相关试卷

1、阅读以下材料，并解决相应问题：
小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数 $y = a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1}$ （ $a_{1} \neq 0$ ， $a_{1}$ $b_{1}$ ， $c_{1}$ 是常数）与 $y = a_{2} x^{2} + b_{2} x + c_{2}$ （ $a_{2} \neq 0$ ， $a_{2}$ ， $b_{2}$ ， $c_{2}$ 是常数）满足 $a_{1} + a_{2} = 0$ ， $b_{1} = b_{2}$ ， $c_{1} + c_{2} = 0$ ，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数 $y = 2 x^{2} - 3 x + 1$ 的旋转函数．小明是这样思考的，由函数 $y = 2 x^{2} - 3 x + 1$ 可知， $a_{1} = 2$ ， $b_{1} = - 3$ ， $c_{1} = 1$ ，根据 $a_{1} + a_{2} = 0$ ， $b_{1} = b_{2}$ ， $c_{1} + c_{2} = 0$ ，求出 $a_{2}$ ， $b_{2}$ ， $c_{2}$ 就能确定这个函数的旋转函数．
请思考小明的方法解决下面问题：
（1）写出函数 $y = x^{2} - 4 x + 3$ 的旋转函数
（2）若函数 $y = 5 x^{2} + (m - 1) x + n$ 与 $y = - 5 x^{2} - n x - 3$ 互为旋转函数，求 ${(m + n)}^{2021}$ 的值．
（3）已知函数 $y = 2 (x - 1) (x + 3)$ 的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的右边），与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ ，试求证：经过点 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ 的二次函数与 $y = 2 (x - 1) (x + 3)$ 互为“旋转函数”．

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2、两段相互垂直的墙AB和AC的长分别为12m和3m，用一段长为23m的篱笆成一个矩形菜园（篱笆全部使用完），如图所示，矩形菜园的一边AD由墙AC和一节篱笆CD构成，一边AF靠在墙AB上，一边EF上有一个2m的门．假设篱笆CD的长为xm，矩形菜园的面积为 $S m^{2} (S > 0)$ ，回答下面的问题：

(1)、用含x的式子表示篱笆DE的长为m，x的取值范围是；

(2)、菜园的最大面积是多少 ${m^{2}}^{}$ ?求出此时x的值是多少?

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3、已知关于x的一元二次方程x²+（2m﹣1）x+m²﹣3＝0有实数根．

(1)、求实数m的取值范围；

(2)、当m＝2时，方程的根为x₁ ， x₂ ，求代数式（x₁²+2x₁）（x₂²+4x₂+2）的值．

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4、如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶点坐标为 $A (- 2 ， 3) ， B (- 3 ， 2) ， C (- 1 ， 1)$ ．（画图时字母应标注清楚）

(1)、将 $△ A B C$ 绕原点O顺时针旋转 $90 °$ ，请画出旋转后的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 绕原点O旋转 $180 °$ 后得到的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；

(3)、若 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 与 $△ A B C$ 关于某点中心对称，则对称中心的坐标为_______．

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5、如图，点A是抛物线 $y = x^{2} - 4 x$ 对称轴上的一点，连接OA，以A为旋转中心将AO逆时针旋转90°得到AO^' ，当O^'恰好落在抛物线上时，点A的坐标为．

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6、函数 $y = x^{2} + b x + c$ 与 $y = x$ 的图象如图所示，有以下结论：① $b^{2} - 4 c > 2$ ；② $b + 2 c = 0$ ；③ $3 b + c + 6 = 0$ ；④当 $1 < x < 3$ 时， $x^{2} + (b - 1) x + c < 0$ ．其中正确的是（）

A、①④ B、③④ C、①②③ D、②④

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7、如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形 $O A B C$ 绕点O顺时针旋转 $45 °$ 后得到正方形 $O A_{1} B_{1} C_{1}$ ，依此方式，绕点O连续旋转 $2023$ 次得到正方形 $O A_{2023} B_{2023} C_{2023}$ ，那么点 $A_{2023}$ 的坐标是（）

A、 $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ B、 $(1, 0)$ C、 $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ D、 $(0, - 1)$

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8、如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，将△ABP绕点B顺时针旋转60°到△CBQ位置．连接PQ，则以下结论错误的是（　　）

A、∠QPB=60° B、∠PQC=90° C、∠APB=150° D、∠APC=135°

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9、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °, ∠ B A C = 70 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点A顺时针旋转 $70 °, B, C$ 旋转后的对应点分别是 $B^{'}$ 和 $C^{'}$ ，连接 $B B^{'}$ ，则 $∠ B B^{'} C^{'}$ 的度数是（）

A、 $35 °$ B、 $40 °$ C、 $50 °$ D、 $55 °$

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10、已知点A（1，y₁），B（4，y₂），C（﹣3，y₃）均在抛物线y＝2x²﹣4x+m上，下列说法中正确的是（）

