相关试卷

1、如图①，是液体过滤的实验装置，图②是其侧面示意图，已知底座高度 $A B = 3 cm$ ，烧杯高度 $E F = 12 cm$ ，漏斗的一端紧贴烧杯内壁，漏斗的锥形部分 $M N = G H = 8 cm$ ，且 $∠ M N H = ∠ G H N = 60 °$ ，漏斗管位于烧杯的上方部分 $F G = 6 cm$ ，玻璃棒斜靠在三层滤纸的点 $P$ 处， $P G = \frac{2}{3} G H$ ，玻璃棒 $P Q$ 长度为 $30 cm$ ．
（结果精确到 $0.1 cm$ ）

(1)、求漏斗口处点 $N$ 到底座 $A D$ 的高度；

(2)、某次过滤时，玻璃棒与水平方向的夹角为 $53 °$ ，求此时玻璃棒顶端 $Q$ 点到桌面的距离．
（参考数据： $sin 53 ° \approx 0.80$ ， $cos 53 ° \approx 0.60$ ， $tan 53 ° \approx 1.33$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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2、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = B C$ ，以 $B C$ 为直径作 $⊙ O$ ，分别交 $A C$ ， $A B$ 于点 $D$ ， $E$ ，连接 $D O$ 并延长，交 $⊙ O$ 于点 $F$ ，过点 $F$ 作 $⊙ O$ 的切线，交 $C B$ 的延长线于点 $G$ ．

(1)、求证： $D F ∥ A B$ ；

(2)、若 $cos ∠ F O G = \frac{2}{3}, B G = 2$ ，求 $A C$ 的长．

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3、如图，点D在圆心角为 $90 °$ 的扇形 $A O B$ 的半径 $O A$ 上，矩形 $O B C D$ 与 $\overset{⌢}{A B}$ 交于点E， $E F ⊥ O B$ 于点F，若 $O D = O F = 1$ ，则图中阴影部分的面积是．

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4、如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶点 $A ， B$ 均在坐标轴上，已知点 $A (0, 1) ， B (2, 0) ， A B = B C ， ∠ A B C = 90 °$ ，连接 $O C$ ，则 $O C$ 所在直线的表达式是．

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5、已知线段 $a$ ， $b$ ， $d$ ， $c$ 成比例，若 $a = 5 cm$ ， $c = 3 cm$ ， $d = 4 cm$ ，则 $b =$ $cm$ ．

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6、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， A C = 3 ， A B = 6$ ，点 $D$ 是 $A B$ 的中点，点 $E$ 是以点 $B$ 为圆心， $B D$ 长为半径的圆上的一动点，连接 $A E$ ，点 $F$ 为 $A E$ 的中点，则 $C F$ 长度的最大值是（）

A、 $\frac{7}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{9}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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7、如图，一次函数 $y_{1} = k x + 1$ 与反比例函数 $y_{2} = \frac{6}{x} (x > 0)$ 的图象交于点 $P (2, t)$ ，过点P作 $P A ⊥ x$ 轴于点A，连接 $O P$ ，下列结论错误的是（）

A、 $△ O A P$ 的面积是3 B、 $k = 1$ C、当 $y_{1} \geq y_{2}$ 时， $x \geq 2$ D、点 $B (m, n)$ 在 $y = \frac{6}{x}$ 上，当 $m > 2$ 时， $n > 3$

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8、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3, B C = 2$ ，延长 $C B$ 至点 $E$ ，延长 $A D$ 至点 $F$ ，连接 $A E$ ， $C F$ ．若四边形 $A E C F$ 为菱形，则这个菱形的面积为（）

A、9 B、 $\frac{39}{8}$ C、 $\frac{39}{4}$ D、 $\frac{21}{2}$

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9、如图，体育课上，小强某次掷出的实心球的飞行高度 $h (m)$ 与水平距离 $x (m)$ 之间的关系大致为抛物线 $h = - \frac{1}{10} x^{2} + \frac{3}{5} x + \frac{8}{5}$ ，则小强本次投掷实心球的成绩为（）

A、8 $m$ B、9 $m$ C、10 $m$ D、3 $m$

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10、如图， $A$ ， $B$ ， $C$ 是⊙O上的点， $O C ⊥ A B$ ，垂足为点 $D$ ，且 $D$ 为 $O C$ 的中点，若 $O A$ 的长为6，则 $B C$ 的长为（）

A、3 B、5 C、 $3 \sqrt{3}$ D、6

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11、若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + k - 1 = 0$ 有两个相等的实数根，则 $k$ 的值为（）

A、 $k = 2$ B、 $k = 0$ C、 $k = - 1$ D、 $k = - 2$

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12、如图， $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 都是等腰三角形， $A B = A C, A D = A E$ ，且 $∠ B A C = ∠ D A E$ ，连接 $B D$ 、 $C E$ ．

(1)、如图1，当点 $D$ 在 $△ A B C$ 的内部时，求证： $B D = C E$ ；

(2)、如图2， $∠ B A C = ∠ D A E = 126 °, B C = 12$ ，且点 $E$ 落在 $B C$ 边上．若 $M$ 为 $B C$ 上的一点，且 $∠ B A M + ∠ C A E = 63 °$ ，求 $△ B D M$ 的周长；

