相关试卷

1、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ D A B = 45 °$ ， $D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ， $D E = 2 \sqrt{2}$ ， $A E = 2 E B$ ．

(1)、填空： $A E =$ ________， $A D =$ ________．

(2)、已知点 $F$ 是线段 $A D$ 上的动点（不与 $A$ ， $D$ 两点重合），连接 $E F$ ．将 $△ A F E$ 绕点 $A$ 顺时针旋转得到 $△ A F^{'} E^{'}$ （点 $E^{'}$ ， $F^{'}$ 分别与点 $E$ ， $F$ 对应），且满足 $E$ ， $F^{'}$ ， $E^{'}$ 三点在同一直线上，记此时的旋转角为 $α (45 ° < α < 180 °)$ ．
①当 $△ A E F^{'}$ 是等腰三角形时，求旋转角 $α$ ；
②记 $△ A E F^{'}$ 的外接圆圆心为点 $O$ ，连接 $A O$ 并延长，交直线 $E F^{'}$ 于点 $K$ ．在点 $F$ 的运动过程中， $△ B C K$ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值，若不存在，请说明理由．

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2、在平面直角坐标系中，抛物线 $G$ 的顶点坐标为 $(h, k)$ ，若点 $(x^{'}, y^{'})$ 在抛物线 $G$ 上（异于顶点），且满足 $x^{'} - h = y^{'} - k$ ，则称点 $(x^{'}, y^{'})$ 为该抛物线的“ $T$ 点”， $2 |x^{'} - h|$ 为该抛物线的“ $T$ 系数”．

(1)、写出抛物线 $y = x^{2}$ 的顶点坐标，判断 $(1, 1)$ 是否为该抛物线的“ $T$ 点”，并说明理由；

(2)、已知抛物线 $G$ ： $y = a x^{2} - 2 a m x + a m^{2} - m + 6 (a \neq 0)$ 过原点 $O$ ．
①当 $m = 3$ 时，求该抛物线的“ $T$ 系数”；
②若抛物线 $G$ 的“ $T$ 系数”为 $16$ ，当 $a m^{2} \leq x \leq - m + 6$ 时，求 $y$ 的取值范围．

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3、某学校计划修建地下车库，一数学兴趣小组根据《车库建筑设计规范》与所学知识，为学校地下车库设计并绘制了入库坡道示意图（如图），相关信息如下：
（i）直线主坡道 $B C$ 的水平距离为 $20 m$ ，坡度为0.12；
（ii）左、右两段缓坡道为 $A B$ ， $C D$ ，水平距离均为 $5 m$ ；
（iii） $D E$ 和车库地面均与水平方向平行．
已知坡度 $= \frac{铅直高度}{水平距离}$ ，试根据上述信息解决以下问题：

(1)、求主坡道的铅直高度 $C G$ ；

(2)、根据《车库建筑设计规范》：缓坡道坡度为主坡道坡度的 $\frac{1}{2}$ ，坡道的最小净高不低于 $2.2 m$ ．（坡道的净高为车库上方横梁到坡道的垂直距离）
①求车库高度 $A K$ ；
②若 $D E = 22 m$ ，判断该坡道的最小净高 $E F$ 是否符合设计规范，并说明理由．
参考数据：当 $tan α = 0.12$ 时， $sin α \approx 0.12$ ， $cos α \approx 0.99$ ．

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4、如图， $△ A B C$ 为等腰三角形，点 $O$ 是底边 $B C$ 上的一点，以 $O$ 为圆心作 $⊙ O$ ，分别与 $A B$ ， $A C$ 相切于点 $D$ ， $E$ ，连接 $O D$ ， $O E$ ．

(1)、证明： $△ B O D ≌ △ C O E$ ；

(2)、若 $∠ A = 120 °$ ， $B C = 12$ ，求 $\overset{⌢}{D E}$ 的长（结果保留 $π$ ）．

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5、某市的未来产业园重点引进了四类战略性新兴产业，依据产业类型和企业数量，绘制了如下尚不完整的扇形统计图（如图1）与条形统计图（如图2）．
请根据统计图中的信息解答下列问题：

