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相关试卷

1、在2026年中央广播电视总台春节联欢晚会上，A，B，C，D四家公司的机器人组团登台，参与了多个节目的表演，展示了人形机器人、四足机器人等多种形态的“具身智能”技术．某校想从这四家公司中挑选一家公司租赁机器人在校庆活动中为师生表演节目．

(1)、学校租赁到A公司机器人的概率为_____；

(2)、若学校的分部也需要租赁机器人，请用画树状图或列表的方法，求出该学校和分部租到不同公司机器人的概率（每家公司的机器人被租到的可能性一样大）．

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2、在历史长河中，很多文物难免损耗或破碎断裂，而文物修复师能利用自身所拥有的专业知识去修复文物，使其重获新生．相信同学们也能成为小小文物修复师．如图，要把残破的圆形文物片复制完整．已知弧上的三点A，B，C．

(1)、用尺规作图法找出 $\overset{⌢}{B A C}$ 所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法）

(2)、设 $△ A B C$ 是等腰三角形，底边 $B C = 8cm$ ，腰 $A B = 5cm$ ，求圆片的半径R．

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3、先化简，再求值： $(1 - \frac{1}{a + 2}) \div \frac{a^{2} + 2 a + 1}{a^{2} + 2 a}$ ，其中 $a = 3$ ．

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4、计算： $(\sqrt{8} - \sqrt{2}) \times \sqrt{2} + 2 \sqrt{\frac{1}{2}} - \sqrt[3]{27}$ ．

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5、如图，四边形 $A B C D$ 中， $A C = 6$ ， $B D = 8$ ，且 $A C ⊥ B D$ ，顺次连接四边形 $A B C D$ 各边中点得到四边形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，再顺次连接四边形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 各边中点，得到四边形 $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ ， …，如此继续下去得到四边形 $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ ．则四边形 $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ 的面积是．

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6、郑州中牟贾鲁河大桥，斜拉索都互相平行且距离相等．如图，小丽测得有两根拉索之间距离 $B D = 50$ 米， $D E = 10$ 米， $C E = 12$ 米， $A B ∥ C D$ ，则 $A E$ 的长为．

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7、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 、 $D$ 在 $⊙ O$ 上，若 $∠ A B C = 25 °$ ，则 $∠ B D C$ 的度数是（）

A、 $50 °$ B、 $65 °$ C、 $75 °$ D、 $85 °$

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8、分式方程 $\frac{3}{x - 1} = \frac{4}{x}$ 的解为（）

A、 $x = - 3$ B、 $x = 2$ C、 $x = 3$ D、 $x = 4$

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9、如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A C$ 为对角线， $A B = 5$ ， $A C = 8$ ，则菱形 $A B C D$ 的面积为（）．

A、 $20$ B、 $24$ C、 $30$ D、 $48$

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10、点 $A (- 1, y_{1})$ ， $B (2, y_{2})$ 在反比例函数 $y = - \frac{2}{x}$ 的图象上，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{1} < y_{2}$ B、 $y_{1} = y_{2}$ C、 $y_{1} > y_{2}$ D、 $y_{1} \geq y_{2}$

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11、下列图形中，是中心对称图形的是（）．

A、 B、 C、 D、

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12、如图，直线 $y = - b x + 3 b$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于点 $A$ 、 $B$ ，以 $A B$ 为边向右作矩形 $A B C D$ ， $S_{矩形 A B C D} = 30$ ，

(1)、如图1，当 $\tan ∠ B A O = \frac{1}{2}$ 时，直接写出点 $C$ 的坐标；

(2)、如图2，连接 $B D$ ，将 $△ B C D$ 沿 $B D$ 翻折，点 $C$ 的对应点为点 $E$ ，若点 $E$ 在 $y$ 轴上，
①延长 $C B$ 交 $y$ 轴于点 $F$ ，求证：四边形 $A F B D$ 为平行四边形；
②求直线 $A B$ 的解析式；

(3)、连接 $O C$ ，求 $O C$ 的取值范围．

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13、如图1，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $tan ∠ B A C = \sqrt{3}$ ．点 $D$ 是 $B C$ 边上任意一点（不与 $B$ ， $C$ 重合），连接 $A D$ ，过点 $D$ 作 $D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ，连接 $C E$ ，点 $F$ 为 $A D$ 中点，连接 $C F$ ， $E F$ ．

(1)、当 $B D = 2 C D$ 时，判断四边形 $C D E F$ 的形状，并证明．

(2)、点 $D$ 在线段 $B C$ 上的什么位置时， $△ D E F$ 的面积最大？请说明理由．

(3)、将图1中的 $△ B D E$ 绕点 $B$ 旋转到如图2所示位置，得到 $△ B D^{'} E^{'}$ ，使得点 $A$ ，点 $E^{'}$ ，点 $D^{'}$ 在同一直线上，点 $F^{'}$ 为 $A D^{'}$ 的中点， $A D^{'}$ 与 $B C$ 交于点 $G$ ，其他条件不变．求 $∠ A F^{'} C$ 的度数．

