相关试卷

1、综合与实践
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略．
【洗衣过程】
步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；
步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标．
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为 $0.2 %$ ，每次拧干后校服上都残留 $0.5 kg$ 水．
浓度关系式： $d_{后} = \frac{0.5 d_{前}}{0.5 + w}$ ．其中 $d_{前}$ 、 $d_{后}$ 分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度； $w$ 为单次漂洗所加清水量（单位： $kg$ ）
【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于 $0.01 %$
【动手操作】请按要求完成下列任务：

(1)、策略一：如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为 $0.01 %$ ，需要多少清水？

(2)、策略二：如果把 $4 kg$ 清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？

(3)、比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，应选择策略_______更优．

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2、为推动社区共建共治，幸福家园小区开展“居民巧手扮家园”的活动，计划将小区内一块长为 $(x + 2 y)$ 米、宽为 $(2 x + y)$ 米的长方形闲置空地进行改造．居民代表们共同设计了如图所示的“T”型花圃（阴影部分），打算在花圃里种植太阳花、郁金香等花草，花圃外的区域则铺设鹅卵石小径，方便居民日常休憩漫步．

(1)、求“ $T$ ”型花圃的面积（用含 $x$ ， $y$ 的式子表示）．

(2)、当 $x = 4 ， y = 10$ 时，求“T”型花圃的面积．

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3、材料：多项式： $a^{4} - b^{4}$ 因式分解后的结果是 $(a - b) (a + b) (a^{2} + b^{2})$ ，当取 $a = 9, b = 9$ 时，各个因式的值是 $a - b = 0, a + b = 18, a^{2} + b^{2} = 162$ ，根据每个因式运算结果从小到大排序就可以把“018162”作为一个六位数密码．
任务一：
（1）分解因式： $4 a^{3} - a b^{2}$
任务二：
（2）当取 $a = 10, b = 5$ 时，请确定产生的六位数密码？

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4、如图， $△ A B C$ 中，用直尺和圆规完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）．

(1)、作 $A B$ 的垂直平分线 $E D$ ，与 $A B$ 交于点E，与 $B C$ 交于点D；

(2)、在直线 $E D$ 上求作点F，使得点F到线段 $B C$ 和线段 $B A$ 的距离相等．

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5、先化简，再求值： $(\frac{2 x + 1}{x^{2} - 1} - \frac{1}{x - 1}) \div \frac{x}{x^{2} - 2 x + 1}$ ，从 $- 2 \leq x < 2$ 中选出合适的 $x$ 的整数值代入求值．

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6、如图， $A B = C D$ ， $A E ⊥ B C$ ， $D F ⊥ B C$ ，垂足分别为E，F， $B E = C F$ ，求证： $∠ A = ∠ D$ ．

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7、计算：

(1)、 $x (x - 1) - 3 x + 4$ ；

(2)、 $(3 a + b) (3 a - b)$ ．

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8、已知 $a^{x} = 4$ ， $b^{x} = 5$ ，求 ${(a b)}^{2 x}$ 的值为．

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9、已知 $a^{2} - a - 1 = 0$ ，则 $a^{3} - 2 a + 2025 =$ ．

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10、计算： $a^{0} =$ ．（ $a \neq 0$ ）

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11、若关于 $x$ 的分式方程 $\frac{k - 2}{x - 1} + \frac{3}{1 - x} = 1$ 的解是非负数，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $k > 4$ 且 $k \neq 5$ B、 $k \geq - 2$ 且 $k \neq - 1$ C、 $k \geq 4$ 且 $k \neq 5$ D、 $k > - 2$ 且 $k \neq - 1$

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12、下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（）

A、 $x^{2} - x - 1 = x (x - 1) - 1$ B、 $x^{2} - 1 = {(x - 1)}^{2}$ C、 $36 - m^{2} = (6 - m) (6 + m)$ D、 $x (x - 1) = x^{2} - x$

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13、下列图形是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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14、我们约定：平面直角坐标系 $x O y$ 中不重合的两点 $M (x_{1}, y_{1})$ ， $N (x_{2}, y_{2})$ ．若 $x_{1} + y_{1} = x_{2} + y_{2}$ ，则称点 $N$ 为点 $M$ 的“亮粹点”．

(1)、已知点 $N$ 为点 $M$ 的“亮粹点”，点 $M$ 的坐标为 $(3, 2)$ ，且 $N$ 在直线 $y = x + 2$ 上，求点 $N$ 的坐标；

(2)、如果直线经过点 $P_{1} (x_{1}, y_{1})$ ， $P_{2} (x_{2}, y_{2}) (x_{1} \neq x_{2})$ ，那么直线 $P_{1} P_{2}$ 的斜率 $k = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ ，已知点 $N (x_{2}, y_{2})$ 为点 $M (x_{1}, y_{1})$ 的“亮粹点”，其中 $\frac{y_{1}^{2}}{x_{1}^{4}} + \frac{y_{2}^{2}}{x_{2}^{4}} - \frac{2 y_{1}}{x_{1}^{2}} - \frac{2 y_{2}}{x_{2}^{2}} = - 2$ ，点 $A (0, - \frac{1}{4})$ 且 $S_{△ M A N} = \frac{3 \sqrt{6}}{4}$ ，求直线 $M N$ 的解析式；

