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1、华为 $Mate40$ 系列智能机搭载着麒麟9000， $5 nm$ 制程芯片，集成了153亿个集成电路． $1 nm = 0.00000 0001m$ ，那么 $5 nm$ 用科学记数法表示为（）

A、 $0.5 \times 10^{- 9} cm$ B、 $0.5 \times 10^{- 8} m$ C、 $5 \times 10^{- 9} m$ D、 $5 \times 10^{8} m$

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2、如图， $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线，D是直径 $A B$ 延长线上的一点，连接 $A C$ 、 $B C$ ，设 $∠ A = α$ （ $0 ° < α < 45 °$ ）．

(1)、若 $α = 20 °$ ，求 $∠ D$ ．

(2)、延长 $B C$ 至E，使 $B C = C E$ ，过点E作 $A B$ 的垂线，分别交 $A C$ 、 $A B$ 于点F，H．
①若 $\tan α = \frac{1}{2}$ ，直径 $A B = 10$ ，求 $E H$ 的长．
②求证： $\frac{S_{△ E F C}}{S_{△ B C D}} = 1 - \tan^{2} α$ ．

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3、已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （a，b，c为常数）的图象与y轴交于点 $(0, - 1)$ ，且过点 $(2, - 1)$ ．

(1)、求a与b的关系式．

(2)、若 $a < 0$ ，当 $- 1 \leq x \leq 4$ 时，函数y的最大值与最小值之差为9，求a的值．

(3)、在（2）的条件下，若点 $M (t, m)$ ，点 $N (t + 1, n)$ 两点在该函数图象上，且 $- 9 < n \leq m$ ，求t的取值范围．

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4、定义：若一个三角形存在两个内角之差为 $90 °$ ，则称这个三角形为“差直角三角形”．例如，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 110 °$ ， $∠ B = 20 °$ ， $∠ C = 50 °$ ，满足 $∠ A - ∠ B = 90 °$ ，所以 $△ A B C$ 是“差直角三角形”．

(1)、若 $△ A B C$ 是差直角三角形， $∠ A = 120 °$ ，则 $\sin B$ 的值为．

(2)、如图1，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线，求证： $△ A B D$ 是差直角三角形．

(3)、如图2，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $B C = 8$ ， $\tan B = \frac{3}{4}$ ，点D是边 $A B$ 上一动点（ $B D < C D$ ），若 $△ A B D$ 是差直角三角形，求 $A D$ 的长度．

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5、解答以下问题

(1)、观察发现：计算下列各式的结果，观察结果的特征：
① $1 \times 2 \times 3 \times 4 + 1 = 5^{2}$
② $2 \times 3 \times 4 \times 5 + 1 = 11^{2}$
③ $3 \times 4 \times 5 \times 6 + 1 = 19^{2}$
④ $4 \times 5 \times 6 \times 7 + 1 =$               ．

(2)、思考探究：设n为正整数，
①第n个算式为 $n (n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1 =$               ．
②请通过整式运算证明：该式的结果一定是某个整式的平方．
小明的部分证明过程如下：
证明：原式 $= [n (n + 3)] [(n + 1) (n + 2)] + 1$
$= (n^{2} + 3 n) (n^{2} + 3 n + 2) + 1$
设 $M = n^{2} + 3 n$ ，则原式 $= M (M + 2) + 1 \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$
小明证明过程中用了             思想方法，请把小明没有完成的过程补充完整．

(3)、拓展应用：已知四个连续正整数的乘积加1等于 $109^{2}$ ，求四个正整数中最小的整数．

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6、矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点O，点E为 $B C$ 边一点， $D E$ 交 $A C$ 于点F， $∠ A F D = 2 ∠ D A F$ ，连接 $B F$ ．

(1)、求证： $△ D O F$ 为等腰三角形．

(2)、若F是 $O C$ 中点， $A C = 5$ ， $A D = 4$ ，求 $B F$ 的长．

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7、随着人工智能的快速发展，初中生使用 $AI$ 大模型辅助学习快速普及，并呈现出多样化趋势．某中学为了解本校学生日常使用 $AI$ 大模型辅助学习次数的情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，按每周使用次数（x次）分为四组（A： $x < 15$ ；B： $15 \leq x < 20$ ；C： $20 \leq x < 25$ ；D： $x \geq 25$ ），根据调查结果，绘制了如下尚不完整的条形统计图和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题

(1)、本次抽取的学生人数为人，扇形统计图中 $m =$ ．

(2)、求D组的人数，并补全条形统计图．

(3)、若该校共有1200名学生，估计全校每周使用 $AI$ 学习20次及以上的学生约有多少人．

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8、解不等式组： $\{\begin{array}{l} 5 x - 2 > 3 (x + 1) ① \\ \frac{1}{2} x - 1 \leq 7 - \frac{3}{2} x ② \end{array}$

