相关试卷

1、【阅读材料】我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：
当 $a > 0, b > 0$ 时：
∵ ${(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2} \geq 0$ ，
∴ $a - 2 \sqrt{a b} + b \geq 0$ ．
∴ $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ ，当且仅当 $a = b$ 时取等号，即当 $a = b$ 时， $a + b$ 有最小值为 $2 \sqrt{a b}$ ．
【学以致用】根据上面材料回答下列问题：

(1)、 $3 + 5$ $2 \sqrt{3 \times 5}$ ，式子 $x + \frac{1}{x}$ 的最小值为；（用 $>$ 或 $<$ 填空）

(2)、求分式 $\frac{x^{2} + 9}{x}$ 的最小值；

(3)、应用：小明同学要做一个面积为 $1800$ 平方厘米，对角线互相垂直的四边形风筝（如图所示），则用来做对角线（ $A C, B D$ ）的竹条至少要多长？

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2、如图，在每个边长为1的小正方形网格中，点A、B、D均在格点上，点E在边 $A D$ 上．请仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．

(1)、线段 $A B$ 的长为；

(2)、在网格内画一点C ，使 $C D ∥ B A$ 且 $C D = B A$ ；

(3)、直接写出点D到 $A B$ 的距离为；

(4)、在 $B D 、 B C$ 边上分别画点O、F ，使 $O B = O D$ ， $A E = C F$ ．

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3、如图1，在一个深 $50 c m$ 的圆柱形容器底部放入一个长方体的铁块，现在以一定的速度向容器内注水，图2是容器水面高度 $y (c m)$ 随时间 $x (m i n)$ 的变化图象．

(1)、放入的长方体的高度为 $c m$ ；

(2)、求 $A B$ 所在直线的函数表达式；

(3)、求该容器注满水所用的时间．

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4、已知 $x = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ， $y = \frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ ，若x的小数部分为a ， y的小数部分为b ，求 ${(a + b)}^{2} + \sqrt{{(a - b)}^{2}}$ 的值．

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5、如图， $▱ A B C D$ 的对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ， $D E ∥ A C$ ， $C E ∥ B D$ ，若 $A C = 3$ ， $B D = 5$ ．求四边形 $O C E D$ 的周长．

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6、计算： ${(- 1)}^{2024} + \sqrt{9} - π^{0} + \sqrt{\frac{1}{8}} \times \sqrt{32}$ ；

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7、正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} O$ ， $A_{2} B_{2} C_{2} C_{1}$ ， $A_{3} B_{3} C_{3} C_{2}$ ， …按如图所示的方式放置．点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ， …和点 $C_{1}$ ， $C_{2}$ ， $C_{3}$ ， …分别在直线 $y = x + 1$ 和x轴上，则点 $B_{2026}$ 的纵坐标为．

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8、如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ ， $E$ 分别是边 $A B$ ， $A C$ 的中点，连接 $B E$ ， $D E$ ．若 $∠ A E D = ∠ B E C$ ， $D E = 4$ ，则 $B E$ 的长为．

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9、如图，在 $▱ A B C D$ 中，已知 $A D = 5 c m$ ， $C D = 3 c m$ ， $B E$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A D$ 边于点 $E$ ，则 $E D$ 等于（）

A、 $1 c m$ B、 $2 c m$ C、 $3 c m$ D、 $4 c m$

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10、如图， $A (12, 0) ， C (- 1, 0)$ ，以点 A 为圆心， $A C$ 为半径画弧交y轴正半轴于点 B ，则点 B 的坐标为（）

A、 $(0, 2)$ B、 $(0, 3)$ C、 $(0, 4)$ D、 $(0, 5)$

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11、下列各点在函数 $y = 2 x - 1$ 图象上的是（）

A、 $(- 1 ， 3)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(1 ， - 1)$ D、 $(2 ， 3)$

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12、定义：若一个四边形的面积被一条对角线平分，则称这样的四边形为分积四边形，这条对角线为分积线．

(1)、如图1，在平行四边形 $A B C D$ 中， $P$ 为对角线 $A C$ 上一点，求证：四边形 $P B C D$ 为分积四边形；

(2)、如图2，矩形 $A B C D$ 的顶点 $A$ 在函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $k < 0$ ， $x < 0$ ）的图象上，边 $B C$ 在 $x$ 轴上，边 $A B ∥ C D ∥ y$ 轴，点 $P$ 在对角线 $B D$ 上，对角线 $B D$ 交 $y$ 轴于点 $Q$ ，连结 $P C$ ， $P D = \sqrt{2} B Q$ ， $△ P D C$ 的面积为4，求 $k$ 的值；

(3)、如图3，四边形 $A B C D$ 为分积四边形，对角线 $B D$ 为分积线， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ，对角线 $B D$ 与 $A C$ 交于点 $O$ ， $O B = 2 O D$ ，求 $t a n ∠ A D B$ 的值．

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13、项目式学习
【问题背景】无人机植保具有高效便捷、远离农药、保障安全等优点，因此需要探索更经济高效的作业方案．
【建立模型】如图1是无人机的示意图，其中点 $O$ 为无人机的摄像头， $A$ ， $B$ 是喷药口， $A$ ， $B$ ， $O$ 在同一条水平直线上， $A B = 60 c m$ ．如图2，以无人机摄像头所在位置 $O$ 为坐标原点，竖直方向为 $y$ 轴，以 $A B$ 所在直线为 $x$ 轴，建立平面直角坐标系．喷口点 $A$ 和点 $B$ 到点 $O$ 的距离相等，每个喷药口喷出的药水在竖直方向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与 $y$ 轴的交点为 $C$ ， $O C = 200 c m$ ．

