y_{2} > 0$ ，则 $x_{2} x_{3} > 0$ C、若 $y_{2} y_{3} < 0$ ，则 $x_{1} x_{3} > 0$ D、若 $y_{2} y_{3} < 0$ ，则 $x_{1} x_{2} > 0$

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12、不等式组 $\{\begin{array}{l} x \leq a + 1 \\ x > 2 \end{array}$ 有3个整数解，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $4 \leq a < 5$ B、 $4 < a \leq 5$ C、 $5 < a \leq 6$ D、 $5 \leq a < 6$

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13、具备下列条件的 $△ A B C$ 中，不是直角三角形的是（）

A、 $∠ A + ∠ B = ∠ C$ B、 $∠ A = 2 ∠ B = 3 ∠ C$ C、 $∠ A - ∠ B = ∠ C$ D、 $A B : B C : A C = 5 : 12 : 13$

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14、“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图①，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $B D$ 为 $A C$ 边上的中线．将，其 $△ A B D$ 沿射线 $B C$ 的方向平移，得到 $△ E F G$ ，其中点 $A 、 B 、 D$ 的对应点分别为 $E 、 F 、 G$ ．如图②，当线段 $E F$ 经过点D时，连接 $D G 、 G C$ ，请判断四边形 $D F C G$ 的形状，并说明理由．
数学思考
（1）请回答老师提出的问题；
深入探究
（2）老师将图②中的 $△ E F G$ 绕点F按逆时针方向旋转得到 $△ P F Q$ ，其中点 $E 、 G$ 的对应点分别为 $P 、 Q$ ，线段 $P F 、 Q F$ 分别与边 $B D$ 交于点 $M 、 N$ ．如图③，当 $P Q ∥ B D$ 时，让同学们提出新的问题．“勤学小组”提出问题：试猜想线段 $P M$ 和 $F M$ 的数量关系，并证明．

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15、如图，已知在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 9, B C = 8$ ，点D在 $A B$ 上，且 $A D = 2 B D$ ，点P 在边 $B C$ 上，以每秒2个单位长度的速度由点B向点C运动，点Q在边 $A C$ 上，以每秒a 个单位长度的速度由点C向点A运动．是否存在某一时刻，使 $△ B P D$ 与 $△ C P Q$ 全等，若存在，求出a的值和相应的时刻；若不存在，请说明理由．

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16、2025年春晚《秧 $BOT$ 》的精彩呈现，是一系列关键技术的突破与创新．机器人采用了先进的 $AI$ 驱动全身运动控制技术，某科技公司计划生产 $Alpha$ 和 $Beta$ 两款 $AI$ 机器人，每款机器人主要控制芯片和传感器两种核心零件． $5$ 月 $20$ 日，公司采购部门调研市场后得知，花费 $320$ 元购买的主控芯片比花 $200$ 元购买的传感器模块数量少8片，主控芯片的单价是传感器模块的 $2$ 倍．另一部分人对机器人进行研究后发现：用 $6$ 个主控芯片、 $48$ 个传感器模块恰好能制作 $1$ 个 $Alpha$ 机器人和 $1$ 个 $Beta$ 机器人，制作 $1$ 个 $Alpha$ 机器人所需主控芯片、传感器模块数量之比是 $1 : 7$ ，制作 $1$ 个 $Beta$ 机器人需要的主控芯片、传感器模块数量之比是 $1 : 9$ ．

(1)、求主控芯片、传感器模块每个单价分别多少元？

(2)、求制作一个 $Alpha$ 机器人和一个 $Beta$ 机器人分别需要主控芯片、传感器模块多少个？

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17、把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．
例如：①用配方法分解因式： $a^{2} + 6 a + 5$
原式 $= a^{2} + 6 a + 9 - 4 = {(a + 3)}^{2} - 4 = (a + 3 + 2) (a + 3 - 2) = (a + 5) (a + 1)$
②利用配方法求最小值：求 $a^{2} + 6 a + 5$ 最小值．
解： $a^{2} + 6 a + 5 = a^{2} + 2 a \cdot 3 + 3^{2} - 3^{2} + 5 = {(a + 3)}^{2} - 4$ ，因为不论 $x$ 取何值， ${(a + 3)}^{2}$ 总是非负数，即 ${(a + 3)}^{2} \geq 0$ ，所以 ${(a + 3)}^{2} - 4 \geq - 4$ ，所以当 $a = - 3$ 时， $a^{2} + 6 a + 5$ 有最小值，最小值是 $- 4$ ．
根据上述材料，解答下列问题：

(1)、填空： $x^{2} - 12 x +$ ________ $= (x -$ ________ $)^{2}$ ；

(2)、将 $x^{2} - 16 x + 5$ 变形为 ${(x + m)}^{2} + n$ 的形式，并求出 $x^{2} - 16 x + 5$ 的最小值；

(3)、若 $M = 7 a^{2} + 18 a + 10$ ， $N = 6 a^{2} + 24 a$ ，其中 $a$ 为任意实数，试比较 $M$ 与 $N$ 的大小，并说明理由．

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18、计算与分解因式

(1)、计算： ${(\frac{1}{4})}^{- 1} - {(π - 3)}^{0} - |- 3| + {(- 1)}^{2022}$

(2)、分解因式： ${(x^{2} + y^{2})}^{2} - 4 x^{2} y^{2}$ ．

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19、如图， $△ A B C$ 是等边三角形， $D$ 为边 $A C$ 的中点， $B D = 12 cm$ ， $P$ 为中线 $B D$ 上的动点，则 $P C + \frac{1}{2} P B$ 的最小值是．

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20、如图， $A M ⊥ M N$ 于 $M$ ，且 $M N : N C = 1 : 2$ ， $A N = A C$ ，若 $∠ N A C = 40 °$ ，则 $∠ M A N =$ ．

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