相关试卷

1、“校园安全”越来越受到人们的关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题；

(1)、接受问卷调查的学生共有 ▲ 人，并补全统计图；

(2)、扇形统计图中“不了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为；

(3)、若该中学共有学生 $1800$ 人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为人；

(4)、若从对校园安全知识达到“基本了解”程度的 $2$ 名男生和 $2$ 名女生中随机抽取 $2$ 人参加校园安全知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到 $1$ 名男生和 $1$ 名女生的概率．

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2、如图， $△ A B C$ 三个顶点的坐标分别为 $A (1, 1) ， B (4, 2) ， C (3, 4)$ ．

(1)、请画出 $△ A B C$ 绕点A顺时针旋转 $90 °$ 的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，并写出点 $B_{2}$ 的坐标；

(2)、求出（1）中B点旋转到 $B_{2}$ 点所经过的路径长（结果保留 $π$ ）．

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3、如图，正三角形 $A B C$ 的边长为 $1$ ，将线段 $A C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $120 °$ 至 $A P_{1}$ ，形成第一个扇形；将线段 $B P_{1}$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $120 °$ 至 $B P_{2}$ ，形成第二个扇形；将线段 $C P_{2}$ 绕点 $C$ 逆时针旋转 $120 °$ 至 $C P_{3}$ ，形成第三个扇形；将线段 $A P_{3}$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $120 °$ 至 $A P_{4}$ ，形成第四个扇……设 $l$ 为第 $n$ 个扇形的弧（ $n = 1, 2, 3$ ……），则 $l_{2021} =$ ．

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4、如图，点 A 、 B 、 P 是⊙ O 上的三点，若∠AOB ＝50°，则∠APB 的度数为．

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5、如图所示，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A (x_{1}, 0)$ 和 $B (1, 0)$ ，其中 $- 2 < x_{1} < - 1$ ．现存在以下结论；① $b > 0$ ；② $a c > \frac{1}{4} b^{2}$ ；③ $a > b$ ；④ $- a < c < - 2 a$ ．其中正确的结论个数有（）

A、 $4$ 个 B、 $3$ 个 C、 $2$ 个 D、 $1$ 个

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6、已知 $⊙ O$ 的半径为 $6 cm$ ， $O P = 7 cm$ ，则点P与 $⊙ O$ 的位置关系是（　　）

A、点P在圆内 B、点P在圆上 C、点P在圆外 D、无法确定

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7、某商品原价 $200$ 元，连续两次降价的百分率为 $a$ 后售价为 $148$ 元，下列所列方程正确的是（）

A、 $200 {(1 + a)}^{2} = 148$ B、 $200 {(1 - a)}^{2} = 148$ C、 $200 (1 - 2 a) = 148$ D、 $200 (1 - a^{2}) = 148$

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8、综合与实践：八年级数学兴趣小组开展了测量学校旗杆

A B

的高度的实践活动，测量方案如下表：

课题	测量旗杆 $A B$ 的高度
测量工具	测角仪、皮尺等
测量方案示意图
测量步骤	①在平地选定一点 $C$ ； ②测量视线 $C A$ 与地面的夹角 $∠ A C B$ 的度数； ③测量 $B C$ 的长度； ④放置一根与 $B C$ 长度相同的标杆 $D E$ ， $D E$ 垂直于地面，并测量 $C D$ 的长度； ⑤测量视线 $C E$ 与地面的夹角 $∠ E C D$ 的度数．
测量数据	$∠ A C B = 73.30 °$ ， $∠ E C D = 16.70 °$ ， $B C = D E = 3 m$ ， $C D = 10 m$

请你根据兴趣小组的测量方案及数据，计算旗杆 $A B$ 的高度．

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9、两根木条 $A$ ， $B$ 按如图所示的方式放在地面上，若 $∠ 3 = 100 °$ ， $∠ 1 = 45 °$ ，则 $∠ 2 =$ （）

A、 $125 °$ B、 $100 °$ C、 $80 °$ D、 $55 °$

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10、在四边形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $C D$ 边上一点， $F$ 为 $B C$ 延长线上一点， $G$ ， $H$ 分别是 $B E$ ， $D F$ 中点，连接 $G H$ ．

(1)、如图1，若四边形 $A B C D$ 为正方形，且 $C E = C F$ ，试猜想： $B E$ 与 $D F$ 之间的数量关系为________， $G H$ 与 $B E$ 之间的数量关系为________；

(2)、如图2，若四边形 $A B C D$ 为矩形， $B C = 12$ ， $A B = 6$ ，且 $C E = 2 C F$ ， $G H = 5 \sqrt{2}$ ，求 $B E$ 的长．

