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1、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C$ 的平分线交 $A C$ 于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $D E ∥ B C$ 交 $A B$ 于点 $E$ ．求证： $B E = D E$ ．

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2、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，点 $E$ ， $F$ 分别是边 $A B$ ， $B C$ 上的动点，且满足 $B F = 2 A E$ ．当 $A E =$ 时， $△ E B F$ 为等边三角形；已知点 $P$ 为 $E F$ 的中点，连接 $A P$ ， $D P$ ，则 $A P + P D$ 的最小值为．

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3、如图，四边形 $A B C D$ 是 $⊙ O$ 的内接四边形，已知 $⊙ O$ 的半径为4， $∠ B C D = 120 °$ ，则 $B D =$ ．

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4、幻方起源于中国，是我国古代数学杰作之一．在 $3 \times 3$ 幻方的9个格子中，每个数互不相同且满足每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和均相等．如图是一个已知部分信息的幻方，则 $a =$ ．

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5、已知抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 经过点 $(- 3, 0)$ 和 $(1, 0)$ ，则该抛物线的对称轴为直线 $x =$ ．

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6、如图，点 $P$ 是射线 $O C$ 上一点， $P M ⊥ O A$ ， $P N ⊥ O B$ ，垂足分别是 $M$ ， $N$ ，且 $P M = P N$ ．若 $∠ A O C = 20 °$ ，则 $∠ M P N =$ $°$ ．

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7、如图，数轴上的两点 $A$ ， $B$ 分别表示的数为 $- 2$ ， $4$ ，则 $A$ ， $B$ 之间的距离为．

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8、已知点 $A (x_{1}, y_{1})$ 和 $B (x_{2}, y_{2})$ 均在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k < 0)$ 的图象上，若 $- 2 \leq x_{1} \leq - 1$ ， $2 \leq x_{2} \leq 3$ ，则下列结论一定不成立的是（）

A、 $y_{1} + y_{2} = 0$ B、 $y_{1} + y_{2} > 0$ C、 $y_{1} + y_{2} < 0$ D、 $y_{1} + y_{2} = - \frac{2}{3} k$

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9、如图，已知菱形 $A B C D$ 的面积为20，对角线 $B D = 4 \sqrt{5}$ ，则 $sin ∠ A B D =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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10、关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + a x + 1 = 0$ 有两个相等的实数根，则 $(a + 1) (a - 1)$ 的值是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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11、某快递公司引进智能机器人进行包裹分拣，一台智能机器人每小时分拣包裹的数量是一个工人平均分拣数量的40倍．已知分拣8000件同样的包裹，一台智能机器人所用时间比20个工人同时分拣所用时间还要少40分钟，设一个工人平均每小时分拣 $x$ 个包裹，根据题意可列方程（）

A、 $\frac{8000}{40 x} - 40 = \frac{8000}{20 x}$ B、 $\frac{8000}{40 x} + 40 = \frac{8000}{20 x}$ C、 $\frac{8000}{40 x} - \frac{2}{3} = \frac{8000}{20 x}$ D、 $\frac{8000}{40 x} + \frac{2}{3} = \frac{8000}{20 x}$

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12、如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = 3$ ， $A B = 4$ ， $B C = 5$ ，点 $D$ 是 $B C$ 的中点，则 $A D$ 长为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、2 C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{7}{2}$

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13、在校运会定点投篮比赛中，某班5名学生每人投篮10次，投中个数如下表所示．下列关于这组数据描述正确的是（）
学生
甲
乙
丙
丁
戊
投中个数
7
4
8
9
7

A、众数为9 B、中位数为8 C、平均数为7 D、方差为3

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14、下列运算正确的是（）

A、 $- (2 a - b) = - 2 a - b$ B、 $a^{6} \div a^{2} = a^{4} (a \neq 0)$ C、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ D、 $2^{3} - 2^{2} = 2$

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15、不等式 $2 x - 3 > 1$ 的解集为（）

A、 $x > - 1$ B、 $x < - 1$ C、 $x > 2$ D、 $x < 2$

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16、如图所示的几何体的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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17、下列四个选项中，有理数的是（）

A、 $- 1$ B、 $π$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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18、根据如下素材，完成探索任务．

背景	快递公司为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．
素材1	买1台A型机器人，3台B型机器人，共需260万元；买3台A型机器人，2台B型机器人，共需360万元．
素材2	A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件
素材3	用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．
解决问题
任务1	求A、B两种型号智能机器人的单价；
任务2	选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？

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19、百度推出了“文心一言” $A I$ 聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包” $A I$ 聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取 $20$ 份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用 $x$ 表示，分为四个等级：
$A$ ： $60 < x \leq 70$ ， $B$ ： $70 < x \leq 80$ ， $C$ ： $80 < x \leq 90$ ， $D$ ： $90 < x \leq 100$ ，
下面给出了部分信息：
甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100．
乙款评分数据中 $C$ 组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．甲、乙款评分统计表：
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、上述图表中 $a =$ _______， $b =$ _______， $m =$ _______．

(2)、在此次测验中，有 $280$ 人对甲款进行评分、 $300$ 人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意 $(90 < x \leq 100)$ 的用户总人数．

(3)、 $D e e p S e e k$ （简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率．

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20、一台笔记本电脑放置在水平的桌面上，其示意图如图1所示， $∠ A O B = 120 °$ ， $O A = O B = 40$ ；使用时，为了加强笔记本散热，底板下面需垫入散热架 $A C O^{'}$ ，并将显示屏 $O B$ 旋转到 $O^{'} B^{'}$ 的位置，其示意图如图2所示．已知 $B^{'}$ 、 $O^{'}$ 、C三点在同一直线上，且 $B^{'} C ⊥ A C$ ， $∠ O^{'} A C = 37 °$ ．

(1)、求散热架 $A C O^{'}$ 的高度 $O^{'} C$ ；

(2)、垫入散热架后，显示屏顶部 $B^{'}$ 的竖直高度比原来升高了多少？
（参考数据： $sin 37 °$ 取 $0.6$ ， $cos 37 °$ 取 $0.8$ ， $tan 37 °$ 取 $0.75$ ， $\sqrt{3}$ 取 $1.73$ ）

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学生	甲	乙	丙	丁	戊
投中个数	7	4	8	9	7