相关试卷

1、下列计算正确的是（　　）

A、 $\sqrt{18} \div \sqrt{2} = 3$ B、 $\sqrt{5^{2} + 1 2^{2}} = 17$ C、 ${(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{2} = 5$ D、 $2 \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3 \sqrt{3}$

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2、函数 $y = \sqrt{x - 5}$ 中，自变量x的取值范围是（）

A、 $x > 5$ B、 $x < 5$ C、 $x ≥ 5$ D、 $x \neq 5$

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3、下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{50}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ D、 $\sqrt{12}$

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4、请依次完成以下三个问题：

(1)、如图1，在正方形 $A B C D$ 中，若 $E$ ， $F$ 分别是线段 $C D$ ， $B C$ 上的点， $∠ E A F = 45 °$ ，把 $△ A D E$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到 $△ A B G$ ，易证 $△ A E F$ 和全等，线段 $B F$ ， $D E$ 和 $E F$ 之间的数量关系为．

(2)、如图2，在等腰直角 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $D$ ， $E$ 为线段 $B C$ 上的点， $∠ D A E = 45 °$ ， $B D = 3$ ， $E C = 4$ ，求线段 $D E$ 的长；

(3)、如图3，在直角 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $∠ A C B = 30 °$ ， $D$ ， $E$ 为线段 $B C$ 上的点， $∠ D A E = 30 °$ ， $B D = 2$ ， $A B = 5$ ，直接写出线段 $B C$ 和 $D E$ 的长． $($ 提示：取 $B C$ 中点 $F$ ，连接 $A F)$

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5、探究函数的性质可以扩展我们的数学思维、某班数学兴趣小组同学探究函数 $y = a | x - 1 | + b$ （ $a$ ， $b$ 为常数，且 $a \neq 0$ ）的性质，探究过程如下，请解决下列问题：

(1)、绘制函数图象：
①列表：
$x$
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
$y$
…
9
7
5
3
1
3
5
$m$
…
分析数据，完成填空： $a =$ . ▲ ， $b =$ . ▲ ， $m =$ . ▲ ；
②描点：在平面直角坐标系中，根据表中的数值描点 $(x, y)$ ，现已描出部分点，请补充表中未描出的各点；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请画出函数图象．

(2)、探索函数性质：
当 $x < 1$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小，当 $x \geq 1$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而；

(3)、运用函数性质：
①不等式 $a | x - 1 | + b \geq 5$ 的解集是；
②当 $x > 4$ 时，对于 $x$ 的每一个值，函数 $y = - \frac{3}{4} x + t$ 的值小于函数 $y = a | x - 1 | + b$ 的值且小于7，则 $t$ 的值为．

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6、如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为 $A (- 3, 5)$ ， $B (- 2, 1)$ ， $C (- 1, 3)$ ．

(1)、若点 $C_{1}$ 的坐标为（4，0），画出△ABC经过平移后得到的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出点 $B_{1}$ 的坐标；

(2)、若△ABC和 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 关于原点O成中心对称，画出 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，并写出点 $B_{2}$ 的坐标．

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7、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A C$ 于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $D E ∥ A B$ 交 $B C$ 于点 $E$ ， $D F ⊥ A B$ ，垂足为点 $F$ ．

(1)、求证： $B E = D E$ ；

(2)、若 $D E = 4$ ， $D F = 2 \sqrt{3}$ ，求 $B D$ 的长．

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8、解不等式、不等式组

(1)、解不等式： $2 x - 1 < 3 x + 2$ ，并将解集表示在下列数轴上．

(2)、解不等式组：
${\begin{array}{l} 2 (x + 2) \geq 3 x + 3 \\ \frac{2 + x}{2} - \frac{x - 1}{3} < \frac{1}{6} \end{array}$

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9、分解因式：

(1)、 $x y^{2} - x$ ；

(2)、 $- a + 2 a^{2} - a^{3}$ ．

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10、如图， $P$ 是等边 $△ A B C$ 内一点， $P A = 4$ ， $P B = 2 \sqrt{3}$ ， $P C = 2$ ，则 $△ A B C$ 的边长为．
（提示：将 $△ A P C$ 绕 $A$ 点顺时针旋转 $60 °$ 得到 $△ A P^{'} B$ ，连接 $P P^{'}$ ）

