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1、如图，将 $∠ A C B = 90 °$ 的 $Rt △ A B C$ 绕其锐角顶点 $A$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到 $Rt △ A E D$ ，连接 $B E$ ，延长 $D E 、 B C$ 相交于点 $F$ ，则有 $∠ B F E = 90 °$ ，且四边形 $A C F D$ 是一个正方形．

(1)、求证： $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ；

(2)、若 $B C = \sqrt{3} ， A C = 2$ ，求 $B E$ 的长．

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2、如图，以 $△ A B C$ 的边 $B C$ 为直径的 $⊙ O$ 与边 $A B$ 相交于点 $D$ ， $A D = B D$ ，过点 $D$ 作 $D H ⊥ A C$ 于点 $H$ ．

(1)、求证： $D H$ 为 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $∠ A C B = 60 °$ ， $⊙ O$ 的直径为 $20 \sqrt{3}$ ，求 $A D$ 的长．

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3、如图，已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $△ A B C$ 的顶点坐标分别是 $A (3, 5)$ ， $B (1, 3)$ ， $C (5, 1)$ ．

(1)、画出 $△ A B C$ 关于原点对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、若将 $△ A B C$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $90 °$ ，直接写出点 $A$ 的对应点 $A_{2}$ 的坐标______．

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4、如图，转盘A被分成面积相等的四个扇形，每个扇形上的数字分别是1，2，3，4，转盘B被分成面积相等的三个扇形，每个扇形上的数字分别是3，4，5，这两个转盘均可自由转动．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字，若指针指向分界线，则重新转动．

(1)、转动转盘A一次，指针指向偶数的概率是________；

(2)、若同时转动A、B两个转盘，请用列表或画树状图的方法，求当转盘停止后，A、B两个转盘转出的数字之和不小于6的概率．

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5、解下列方程：

(1)、 $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ ；

(2)、 $2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$ ．

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6、如图，已知 $⊙ O$ 中，直径 $A F ⊥$ 弦 $B C$ 于点 $H$ ，点 $D$ 在 $\overset{⏜}{A B}$ 上， $\overset{⏜}{A C} - \overset{⏜}{B D} = 60 °$ ，过点 $A$ 作 $A E ⊥ C D$ 交 $C D$ 于点 $E$ ，已知 $A E = 3$ ，且 $B C = 4$ ，则 $⊙ O$ 的半径长为．

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7、如图，近几年二维码已经成为人民生活不可或缺的一部分，如图正方形二维码的边长为 $10 cm$ ，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右，据此可估计黑色部分的面积约为 ${cm}^{2}$ ．

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8、如图，二次函数 $y = - x^{2} + x + 2$ 及一次函数 $y = x + m$ ，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线 $y = x + m$ 与新图象有4个交点时，m的取值范围是（）．

A、 $- \frac{13}{4} < m < - 3$ B、 $- \frac{25}{4} < m \leq 1$ C、 $- 2 < m < 1$ D、 $- 3 < m < - 2$

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9、如图， $⊙ O$ 是边长为 $6 \sqrt{3}$ 的等边三角形 $A B C$ 的外接圆， $D$ 是 $\overset{⌢}{B C}$ 的中点，连接 $B D$ 、 $C D$ ，以点 $D$ 为圆心，以 $B D$ 长为半径在 $⊙ O$ 内画弧，则图中阴影部分的面积为（）

A、 $4 π$ B、 $6 π$ C、 $12 π$ D、 $18 π$

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10、如图1，在边长为8cm的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为（　　）

A、 $2.8 {cm}^{2}$ B、 $22.4 cm$ C、 $3.2 {cm}^{2}$ D、 $22.4 {cm}^{2}$

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11、如图，点A，B，C在 $⊙ O$ 上， $∠ C = 30 °$ ， $A B = 4$ ，则 $⊙ O$ 的半径是（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、3 C、4 D、 $2 \sqrt{2}$

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12、如图，将 $△ A B C$ 绕点O旋转 $180 °$ 得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，则点 $C_{1}$ 的坐标为（）

A、 $(3, - 2)$ B、 $(- 3, 2)$ C、 $(- 3, - 2)$ D、 $(3, 2)$

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13、将一元二次方程 $3 x^{2} = 5 x - 1$ 化为 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的形式，若 $a = 3$ ，则 $b$ ， $c$ 的值分别为（）

A、5，1 B、 $- 5$ ， $- 1$ C、 $5$ ， $- 1$ D、 $- 5$ ， 1

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14、不透明的袋子中只装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是白球的概率是（）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $\frac{2}{3}$

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15、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $∠ A O C = 60 °$ ，则 $∠ A B C$ 的度数为（）

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $120 °$ D、 $150 °$

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16、二次函数 $y = a x^{2}$ 的图象过点 $(2, 4)$ ，则a的值是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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17、已知关于x的一元二次方程 $x^{2} + 2 x + m = 0$ 有一个根为 $- 3$ ，则另一个根为（）

A、－2 B、－1 C、0 D、1

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18、纸艺术是中国传统文化宝库中的优秀瑰宝，每一个作品设计独特，都体现文化传承和艺术之美，下列关于鱼的剪纸中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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19、已知： $△ A B C$ 为等边三角形，点D、E分别为 $A B 、 B C$ 边上一点， $A E 、 C D$ 相交于点F， $B D = C E$ ．

(1)、如图1，求 $∠ A F D$ 的度数；

(2)、如图2，连接 $B F$ 并延长，与 $A C$ 相交于点G，点M为 $B F$ 延长线上一点， $M F = B F$ ，点N为 $C D$ 延长线上一点， $∠ M A N = 120 °$ ， $∠ A C F = 2 ∠ C B G$ ，求证： $C N = 2 A F$ ；

(3)、在（2）的条件下（可使用备用图），若 $△ A B M$ 的面积为2， $A F + G C = D F + \sqrt{3}$ ，请求出点A到 $B C$ 的距离与点N到 $A B$ 的距离之和．

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20、如图，在平面直角坐标系中，点 $B (a, b)$ 是第二象限内一点．

(1)、若a、b满足等式 ${(a + 3)}^{2} + |b - 2| = 0$ ，求点B的坐标；

(2)、如图1，在（1）的条件下，动点C以每秒2个单位长度的速度从O点出发，沿x轴的负半轴方向运动，同时动点A以每秒1个单位长度的速度从O点出发，沿y轴的正半轴方向运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时， $△ A B C$ 是 $A B$ 为斜边的等腰直角三角形；

(3)、如图2，C、A分别是x轴负半轴和y轴上正半轴上一点，且 $△ A B C$ 是以 $A B$ 为斜边的等腰直角三角形，若E是线段 $O C$ 上一点，连接 $B E$ 交 $A C$ 于点D，连接 $A E$ ，当 $A E = C E$ ， $∠ O A E = 45^{\circ}$ ， ①求证： $B E$ 平分 $∠ A B C$ ； ②设 $B D$ 的长为a， $△ A D B$ 的面积为S．请用含a的式子表示S．

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