相关试卷

1、著名的赵爽弦图(如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为 $a$ ，较小的直角边长都为 $b$ ，斜边长都为 $c$ )，大正方形的面积可以表示为 $c^{2}$ ，也可以表示为 $4 \times \frac{1}{2} a b + {(a - b)}^{2}$ ，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为 $a$ ， $b$ ，斜边长为 $c$ ，则 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ．
【结论探究】
(1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理；
【结论应用】
(2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄 $C$ ，河边原有两个取水点 $A$ ， $B$ ， $A B = A C$ ，由于某种原因，由 $C$ 到 $A$ 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 $H (A$ ， $H$ ， $B$ 在同一条直线上 $)$ ，并新修一条路 $C H$ ，且 $C H ⊥ A B$ ．测得 $C H = 0.8$ 千米， $H B = 0.6$ 千米，求新路 $C H$ 比原路 $C A$ 少多少千米？
【问题拓展】
(3) $△ A B C$ 中， $A C = 10$ ， $B C = 17$ ， $A B = 21$ ， $C H ⊥ A B$ ，垂足为 $H$ ，请直接写出 $C H$ 的值．

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2、如图所示，在甲村至乙村的公路 $A B$ 旁有一块山地正在开发，现需要在 $C$ 处进行爆破，已知点 $C$ 与公路上的停靠站 $A$ 的距离为300米，与公路上的另一停靠站 $B$ 的距离为400米，且 $C A ⊥ C B$ ．为了安全起见，爆破点 $C$ 周围半径250米范围内不得进入，在进行爆破时，公路 $A B$ 是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由．

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3、如图所示，在边长为1的小正方形组成的网格中， $△ A B C$ 的三个顶点均在格点上．请按要求回答下列问题：

(1)、线段 $A B$ 的长为______， $A C$ 的长为_____， $B C$ 的长为______；

(2)、判断 $△ A B C$ 的形状，并说明理由．

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4、把两张面积都为18的正方形纸片各剪去一个面积为2的正方形，并把这两张正方形纸片按照如图所示叠合在一起，做出一个双层底的无盖长方体容器．（接缝忽略不计）

(1)、求这个容器的侧面积；

(2)、如果向容器里注满水，则需注入多少水？

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5、已知： $x = 2 - \sqrt{3}$ ， $y = 2 + \sqrt{3}$ ，求下列各式的值．

(1)、 $x^{2} - 2 x y + y^{2}$

(2)、 $x^{2} - y^{2}$

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6、先化简，再求值： $\frac{a - b}{a - 2 b} \div \frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} - 4 a b + 4 b^{2}} \cdot \frac{a b}{a - 2 b}$ ，其中 $a = 2 + \sqrt{3}$ ， $b = 2 - \sqrt{3}$ ．

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7、计算：

(1)、 $\sqrt{18} - \sqrt{32} + \sqrt{2}$ ．

(2)、 $(\sqrt{5} + 1) (\sqrt{5} - 1) + {(- 2)}^{0} - \sqrt[3]{27}$ ．

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8、计算 $\sqrt{{(- 3)}^{2}}$ 的值为；

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9、中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾 $a = 6$ ，弦 $c = 10$ ，则小正方形 $A B C D$ 的面积是（）

A、3 B、4 C、6 D、9

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10、如图所示是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是（）

A、7 B、10 C、20 D、34

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11、下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{0.5}$ C、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ D、 $\sqrt{27}$

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12、要使二次根式 $\sqrt{x + 1}$ 有意义，则x的取值范围是（）

A、 $x \leq - 1$ B、 $x \geq - 1$ C、 $x < - 1$ D、 $x > - 1$

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13、如图，在 $△ A B C$ 中， $A E$ 是边 $B C$ 上的中线， $A D ⊥ B C$ 交 $B C$ 于点 $D$ ， $F$ 为 $A B$ 的中点，连接 $E F$ ．已知 $A D = 6$ ， $△ A B C$ 的面积为24．