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11、座椅是我们日常生活中不可或缺的物品．如图，在调节椅背的过程中，椅面 $A B$ 始终保持水平状态，支撑架 $A C 、 B D$ 与水平地面的夹角也始终保持不变．已知椅背 $A E$ 的长度为 $50 c m$ ，当椅背 $A E$ 与椅面 $A B$ 的夹角从 $150 °$ 调整到 $120 °$ 时，椅背上人的头部支撑点E向上抬高了约 $c m$ ．（结果精确至 $0.1 c m$ ．参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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12、某服装店以20元的进价购进一批儿童T恤衫，销售时标价为30元，为了减少商品库存，让利于顾客，准备打折销售，但要保证利润率不低于 $20 %$ ，则至多可打折．

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13、如图，在 $△ A B C$ 和 $△ A B D$ 中， $A B = A C = A D$ ， $A C ⊥ A D$ ， $A E ⊥ B C$ 于点 $E$ ， $A E$ 的反向延长线与 $B D$ 交于点 $F$ ，连接 $C D$ ，则线段 $B F$ ， $D F$ ， $C D$ 三者之间的关系为（）

A、 $B F - D F = C D$ B、 $B F + D F = C D$ C、 $B F^{2} + D F^{2} = C D^{2}$ D、 $2 B F - 2 D F = C D$

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14、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A$ 为直角，用无刻度的直尺和圆规在 $A C$ 边上确定一点P ，使点P到 $A B$ ， $B C$ 的距离相等．下列符合要求的作图痕迹是（）

A、 B、 C、 D、

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15、图1是某学校人行入口的智能闸机及其示意图，如图2，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度是 $80 c m$ ，当它关闭时，双侧挡板边缘的端点A与B之间的距离为 $10 c m$ ，且与闸机侧立面夹角 $∠ P C A = ∠ B D Q = 30 °$ ，则双翼的边缘 $A C 、 B D$ （ $A C = B D$ ）的长度为（）

A、 $35 \sqrt{3} c m$ B、70 $c m$ C、 $35 \sqrt{2}$ $c m$ D、80 $c m$

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16、如图，一次函数 $y = - 2 x + 4$ 与 $y = k x + b (k \neq 0)$ 的图象交于点 $P$ ，则关于 $x$ 的不等式 $- 2 x + 4 > k x + b$ 的解集是（）

A、 $x < - 1$ B、 $x > 2$ C、 $x > 3$ D、 $x < 3$

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17、下列因式分解正确的是（）

A、 $x^{2} - 4 = (x + 4) (x - 4)$ B、 $x^{2} + 2 x + 1 = {(x + 1)}^{2}$ C、 $x^{3} - x = x (x^{2} - 1)$ D、 $a^{2} + 2 a b - b^{2} = {(a - b)}^{2}$

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18、已知 $x < y$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $x + 5 < y - 5$ B、 $- 2 x < - 2 y$ C、 $a^{2} x^{2} < a^{2} y^{2}$ D、 $\frac{x}{3} < \frac{y}{3}$

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19、观察下列图形，其中既是轴对称又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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20、综合与探究
【定义】在四边形中，若有一个角是直角，且连接这个直角顶点与它对角顶点的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为对垂四边形．如图 $1$ ，在四边形 $A B C D$ 中， $B D$ 是对角线， $∠ A B C = ∠ A D B = 90 °$ ，则四边形 $A B C D$ 为对垂四边形，记作对垂四边形 $A B C D$ ．

(1)、【理解】如图 $1$ ，在对垂四边形 $A B C D$ 中，若 $∠ A = 55 °$ ， $∠ B C D = 80 °$ ，求 $∠ B D C$ 的值；

(2)、【应用】如图 $2$ ，在对垂四边形 $A B C D$ 中，已知 $∠ A B C = ∠ A D B = 90 °$ ， $∠ A = 45 °$ ，点 $E$ 为 $A B$ 边上一动点，且 $C D ⊥ D E$ ，求证： $D C = D E$ ；

(3)、【拓展】在（2）的条件下，连接 $C E$ ，将 $△ C D E$ 沿 $C E$ 翻折，得到 $△ C F E$ ，连接 $B F$ ，若 $B F = 4$ ， $A D = 12$ ，求 $△ B D E$ 的面积．

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