相关试卷

1、
背景材料：
学习了平面直角坐标系后，七年级“数学之星”小组成员联系数轴上求中点的办法，经探究发现如下规律：已知平面直角坐标系中，点 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ ，那么线段 $A B$ 的中点 $P (x_{0}, y_{0})$ 的坐标满足如下关系： $x_{0} = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}, y_{0} = \frac{y_{1} + y_{2}}{2}$ ．并设计了一款“坐标编程”小游戏：
操作1（取中点）：输入两个点 $A, B$ ，输出它们的中点，称为“中间节点”；
操作2（计算能量值）：输入两个点 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ ，输出能量值 $T = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$ ．能量值越大，两点的“联动效果”越强，若能量值 $T = 0$ ，称这两个点为“无联动点”．
解决问题：
（1）若点 $C (2, - \frac{1}{2})$ 是 $A (x, \sqrt{\frac{25}{4}}), B (\sqrt[3]{- 27}, y)$ 的“中间节点”，则 $x =$ ___________， $y =$ ___________；
（2）已知点 $E (1, 2)$ ，请写出3个与 $E$ 构成“无联动点”的点 $F$ 的坐标；并描述这类点的共同特征
拓展探究：
（3）已知点 $M (7, - 6)$ ，点 $P$ 是 $A (2 x - y, - 6)$ ， $B (4, x + 2 y)$ 两点的“中间节点”，先将点 $P$ 向左平移 $2$ 个单位，再向上平移5个单位得到点 $Q$ ．若线段 $M Q$ 与坐标轴平行，且 $M Q = 4$ ，试确定 $A, B$ 两点“联动效果”最强时的坐标．

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2、已知正数 $a$ ，按下列规律操作：第一次操作 $a_{1} = \sqrt{a}$ ，第二次操作 $a_{2} = \sqrt{a_{1}}, \dots \dots$ ，第 $n$ 次操作 $a_{n} = \sqrt{a_{n - 1}}$ ．

(1)、当 $a = 16$ 时， $a_{1} =$ ________ $, a_{2} =$ ________ $, a_{3} =$ _________；

(2)、当 $a = 0.0081$ 时， $a_{1} =$ ________ $, a_{2} =$ ________ $, a_{3} =$ _________；

(3)、猜想：对于任意正数a，当n无限增大时，a_n的值与1有怎样的关系？

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3、将点 $M (x, y)$ 先向右平移3个单位长度，再向下平移 $\frac{5}{2}$ 个单位长度到点 $(0, 1)$ ．

(1)、直接写出点M的坐标（________，________）

(2)、若点 $M$ 的横、纵坐标是关于 $x$ 、 $y$ 的二元一次方程 $2 x + k y = - 1$ 的一组解，求 $k$ 的值．

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4、用适当的方法解下列方程组．

(1)、 $\{\begin{array}{l} x = 1 - 2 y & ① \\ 3 x - 4 y = 23 & ② \end{array}$ ；

(2)、 $\{\begin{array}{l} \frac{x - 1}{2} + \frac{y + 1}{3} = 1 & ① \\ 2 x + 3 y = 3 & ② \end{array}$

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5、计算： $- 1^{2026} + \sqrt{{(- 3)}^{2}} - \sqrt{\frac{9}{4}} + |\sqrt{3} - 2|$

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6、请写出能说明“任何有理数 $a$ 的平方都大于 $0$ ”是假命题的一个反例： $a =$ ．

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7、已知关于 $x$ ， $y$ 的方程组 $\{\begin{array}{l} x - y = a \\ 3 x + y = 2 b \end{array}$ 的解满足 $\{\begin{array}{l} x = m - 1 \\ y = 3 n + 2 \end{array}$ ，其中 $m$ ， $n$ 都是实数，且 $m - n = 5$ ．若 $a$ ， $b$ 均为正整数，则符合条件的整数 $n$ 的个数为（）

A、 $3$ B、 $5$ C、 $7$ D、 $9$

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8、在实数 $\frac{1}{3}$ ， 0， $\sqrt{2}$ ， 3.1415926， $\sqrt{25}$ ， $3 - π$ 中，无理数的个数为（）

A、1 B、3 C、2 D、4

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9、【问题情境】在综合实践课上，老师组织同学开展了探究角与角数量关系的数学活动，如图1，AB∥CD ， G、E是直线AB上的两点，连接CE、DG交于点F ．