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14、在柑橘收获季节，某班级同学前往某无核柑橘基地开展综合实践活动，从该基地同一时段的甲、乙两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据．柑橘直径用x（单位： $cm$ ）表示．
组别
A
B
C
D
E
x
$3.5 \leq x < 4.5$
$4.5 \leq x < 5.5$
$5.5 \leq x < 6.5$
$6.5 \leq x < 7.5$
$7.5 \leq x \leq 8.5$
将所收集的样本数据进行如图分组：
整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数分布直方图，部分信息如下：

(1)、任务1：图①中a的值为________．

(2)、任务2：计算乙园样本数据的加权平均数．（统计中常用各组的组中值代表各组的实际数据，组中值是指这个小组的两个端点的数的平均数）

(3)、任务3：下列结论正确的是________（填正确结论的序号）．
①两园样本数据的中位数均在C组；
②两园样本数据的众数均在C组；
③两园样本数据的最大数与最小数的差一定相等；
④两园柑橘直径的方差可能甲园较大．

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15、数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为

x^{2} - y^{2}

（

x

，

y

均为自然数）”的问题．

指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（n为正整数）：

$N$

奇数

4的倍数

表示结果

$1 = 1^{2} - 0^{2}$

$3 = 2^{2} - 1^{2}$

$5 = 3^{2} - 2^{2}$

$7 = 4^{2} - 3^{2}$

$9 = 5^{2} - 4^{2}$ …

$4 = 2^{2} - 0^{2}$

$8 = 3^{2} - 1^{2}$

$12 = 4^{2} - 2^{2}$

$16 = 5^{2} - 3^{2}$

$20 = 6^{2} - 4^{2}$ …

一般结论

$2 n - 1 = n^{2} - {(n - 1)}^{2}$

$4 n =$ _______

按上表规律，完成下列问题：

(1)、（ⅰ）

24 =

（________）

^{2}

-

（________）

^{2}

；

（ⅱ） $4 n =$ ________；

(2)、兴趣小组还猜测：像2，6，10，14，

\dots

这些形如

4 n - 2

（n为正整数）的正整数N不能表示为

x^{2} - y^{2}

（

x

，

y

均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下，请你完善以下证明过程：

假设 $4 n - 2 = x^{2} - y^{2}$ ，其中x，y均为自然数．分下列三种情形分析：

①若x，y均为偶数，设 $x = 2 k$ ， $y = 2 m$ ，其中k，m均为自然数，

则 $x^{2} - y^{2} = {(2 k)}^{2} - {(2 m)}^{2} = 4 (k^{2} - m^{2})$ 为4的倍数．

而 $4 n - 2$ 不是4的倍数，矛盾．故x，y不可能均为偶数．

②若x，y均为奇数，……

③若x，y一个是奇数一个是偶数，……

由①②③可知，猜测正确．

阅读以上内容，请独立尝试继续完成在情形②，情形③的证明．

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16、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点C在 $⊙ O$ 上，且 $A C = 8$ ， $B C = 6$ ．

(1)、尺规作图：过点O作 $A C$ 的垂线，交劣弧 $\overset{⌢}{A C}$ 于点D，连接 $C D$ （保留作图痕迹，不写作法）；

(2)、在（1）所作的图形中，求 $tan ∠ A C D$ 的值．

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17、如图，四边形 $A B C D$ 是边长为4的正方形，点P为线段 $A D$ 的上一点， $D P = 1$ ，点E是直线 $B C$ 上的动点，连接 $A E$ ，将 $A E$ 绕点E顺时针旋转 $90 °$ ，点A的对应点为点F，连接 $P F$ ，则 $P F$ 的最小值为．

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18、如图， $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，正方形 $C D E F$ 的顶点D、E、F分别在 $A C$ 、 $A B$ 、 $B C$ 边上，若 $A E = \sqrt{5}$ ， $B E = \sqrt{3}$ ，则阴影部分面积为．

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19、如图所示的衣架可近似看成一个等腰三角形．若 $A B = A C = 18 cm$ ， $∠ A B C = 27 °$ ，则衣架宽 $B C$ 约为cm．（参考数据： $\sin 27 ° \approx 0.45$ ， $\cos 27 ° \approx 0.89$ ， $\tan 27 ° \approx 0.51$ ）

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20、如图，▱ABCD的顶点A在反比例函数图象上，边CD落在x轴上，点B在y轴上，AD交y轴于点E，OE：EB＝1：2，四边形BCDE的面积为6，则这个反比例函数的解析式是（　　）

A、y＝﹣ $\frac{7}{x}$ B、y＝﹣ $\frac{8}{x}$ C、y＝﹣ $\frac{9}{x}$ D、y＝﹣ $\frac{10}{x}$

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组别	A	B	C	D	E
x	$3.5 \leq x < 4.5$	$4.5 \leq x < 5.5$	$5.5 \leq x < 6.5$	$6.5 \leq x < 7.5$	$7.5 \leq x \leq 8.5$