A、y₃＜y₂＜y₁ B、y₂＜y₁＜y₃ C、y₃＜y₁＜y₂ D、y₁＜y₂＜y₃

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11、方程 $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ 的一个实数根为 $m$ ，则 $2024 - m^{2} + 2 m$ 的值是（）

A、2022 B、2021 C、2020 D、2019

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12、抛物线 $y = {(x + 1)}^{2} - 5$ 的顶点坐标是（）

A、 $(1, 5)$ B、 $(- 1, 5)$ C、 $(1, - 5)$ D、 $(- 1, - 5)$

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13、掷实心球是某地区中考体育考试的选考项目，已知一名男生第一次投实心球行进路线是一条抛物线，行进高度 $y (m)$ 与水平距离 $x (m)$ 之间的函数关系如图所示，掷出时起点处高度为 $2 m$ ，当水平距离为 $\frac{9}{2} m$ 时实心球行进至最高点 $\frac{25}{8} m$ 处．

(1)、求这名男生第一次投实心球的抛物线的解析式；

(2)、根据该地区2023年中考体育考试评分标准（男生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于 $12.4 m$ ，此项目考试满分为15分．按此评分标准，该生在此项考试中是否得满分，请说明理由．

(3)、该男生第二次投掷时，实心球运动的竖直高度 $y$ 与水平距离 $x$ 近似满足函数关系 $y = - 0.06 {(x - 5)}^{2} + 3.84$ ．则第二次投掷时出手点与着陆点的水平距离为多少？

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14、我国水资源比较缺乏，人均水量约为世界人均水量的四分之一，其中西北地区缺水尤为严重．一村民为了蓄水，他把一块矩形白铁皮四个角各切去一个同样大小的小正方形后制作一个无盖水箱用于接雨水．已知白铁皮的长为280cm，宽为160cm（如图）．
（1）若水箱的底面积为16000cm² ，请求出切去的小正方形边长；
（2）对（1）中的水箱，若盛满水，这时水量是多少升？（注：1升水=1000cm³水）

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15、如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 三个顶点的坐标分别为 $A (2, 4)$ ， $B (1, 1)$ ， $C (4, 3)$ ．

(1)、请画出与 $△ A B C$ 关于原点 $O$ 成中心对称的图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ （ $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对应点分别为 $A_{1}$ 、 $B_{1}$ 、 $C_{1}$ ），并写出 $A_{1}$ 、 $B_{1}$ 、 $C_{1}$ 的坐标；

(2)、若 $△ A B C$ 以点 $B$ 为旋转中心逆时针旋转 $90^{\circ}$ 后得到的图形为 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ （ $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对应点分别为 $A_{2}$ 、 $B_{2}$ 、 $C_{2}$ ），在网格中画出旋转后的图形，并写出 $A_{2}$ 、 $B_{2}$ 、 $C_{2}$ 的坐标．

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16、如图，点 $P$ 是等边 $△ A B C$ 内一点，且 $P A = 3$ ， $P B = 4$ ， $P C = 5$ ，若将 $△ A P B$ 绕着点 $B$ 逆时针旋转 $60 °$ 后得到 $△ C Q B$ ，则 $∠ A P B$ 的度数为（）

A、 $120 °$ B、 $135 °$ C、 $145 °$ D、 $150 °$

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17、如图所示的二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象中，观察得出了下面四条结论： $① a < 0$ ； $② b > 0$ ； $③ a - b + c > 0$ ； $④$ $2 a + b < 0$ ．你认为其中正确结论的个数有（）

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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18、如图，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转角 $α (0 ° < α < 180 °)$ 得到 $△ A D E$ ．点 $B$ 的对应点 $D$ 恰好落在 $B C$ 边上，若 $D E ⊥ A C$ ， $∠ C A D = 20 °$ ，则旋转角 $α$ 的度数是（）

A、 $40 °$ B、 $50 °$ C、 $60 °$ D、 $70 °$

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19、为了促进教育事业的发展，某县加强了对教育经费的投入，2022年共计投入 $3.4$ 亿元，预计2024年投入 $4.9$ 亿元，设教育经费的年平均增长率为 $x$ ，下面所列方程正确的是（）

A、 $3.4 x^{2} = 4.9$ B、 $3.4 {(1 + x %)}^{2} = 4.9$ C、 $3.4 {(1 + x)}^{2} + 3.4 (1 + x) = 4.9$ D、 $3.4 {(1 + x)}^{2} = 4.9$

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20、若 $m$ 是一元二次方程 $x^{2} - 5 x - 2 = 0$ 的一个实数根，则 $2024 - m^{2} + 5 m$ 的值是（）

A、2025 B、2024 C、2023 D、2022

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