(1)、【探索发现】判断∠CDG ， ∠EFD和∠CEG之间的数量关系，并说明理由．

(2)、【深入探究】如图2，过点D作DH⊥CE ，交CE的延长线于点H ，交AB于点K ，过点E作EM分别交DF、CD于点M ， N ．
若DF平分∠CDH ， ∠MEF $= \frac{1}{3} ∠ G E F = \frac{1}{3}$ ∠GDH；求∠DME的度数．

(3)、如图3，在（2）的条件下，将△KHE绕着点E以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t ，当KE边与射线EG重合时停止，则在旋转过程中，当边HK与△MEG的某一边平行时，直接写出此时t的值．

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10、定义：对于形如a（x﹣b）²+c的多项式（a ， b ， c为常数，其中a≠0），若x取两个不相等的数值m ， n时，该多项式的值相等，则称数值m和n为多项式a（x﹣b）²+c的一组“等值元”，记作[m ， n]．例如多项式（x﹣2）²+1，当x取0和4时，多项式（x﹣2）²+1的值均为5，则称0和4为多项式（x﹣2）²+1的一组“等值元”，记作[0，4]．

(1)、下列各组数值中，是多项式﹣2（x+3）²+5的“等值元“的有（填写序号）
①﹣5和﹣1； ②0和﹣3； ③ $- \frac{1}{2}$ 和 $- \frac{11}{2}$ ．

(2)、若[﹣2，﹣5]是3（x﹣b）²﹣4的一组“等值元”，求b的值；

(3)、若[m ， n]和[m﹣2，t]是多项式a（x﹣b）²+c的两组“等值元”，求n﹣t的值．

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11、图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

(1)、图2中的阴影部分的正方形的边长等于；面积等于；

(2)、观察图2，请你写出下列三个代数式（a+b）² ，（a﹣b）² ， ab之间的等量关系为；

(3)、运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且mn＝5，m﹣n＝4，试求m+n的值．

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12、先化简，再求值：（a+1）（2a﹣6）﹣a（a﹣3），其中a＝2．

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13、解下列方程组：

(1)、 $\{\begin{array}{l} x - 2 y = 1 ① \\ x + 3 y = 6 ② \end{array}$ ；

(2)、 $\{\begin{array}{l} x - 3 = 2 (y - 2) ① \\ 2 (x - 3) + (y - 2) = 5 ② \end{array}$ ．

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14、计算：

(1)、 ${(- \frac{1}{2})}^{- 2} + {(π - 2)}^{0} - | - 3 |$ ；

(2)、3m²•2m⁴﹣（2m³）²+m⁸÷m² ．

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15、如图是一块长方形菜地ABCD ， AB＝a米，AD＝b米，面积为S平方米．现将边AB增加1米．

(1)、如图1，若a＝4，边AD减少1米，得到的长方形面积不变，则b的值是．

(2)、如图2，若边AD增加2米，得到的长方形面积为2S平方米，且a ， b为正整数，则S的值是．

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16、已知关于x ， y的方程组 $\{\begin{array}{l} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{array}$ 的解为 $\{\begin{array}{l} x = 3 \\ y = 4 \end{array}$ ，请直接写出关于m、n的方程组 $\{\begin{array}{l} a_{1} (m + 2) - 3 b_{1} n = c_{1} \\ a_{2} (m + 2) - 3 b_{2} n = c_{2} \end{array}$ 的解是．

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17、若（x+2m）（x﹣3）去括号后不含x的一次项，则m的值为．

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18、将一张长方形纸条折叠成如图形状，若∠1＝40°，则∠2＝° ．

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19、七年级某班有48名学生，所在教室有6行8列座位，用（m ， n）表示第m行第n列的座位，新学期准备调整座位．设某个学生原来的座位为（m ， n），若调整后的座位为（i ， j），则称该生作了平移[a ， b]＝[m﹣i ， n﹣j]，并称a+b为该生的位置数．某生的位置数为8，当m+n取最小值时，则mn的最大值为（）

A、25 B、30 C、36 D、48

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20、方程组 $\{\begin{array}{l} 3 x - 5 y = 2 a \\ 2 x + 7 y = a - 18 \end{array}$ 的解x ， y的值互为相反数，则a的值是（）

A、12 B、﹣3.6 C、8 D、2.5

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