(1)、求 $C E$ 的长．

(2)、若 $A E = 7$ ，求 $△ A E F$ 与 $△ B E F$ 的周长差．

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14、如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 关于直线 $x = - 3$ 对称，与x轴交于 $A (- 1, 0)$ 、B两点，与y轴交于点C．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点P为抛物线对称轴上一点，连接 $B P$ ，将线段 $B P$ 绕点P逆时针旋转 $90 °$ ，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标；

(3)、在线段 $O C$ 上是否存在点Q，使 $2 A Q + \sqrt{2} C Q$ 存在最小值？若存在，请直接写出点Q的坐标及最小值；若不存在，请说明理由．

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15、已知二次函数 $y = x^{2} - 3 x + 1$ ，当 $1 \leq x \leq 3$ 时，则y的取值范围是（）

A、 $- \frac{5}{4} \leq y \leq 1$ B、 $- \frac{5}{4} \leq y \leq - 1$ C、 $- 1 \leq y \leq 1$ D、 $\frac{3}{2} \leq y \leq 1$

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16、比较下面两个数的大小（用“ $<$ ” “ $>$ ” “ $=$ ” ）
（1）1 $- 2$ ；（2） $- \frac{1}{3}$ $- 0.5$ ；（3） $|- 3|$ $- (- 3)$ ．

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17、下列各数 $- 2$ ， $- 5$ ， 0，π，0.0123中，有理数的个数有（　　）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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18、我国某地一年中最高温度是42摄氏度，最低温度是 $- 32$ 摄氏度，最高温度与最低温度相差摄氏度．

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19、定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“亲子线”.

(1)、如图1，△ABC的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形ABCD是以AC为“亲子线”的四边形，请只用无刻度的直尺，确定一点D ，请你在图1中找出满足条件的点D ，并画出这个四边形.保留画图痕迹（找出1个即可）；

(2)、①如图2，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠DCB=135°，对角线AC平分∠DAB.请问∠ACD+∠ADC= ▲ °？此时对角线AC是四边形ABCD的“亲子线”吗？请说明理由；
②若 $A C = 2 \sqrt{10}$ ，求AD•AB的值.

(3)、如图3，在（2）的条件下，若∠D=90°，在AD边上取一点E ，使 $A D : A E = \sqrt{10} : 2$ ，过点E作EF∥CD交AC于点F ，得到△AEF ，连接CE、BF ，在△AEF绕点A旋转的过程中，当CE所在的直线垂直于AF时，请你直接写出BF的长.

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20、请根据以下素材，完成探究任务：

【汽车盲区与行车安全实践】
素材一	汽车盲区是指司机位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域.在汽车行驶时，若行人、非机动车处于汽车盲区内，极易引发交通事故.如图1，某型号小汽车的车头、车尾盲区（可以近似看作矩形），以及两侧后视镜的可见区域.
素材二	如图2，若司机视线高度AB=1.5m ，车前盖最高处与地面距离CD=1m ，驾驶员与车头水平距离BE=2m ，车前盖最高处与车头水平距离DE=0.5m ，点M在EF上，ME=0.8m.
素材三	如图3，这辆小汽车在平直的公路上匀速行驶，正后方跟随一辆速度为90km/h的摩托车.若此时小汽车司机紧急刹车，那么摩托车司机也随即刹车，但摩托车司机有一个1.2秒的反应时间.已知小汽车从开始刹车到完全停住的滑行距离为22米，摩托车从开始刹车到完全停住的滑行距离为32米，小汽车车尾盲区为正后方长为5米的矩形区域.
问题解决
任务一	（1）①如图2，求车头盲区EF的长度； ②在M处有一个高度为0.5m的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由；
任务二	（2）如图3，在摩托车刹车前，摩托车应与小汽车至少保持 ▲ 米的距离，才不会闯入小汽车的车尾盲区.

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