(3)、如图3，在 $△ A B C$ 中， $A B = 5, B C = 8$ ， $∠ A B C$ 是一个变化的角，以 $A C$ 为边作等边 $△ A C E$ ，连接 $B E$ ，试探究，随着 $∠ A B C$ 的变化， $B E$ 的长度的取值范围？

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13、
我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式 $a x + y - 3 x + 5$ 的值与 $x$ 的取值无关，求 $a$ 的值．通常的解题思路是把 $x$ 看作字母， $a$ 看作系数，合并同类项．因为代数式的值与 $x$ 的取值无关，所以含 $x$ 的项的系数为0．
具体解题过程：原式 $= (a - 3) x + y + 5$
因为代数式的值与 $x$ 的取值无关．
所以 $a - 3 = 0$ ，解得 $a = 3$ ．
【理解应用】
（1）若关于 $x$ 的代数式 $m x - 2 x - 1$ 的值与 $x$ 的取值无关，则 $m$ 的值为___________．
（2）已知 $A = (n x + 1) (x - 2), B = x (m - x)$ ，且 $A + 3 B$ 的值与 $x$ 的取值无关，求 $n + 3 m$ 的值．
【能力提升】
（3）7张如图1的小长方形，长为 $a$ ，宽为 $b$ ，按照图2方式不重叠地放在大长方形 $A B C D$ 内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为 $S_{1}$ ，左下角的面积为 $S_{2}$ ，当 $A B$ 的长度变化时， $S_{1} - S_{2}$ 的值始终保持不变，求 $a$ 与 $b$ 的等量关系．

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14、数学活动课上，刘老师准备了若干个如图1的三种纸片， $A$ 种纸片是边长为 $a$ 的正方形， $B$ 种纸片是边长为 $b$ 的正方形， $C$ 种纸片长为 $a$ 、宽为 $b$ 的长方形．并用 $A$ 种纸片一张， $B$ 种纸片一张， $C$ 种纸片两张拼成如图2的大正方形．
由图2，可得出三个代数式： ${(a + b)}^{2}, a^{2} + b^{2}, a b$ 之间的等量关系 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 a b$ ；

(1)、根据上述方法，若要拼出一个面积为 $(2 a + b) (a + 2 b)$ 的长方形，则需要 $A$ 种纸片2张， $B$ 种纸片2张， $C$ 种纸片___________张．

(2)、根据图（2）得出的等量关系，解决如下问题：
①已知： $a + b = 7, a^{2} + b^{2} = 37$ ，求 $a b$ 的值；
②已知： $x + \frac{1}{x} = 3$ ，求 $x^{4} + \frac{1}{x^{4}}$ 的值．

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15、如图， $C$ 为直线 $A B$ 外一动点， $A B = 5$ ，连接 $C A, C B$ ，点 $D$ 、 $E$ 分别是 $A B$ 、 $B C$ 的中点，连接 $A E, C D$ 交于点 $F$ ， $S_{△ A D F}$ $S_{△ C E F}$ （填“ $<$ ”或“ $>$ ”或“ $=$ ”）；则当四边形 $B E F D$ 的面积为10时，线段 $A C$ 的长度的最小值为．

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16、已知 $a, b, c$ 为 $△ A B C$ 的三条边，若 $△ A B C$ 为等腰三角形，且 $a, b$ 满足 $a^{2} + b^{2} - 4 a - 10 b + 29 = 0$ ，则 $△ A B C$ 的周长为．

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17、有理数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 在数轴上的位置如图，则 $|a - b| - |b - c| + |c + a|$ 的化简结果为．

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18、已知 $x^{2} + x = 3$ ，则 $(x - 2) (2 x + 6)$ 的值是．

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19、学习完《利用三角形全等测距离》后，七年级数学兴趣小组同学就“测量河两岸

A

、

B

两点间距离”这一问题，设计了如下方案．

课题	测量河两岸 $A$ 、 $B$ 两点间距离
测量工具	测量角度的仪器，皮尺等
测量方案示意图
测量步骤	①在点 $B$ 所在河岸同侧的平地上取点 $C$ 和点 $D$ ，使得点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 在一条直线上，且 $C D = B C$ ； ②测得 $∠ D C B = 100 °, ∠ A D C = 60 °$ ； ③在 $C D$ 的延长线上取点 $E$ ，使得 $∠ B E C = 20 °$ ； ④测得 $D E$ 的长度为39米．

(1)、猜想

A

、

B

两点间的距离

A B

为___________米．

(2)、请你利用数学方法说明此方案正确的理由

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20、如图，已知 $∠ E F C = ∠ A B C, ∠ B E F + ∠ A = 180 °$ ．

(1)、填空求证： $A D ∥ B E$ ；
证明：∵ $∠ E F C = ∠ A B C$ ，
∴ $A B ∥ \underline{}$ _________，
∴ $∠ B E F = ∠$ _________（_________________________），
∵ $∠ B E F + ∠ A = 180 °$ ，
∴ $∠$ _________ $+ ∠ A = 180 °$ ，
∴ $A D ∥ B E$ （_________________________）．

(2)、若 $B E$ 平分 $∠ A B C$ ， $A D ⊥ C D$ 于点 $D$ ， $∠ E F C = ∠ F E C - 18 °$ ，求 $∠ E F C$ 的度数．

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