(3)、函数 $y = - x^{2} + 2 x + 3 (x \leq m, m < 3)$ 的图象记为 $W_{1}$ ，将其沿直线 $x = m$ 翻折后的图象记为 $W_{2}$ ，已知 $W_{1}$ ， $W_{2}$ 两部分组成的图象上恰有点 $M (0, m)$ 的两个“亮粹点”，令 $P = - m^{2} + 2 t m + t$ ，其中 $P$ 的值恒不大于 $t + 1$ ，求实数 $t$ 的取值范围．

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15、已知 $△ A B C$ ， $A B = 2$ ， $B C = 3$ ， $A C = \sqrt{7}$ ， $D$ 为平面内一点．

(1)、如图1，若点 $D$ 在 $△ A B C$ 外部， $D A ⊥ A B$ ， $D C ⊥ B C$ ，连接 $B D$ ，求证： $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四个点在同一个圆上；

(2)、求 $△ A B C$ 内切圆半径；

(3)、若点 $D$ 在边 $A C$ 上，过点 $D$ 作 $D E ⊥ A B$ ， $D F ⊥ B C$ ，垂足分别为 $E$ ， $F$ ，求 $E F$ 的最小值．

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16、乒乓球作为中国国球，承载着深厚的民族情怀与荣耀记忆．

2025

年

11

月

20

日第十五届全运会乒乓球男子团体决赛巅峰上演，更点燃了全民对乒乓球运动的热爱．根据以下素材，探索完成任务．

乒乓球发球机的运动路线
素材一	如图1，某乒乓球台面是矩形，长为 $274 cm$ ，宽为 $150 cm$ ，球网高度为 $15 cm$ ．乒乓球发球机的出球口在桌面中线端点O正上方 $25 cm$ 的点P处．
素材二	假设每次发出的乒乓球都落在中线上，球的运动的高度 $y (cm)$ 关于运动的水平距离 $x (cm)$ 的函数图象是一条抛物线的一部分，且这条抛物线在与点P水平距离为 $100 cm$ 的点Q处达到最高高度，此时距桌面的高度为 $45 cm$ ，乒乓球落在桌面的点M处．以O为原点，桌面中线所在直线为x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．
素材三	如图3，若乒乓球落在桌面上弹起后，在与点O的水平距离为 $300 cm$ 的点R处达到最高，设弹起后球达到最高时距离桌面的高度为 $h (cm)$ ．
问题解决
任务一	研究乒乓球的飞行轨迹	(1)求出从发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动轨迹的函数表达式(不要求写出自变量的取值范围)．
任务二	击球点的确定	(2)当 $h = 25$ 时，运动员小亮想在点R处把球沿直线擦网击打到点O，他能不能实现？请说明理由．
任务三	击球点的距离	(3)若 $h = 40$ ，且弹起后球飞行的高度在离桌面 $30 cm$ 至 $50 cm$ 时，小亮可以获得最佳击球效果，求击球点与发球机水平距离x的取值范围．

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17、如图， $B D$ 是 $∠ A B C$ 的角平分线，点O是 $B D$ 上一点， $⊙ O$ 与 $A B$ 相切于点M，与 $B D$ 交于点E、F．

(1)、求证： $B C$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、连接 $E M$ ，若 $E M ∥ B C$ ， $O B = 6$ ，求 $E M$ 的长．

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18、某小区准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用总长为 $30 m$ 的篱笆围成，已知墙长为 $14 m$ （如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边 $A B$ 长 $x m$ ．

(1)、若苗圃园的面积为 $72 m^{2}$ ，求x的值；

(2)、求这个苗圃园可围建的最大面积．

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19、如图，已知 $△ A B C$ ．

(1)、尺规作图：作 $△ A B C$ 的外接圆 $⊙ O$ ．（保留作图痕迹，不写作法）

(2)、在（1）的条件下，若 $⊙ O$ 的半径为10，点 $O$ 到BC的距离为6，求BC的长．

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20、为了培养学生的读书兴趣，进而养成终身阅读的良好习惯，最新语文统编教材在七至九年级安排了必读名著及选读名著书目，其中在九年安排的必读篇目为《艾青诗选》（记为 $A$ ），《水浒传》（记为 $B$ ）、《儒林外史》（记为 $C$ ）、《简·爱》（记为 $D$ ）．为了了解学生对这几本名著的喜爱情况，某学校对本校九年级学生进行了问卷调查，学生选择最喜爱的一本名著的调查结果如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：

(1)、此次共调查了人，补全条形统计图；

(2)、扇形统计图中 $C$ 对应的圆心角的度数为 $°$ ；

(3)、若该学校某次考试的名著考查将从《艾青诗选》、《水浒传》和《儒林外史》中随机选取两本，请用列表法或画树状图的方法求出刚好选到《水浒传》和《儒林外史》的概率．

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