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9、如图，在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ，点 $E$ 为边 $C D$ 上一点，且 $C E = 2 D E$ ，连接 $B E$ ．若点 $G$ 为点 $D$ 关于 $B E$ 的对称点，连接 $D G$ 并延长交 $B C$ 延长线于点 $F$ ，连接 $B G$ ，则 $F G =$ ．

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10、假设圆锥的体积不变，当圆锥的高发生变化时，圆锥的底面积也随之变化．（圆锥体积 $V = \frac{1}{3} S h$ ，其中 $S ({cm}^{2})$ 表示圆锥的底面积， $h (cm)$ 表示圆锥的高线长）．某工厂要制作一系列等体积的圆锥模型，测得其中一个圆锥模型的底面半径为 $\sqrt{\frac{30}{π}} cm$ ，高线长为 $10 cm$ ．当高线长限定为 $50 \leq h < 100$ 时，底面积的取值范围为．

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11、如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针分别落在数字1、2、3所示区域内．随机转动两次，则两次数字相同的概率为．

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12、如图， $△ A B C$ 是 $⊙ O$ 的内接三角形， $∠ O A B = 50 °$ ，则 $∠ A C B$ 的度数是．

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13、已知 $\{\begin{cases} x = - 2 \\ y = 3 \end{cases}$ 是方程 $2 x - m y = 2$ 的一个解，那么m的值是．

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14、已知点 $A (m, y_{1})$ 在直线 $l_{1}$ ： $y = k x + k$ 上，点 $B (m - 1, y_{2})$ 在直线 $l_{2}$ ： $y = - k x - k$ 上．下列结论正确的是（）

A、若 $k > 0$ 时， $0 < y_{2} < y_{1}$ ，则 $m > - \frac{1}{2}$ B、若 $k > 0$ 时， $0 < y_{2} < y_{1}$ ，则 $m < 0$ C、若 $k < 0$ 时， $y_{2} < y_{1} < 0$ ，则 $- 1 < m < - \frac{1}{2}$ D、若 $k < 0$ 时， $y_{2} < y_{1} < 0$ ，则 $- \frac{1}{2} < m < 0$

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15、如图， $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ， $A C > A B$ ．利用直尺和圆规作图：
①以点 $B$ 为圆心，适当长为半径作弧，交 $B A$ 于 $M$ ，交 $B C$ 于 $N$ ；②分别以点 $M$ 、 $N$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 长为半径作弧，两弧相交于点 $F$ ，作射线 $B F$ 交 $A C$ 于点 $G$ ；③分别以点 $A$ 、 $C$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} A C$ 长为半径作弧，两弧相交于点 $D$ ， $E$ 两点，连接 $D E$ ，交 $B F$ 于点 $P$ ，交 $B C$ 于点 $H$ ，连接 $A P$ ， $C P$ ．下列判断错误的是（）

A、 $∠ A B P = 30 °$ B、 $P A = P C$ C、若 $A P ∥ B C$ ，则四边形 $A B H P$ 是菱形 D、 $∠ B A P = 90 ° + ∠ P C A$

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16、某地电信公司调低了电话费收费标准，每分钟费用降低了 $25 %$ ．因此，按照原收费标准6元话费的通话时间，在新收费标准下可多通话10分钟．如果设原收费标准下每分钟收费x元，则根据题意可列出方程（）

A、 $\frac{6}{25 % x} - \frac{6}{x} = 10$ B、 $\frac{6}{(1 - 25 %) x} - \frac{6}{x} = 10$ C、 $\frac{6}{x} - \frac{6}{25 % x} = 10$ D、 $\frac{6}{x} - \frac{6}{(1 - 25 %) x} = 10$

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17、设 $a$ ， $b$ ， $c$ 是互不相等的实数，且 $\frac{2}{3} a + \frac{1}{3} c = b$ ，下列式子正确的是( )

A、 $a > b > c$ B、 $c > b > a$ C、 $a - c = 3 (a - b)$ D、 $a - c = 4 (a - b)$

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18、如图， $△ A B C$ 中， $A B = B C$ ， $∠ C B A = 120 °$ ．将 $△ A B C$ 绕点A顺时针旋转 $110 °$ 得到 $△ A D E$ ，点B、C的对应点分别为点D、E．那么 $∠ C A D$ 的度数为（）

A、 $70 °$ B、 $80 °$ C、 $90 °$ D、 $100 °$

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19、如图，将纸带沿 $A B$ 折叠，下列能判定纸带的两条边线m，n互相平行的是（）

A、 $∠ 1 = ∠ 4$ B、 $∠ 1 = ∠ 3$ C、 $∠ 1 = ∠ 2$ D、 $∠ 2 = ∠ 4$

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20、某市人工智能领域融资总额高达 $103.9$ 亿元，覆盖大模型、具身智能、 $AI$ 算力、行业应用等全产业链． $103.9$ 亿用科学记数法可以表示为（）

A、 $103.9 \times 10^{8}$ B、 $1.039 \times 10^{9}$ C、 $1.039 \times 10^{10}$ D、 $0.1039 \times 10^{11}$

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