(1)、试确定点 $A$ 所在抛物线的函数表达式；

(2)、【问题解决】启动无人机后，无人机摄像头距地面的初始高度为 $200 c m$ ，为了精准喷药，需要调整无人机的高度到图3位置，使相邻田地之间的田埂（宽度为 $E F$ 的区域，且 $E F = 30 c m$ ，田埂高度忽略不计）恰好不被喷洒农药，求无人机应该下降的高度；

(3)、如图4，在直线 $A B$ 上再增加2个喷药口 $M$ 和 $N$ ， $M$ 在 $A$ 左侧， $N$ 在 $B$ 右侧，且 $M A = A B = B N$ ；当无人机上升到距地面的高度为 $320 c m$ 时，直接写出此时喷洒农药覆盖区域宽度 $P Q$ 的长．

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14、圭表是中国古代一种重要的天文仪器，由“圭”和“表”两个部分组成．某数学兴趣小组的同学们准备研究并制作圭表．①同学协同制作了如图1所示的圭表，通过观察记录这根杆正午时影子的长短变化来确定季节和节气的变化．夏至日影子最短，冬至日影子最长；②秋分时，表的影子的长度等于夏至和冬至影子的长度的平均值；③如图2， $A B$ 为同学们制作的表， $A B ⊥ B C$ ， $A B$ 的长度为 $33.5 c m$ ， $B C$ 为圭．经查阅资料，夏至时太阳光线 $A D$ 与水平地面的夹角为 $73.4 °$ （ $∠ A D B = 73.4 °$ ），冬至时太阳光线 $A E$ 与水平地面的夹角为 $26.6 °$ （ $∠ A E B = 26.6 °$ ）．
（参考数据： $s i n 26.6 ° \approx 0.45$ ， $c o s 26.6 ° \approx 0.89$ ， $t a n 26.6 ° \approx 0.50$ ， $s i n 73.4 ° \approx 0.96$ ， $c o s 73.4 ° \approx 0.29$ ， $t a n 73.4 ° \approx 3.35$ ．）

(1)、【任务一】求 $D E$ 的长度；

(2)、【任务二】求秋分时，表的影子 $B F$ 的长度；

(3)、【任务三】秋分正午时，该小组的同学测得旗杆的影子在水平地面上的长度为 $19.25 m$ ，求旗杆的长度．

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15、足球作为全球热门运动，亦是文化纽带，跨越国界联结人心，彰显拼搏精神，传递快乐与力量．图1是一次足球比赛的奖杯，图2是从奖杯中抽象出的几何模型， $P A$ ， $P B$ 是圆的切线， $A$ ， $B$ 为切点．

(1)、请用无刻度的直尺和圆规作出这个圆的圆心 $O$ （不写作法，保留作图痕迹）；

(2)、在（1）的条件下，延长 $B O$ 交射线 $P A$ 于点 $C$ ，若 $P B = 3$ ， $P C = 5$ ，请补全图形，并求 $O C$ 的长．

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16、“天宫课堂”第四课在空间站演示了四个精彩实验：A．球形火焰；B．动量守恒；C．又见陀螺；D．奇妙“乒乓球”．为弘扬科学精神，传播航天知识，感悟榜样精神与力量，某中学要求学生课后观看“天宫课堂”．为了解本次学习情况，老师在四张完全相同的卡片上分别写了A，B，C，D，搅匀后背面朝上放置，让琪琪和莉莉各从代表这四个实验的卡片中随机选出一张在班会上分享观后感．

(1)、琪琪随机选出的卡片代表的实验是“又见陀螺”的概率是多少？

(2)、琪琪先从这四张卡片中随机抽取一张，然后放回，莉莉再从这四张卡片中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法求琪琪和莉莉抽到相同卡片的概率．

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17、生活中常见的月历中存在许多奥秘，你想知道吗？如图是2026年1月的月历，用如图所示的形状任意框出5个数（阴影部分），分别设为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ ， $e$ ．

(1)、如果 $a + b + c + d + e = 95$ ，则 $c$ 是多少？

(2)、在框数的过程中，小明说被框中的5个数字之和可能是121，你认为他的说法对吗？请说明理由．

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18、

(1)、计算： $12 - (- 10) + (- 7)$ ．

(2)、解不等式： $\frac{4 - x}{3} - 1 \leq 0$ ．

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19、如图，点 $B$ 的坐标是 $(0, 3)$ ，将 $△ O A B$ 沿 $x$ 轴向右平移至 $△ C D E$ ，点 $B$ 的对应点 $E$ 恰好落在直线 $y = 2 x - 3$ 上，则点 $A$ 移动的距离是．

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20、如图， $△ A B C$ 的三条边是三块平面镜，由物理知识可知：入射光线 $E F$ 经平面镜 $A C$ 反射成光线 $F G$ ，满足 $∠ E F C = ∠ A F G$ ，若 $E F ∥ A B$ ， $F G ∥ B C$ ， $∠ A = 70 °$ ，则 $∠ B$ 的度数为．

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