(1)、在图1中， $m =$ ________；

(2)、该产业园人工智能企业的数量为________，并补全图2；

(3)、在生物制造的4家企业中，有3家省内企业，1家省外企业．若从中随机选取2家参观，求选中的2家企业都来自省内的概率．

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6、如图，已知四边形 $A B C D$ 为矩形．

(1)、尺规作图：在线段 $C D$ 上作点 $E$ ，使得 $C E = E D$ ，连接 $B E$ ， $A C$ （保留作图痕迹，不写作法）；

(2)、若 $A B = 2$ ， $B C = \sqrt{2}$ ，求证： $△ B C E ∽ △ A B C$ ．

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7、已知一次函数 $y = k x + b$ 的图像经过点 $(0, 6)$ 与 $(2, 2)$ ．

(1)、求这个一次函数的解析式；

(2)、请从以下取值范围中选择一个：① $- 3 \leq x \leq - 1$ ；② $- 1 \leq x \leq 1$ ；③ $1 \leq x \leq 3$ ，根据（1）中的函数解析式写出对应函数值 $y$ 的取值范围．

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8、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C$ 的平分线交 $A C$ 于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $D E ∥ B C$ 交 $A B$ 于点 $E$ ．求证： $B E = D E$ ．

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9、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，点 $E$ ， $F$ 分别是边 $A B$ ， $B C$ 上的动点，且满足 $B F = 2 A E$ ．当 $A E =$ 时， $△ E B F$ 为等边三角形；已知点 $P$ 为 $E F$ 的中点，连接 $A P$ ， $D P$ ，则 $A P + P D$ 的最小值为．

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10、如图，四边形 $A B C D$ 是 $⊙ O$ 的内接四边形，已知 $⊙ O$ 的半径为4， $∠ B C D = 120 °$ ，则 $B D =$ ．

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11、幻方起源于中国，是我国古代数学杰作之一．在 $3 \times 3$ 幻方的9个格子中，每个数互不相同且满足每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和均相等．如图是一个已知部分信息的幻方，则 $a =$ ．

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12、已知抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 经过点 $(- 3, 0)$ 和 $(1, 0)$ ，则该抛物线的对称轴为直线 $x =$ ．

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13、如图，点 $P$ 是射线 $O C$ 上一点， $P M ⊥ O A$ ， $P N ⊥ O B$ ，垂足分别是 $M$ ， $N$ ，且 $P M = P N$ ．若 $∠ A O C = 20 °$ ，则 $∠ M P N =$ $°$ ．

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14、如图，数轴上的两点 $A$ ， $B$ 分别表示的数为 $- 2$ ， $4$ ，则 $A$ ， $B$ 之间的距离为．

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15、已知点 $A (x_{1}, y_{1})$ 和 $B (x_{2}, y_{2})$ 均在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k < 0)$ 的图象上，若 $- 2 \leq x_{1} \leq - 1$ ， $2 \leq x_{2} \leq 3$ ，则下列结论一定不成立的是（）

A、 $y_{1} + y_{2} = 0$ B、 $y_{1} + y_{2} > 0$ C、 $y_{1} + y_{2} < 0$ D、 $y_{1} + y_{2} = - \frac{2}{3} k$

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16、如图，已知菱形 $A B C D$ 的面积为20，对角线 $B D = 4 \sqrt{5}$ ，则 $sin ∠ A B D =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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17、关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + a x + 1 = 0$ 有两个相等的实数根，则 $(a + 1) (a - 1)$ 的值是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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18、某快递公司引进智能机器人进行包裹分拣，一台智能机器人每小时分拣包裹的数量是一个工人平均分拣数量的40倍．已知分拣8000件同样的包裹，一台智能机器人所用时间比20个工人同时分拣所用时间还要少40分钟，设一个工人平均每小时分拣 $x$ 个包裹，根据题意可列方程（）

A、 $\frac{8000}{40 x} - 40 = \frac{8000}{20 x}$ B、 $\frac{8000}{40 x} + 40 = \frac{8000}{20 x}$ C、 $\frac{8000}{40 x} - \frac{2}{3} = \frac{8000}{20 x}$ D、 $\frac{8000}{40 x} + \frac{2}{3} = \frac{8000}{20 x}$

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19、如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = 3$ ， $A B = 4$ ， $B C = 5$ ，点 $D$ 是 $B C$ 的中点，则 $A D$ 长为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、2 C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{7}{2}$

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20、在校运会定点投篮比赛中，某班5名学生每人投篮10次，投中个数如下表所示．下列关于这组数据描述正确的是（）
学生
甲
乙
丙
丁
戊
投中个数
7
4
8
9
7

A、众数为9 B、中位数为8 C、平均数为7 D、方差为3

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学生	甲	乙	丙	丁	戊
投中个数	7	4	8	9	7