(3)、如图3，若四边形 $A B C D$ 为平行四边形， $B C = A C = 5$ ， $A B = 6$ ， $\frac{C E}{C F} = \frac{5}{6}$ ，当 $\frac{G H}{B D} = \frac{2}{5}$ 时，求 $C E$ 的长．

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11、游乐园的卡通拱门是一种兼具美观与实用的装饰结构，它的下方是矩形门框，上方是抛物线造型的装饰顶．如图1，某拱门的横截面可以看作矩形 $A B C D$ 和抛物线 $A E D$ 构成，其中门框高度 $A B = 3 m$ ，门框宽度 $B C = 4 m$ ，取 $B C$ 中点 $O$ ，过点 $O$ 作线段 $B C$ 的垂直平分线 $O E$ 交抛物线 $A E D$ 于点 $E$ （拱门顶部最高点），以 $O$ 点为原点， $B C$ 所在直线为 $x$ 轴， $O E$ 为 $y$ 轴建立平面直角坐标系，抛物线 $A E D$ 的顶点 $E (0, 4)$ ，如图2，

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图3，为了装饰拱门，要安装两个正方形的卡通装饰块 $L F G T$ ， $S M N R$ ，若 $F L = N R = 0.75 m$ ，求两个正方形装饰块的间距 $G M$ 的长；

(3)、如图4，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时拱门截面的阴影为 $C K$ ，求 $C K$ 的长．

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12、如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的弦，D，C为优弧 $A C B$ 的三等分点，延长 $D C$ 至点 $E$ ， $A C ∥ B E$ ．

(1)、求证： $∠ A = ∠ E$ ；

(2)、若 $B C = 9$ ， $B E = 15$ ，求 $C E$ 的长．

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13、如图，已知 $△ A B C$ 中， $B C = B A$ ， $∠ C A B = 30 °$ ， $⊙ O$ 经过点 $B$ 和点 $C$ ，与 $A C$ 交于点 $D$ ，且 $⊙ O$ 的圆心 $O$ 在 $C A$ 边上．

(1)、尺规作图：请依题意，作出 $⊙ O$ 并补全图形（保留作图痕迹，不写作法）；

(2)、判断直线 $A B$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；

(3)、若 $A D = \sqrt{3}$ ，则 $⊙ O$ 的面积为_________．

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14、已知，如图，在菱形 $A B C D$ 中，E为 $C D$ 边上一点， $∠ A E B = ∠ C$ ．

(1)、求证： $△ A B E ∽ △ B E C$ ；

(2)、若 $A B = 2$ ，求 $A E \cdot B E$ 的值．

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15、已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 3 x + k - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根．

(1)、求 $k$ 的取值范围；

(2)、设 $m$ 是方程的一个实数根，且满足 $(m^{2} - 3 m + 3) (k + 1) = - 6$ ，求 $k$ 的值．

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16、 $△ A B C$ 在平面直角坐标系中的位置如图所示， $A (- 2, 4), B (- 4, 2), C (- 3, 1)$ ．其中每个小正方形的边长为1个单位长度，按要求作图：

(1)、将 $△ A B C$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ；

(2)、求出（1）中旋转过程点 $C$ 经过的路径长；

(3)、连接 $B B^{'}$ ， $△ O B B^{'}$ 的外心坐标是_________．

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17、解一元二次方程： $x (x - 3) + x - 3 = 0$ ．

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18、已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a < 0)$ 的顶点坐标为 $P (- 1, 3)$ ，下列说法：
①若 $a = - 1$ ，则点 $(1, - 1)$ 一定在抛物线 $L$ 上；
②方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 一定有两个不相等的实数根；
③若抛物线经过点 $(- 3, 0)$ ，则方程 $a {(x + 2)}^{2} < - c - b x - 2 b$ 的解集为 $- 5 < x < - 1$ ；
④若 $c = 2$ ，且直线 $y = n x - 2 n + 3$ 与抛物线在 $- 3 \leq x \leq 0$ 范围内只有一个公共点，则 $0.5 < n \leq 0.8$ ；
⑤若抛物线L过点 $A (3, 0)$ ，交 $x$ 轴于另一点 $B$ ，点 $C$ 为线段 $A B$ 上一动点，连 $P A, P B$ ，过点 $C$ 分别作 $P A, P B$ 所在直线的垂线，垂足分别为点 $E, F$ ，当点 $C$ 运动时， $C E + C F$ 为定值 $\frac{24}{5}$ ．
其中正确结论的序号为．

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19、如图，正方形 $A B C D$ 的边长为2，点 $E, F$ 分别在 $B C, C D$ 上，且 $B E = C F$ ， $A E$ 与 $B F$ 相交于点 $G$ ，连接 $C G$ ，则 $C G$ 的最小值为．

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20、某等腰三角形的一边长为2，另外两边长是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 3 x + k = 0$ 的两根，则 $k =$ ．

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