相关试卷

1、在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：
已知 $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ，求 $2 a^{2} - 8 a + 1$ 的值.
对于该题，小明是这样解答的：
∵ $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$ ，
∴ $a - 2 = - \sqrt{3}$ ，
∴ $(a - 2)^{2} = 3$ ， $a^{2} - 4 a + 4 = 3$ ，
∴ $a^{2} - 4 a = - 1$ ，
∴ $2 a^{2} - 8 a + 1 = 2 (a^{2} - 4 a) + 1 = 2 \times (- 1) + 1 = - 1$ .
请你根据小明的解题过程，解决以下问题：

(1)、 $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} =$ ； $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} =$

(2)、化简： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + ⋯ + \frac{1}{\sqrt{169} + \sqrt{168}}$ .

(3)、若 $a = \frac{1}{\sqrt{5} - 2}$ ，求 $a^{2} - 4 a + 3$ 的值.

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2、计算：

(1)、 $4 \sqrt{12} - 6 \sqrt{\frac{1}{3}} + \sqrt{48}$ ；

(2)、 $(3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}) (3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3})$ .

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3、中国传统房屋往往将屋脊做成三角形形状，如图1，用三角形房梁支撑房擦，做成三角形屋脊，图2是房梁的平面图，MN是加固房梁的一根横撑.若AB=AC=5米，BC＝6米，M为BC的中点，MN⊥AC于点N.则MN的长度为米.

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4、DeepSeek训练AI模型时，GPU温度y（单位：℃）与运行时间x（单位：h）的关系如图所示，则运行到10h时，GPU的温度是℃

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5、当前，我国新能源汽车产业实现了快速发展，产销量和出口量均居世界第一，形成了完整且竞争力强的产业链，涌现了一批具有国际竞争力的企业，某汽车制造公司对旗下四款新型新能源汽车进行续航性能测试，下表记录了A，B，C，D四款车型在满电状态下的平均续航里程（单位：km）与续航里程的方差：
车型
A款
B款
C款
D款
均续航里程/km
420
420
410
400
方差
0.03
0.06
0.03
0.05
根据表中数据，要选择一款平均续航里程长且续航表现稳定的车型投人市场，应该选择款车型.

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6、计算 $(2 \sqrt{48} - 3 \sqrt{27}) \div \sqrt{6}$ 的结果是.

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7、某校为强化学生安全教育学习成果，考查学生面对突发事件的应急处理能力和自救互救能力，组织七、八年级学生进行了理论知识测试（分数为整数，满分为10分）.已知两个年级被随机抽取参与测试的学生人数相同，根据成绩整理并绘制了如图所示的统计表和统计图，下列判断正确的是（）
统计量
平均数
众数
中位数
方差
七年级
8
8
c
1.16
八年级
8
b
8
1.56

A、两个年级被抽取参与测试的学生人数均为40 B、若该校八年级有900名学生，估计该校八年级学生成绩为满分的人数约为105 C、b=9，c=8 D、七年级测试成绩为9分的学生人数最多，说明七年级学生成绩较稳定

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8、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4.D是边AB上的动点，过点D分别作边AC，BC的垂线DE，DF，垂足分别为E，F.连接EF，则EF的最小值为（）

A、3 B、2.4 C、4 D、2.5

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9、已知某植物园的成人票每张50元，学生票每张20元.设植物园已收门票的总费用为y元，若植物园内有成人x名和学生1名，则y与x之间的函数解析式为（）

A、y=20x B、y=50x C、y=20x+50 D、y=50x+20

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10、已知一次函数y-3x+1的图象向上平移t（↑>0）个单位长度后，其图象经过点（2，8），则t的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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11、如图，这是不完整的推理过程，为保证推理成立，需在四边形ABCD中添加条件.下列对于嘉嘉和淇淇添加的条件的判断正确的是（）
嘉嘉：AD//BC.淇淇：AB=CD.
∵∠A+∠D=180°，
∴AB//CD.
∵____
∴四边形ABCD是平行四边形.

A、只有嘉嘉的正确 B、只有洪淇的正确 C、两人的都正确 D、两人的都不正确

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12、在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=6，则OA的长度为（）

A、12 B、6 C、4 D、3

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13、在△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，则∠ABC的面积是（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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14、已知下列各三角形三边长，其中不能构成直角三角形的是（）

A、2，3，4 B、3，4，5 C、5，12，13 D、6，8，10

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15、 $\sqrt{\frac{1}{3}} \times \sqrt{27}$ 的计算结果是（）

A、 $\pm 3$ B、3 C、 $\pm \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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16、下列式子为最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{8}$ C、 $\sqrt{\frac{1}{m}}$ D、 $\sqrt{m^{2}}$

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17、如图1，在等边△ABC中，AB=6，点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，此时△ABC被分成4个全等的小等边三角形。

(1)、【感知图形】
如图1，EF= ， AF+BE-EF=.

(2)、【特殊情形】
如图2，点P是边BC上的一个动点，∠PDQ=60°，DQ与边AC交于点Q.当点P与点C重合时、求AQ+BP-PQ的值

(3)、【一般结论】
如图3.在（2）的条件下、求证：在运动过程中，AQ+BP-PQ的结果为定值，并求出这个定值.

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18、

信息1

若一个两位数十位、个位上的数字分别为a和b，我们可将这个两位数记为 $\bar{a b}$ ，如 $\bar{a b}$ =10a+b：

同理，一个三位数、四位数等也可以用此记法，如 $\bar{a b c}$ =100a+10b+c.

信息2

调换两位数 $\bar{a b}$ 的各个数位上的数字，可以得到一个新的两位数 $\bar{b a}$ .

(1)、填空：

① $\bar{3 x}$ 可表示为.

②若 $\bar{2 y} + \bar{y 3} = 45$ ，则y=.

(2)、

\bar{a b} - \bar{b a}

的运算结果能被9整除，请说明共中的道理.

(3)、【迁移运用】

小明利用运算程序设计了一个数学魔术，邀请小天参与体验。

步骤1：小明写下一个两位数 $\bar{m n}$ ：

步骤2：小天将一个两位数 $\bar{a b}$ 输入下图所示的运算程序，得到运算结果后，再将该结果减去 $\bar{m n}$ ：

步骤三：小明在未运用运算程序的情况下，直接说出了最终结果为四位数 $\bar{a b c d}$ .

请推测两位数 $\bar{c d}$ 与 $\bar{m n}$ 之间的数量关系。并简要说明理由.

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19、小颖是一位热衷于无人机航拍的爱好者，他从APP调取了某一次的飞行数据，并绘制了无人机在匀速爬升、悬停盘旋、匀速降落过程中的飞行高度（h/米）与操控时间（t/分钟）之间的关系图.已知匀速爬升的速度相同，请根据图象回答问题：

(1)、自变量是，因变量是.

(2)、无人机在第分钟上升到100米的高度，它在这个高度持续了分钟：

(3)、无人机匀速爬升的速度为米/分钟，点A表示的意义是.

(4)、若无人机匀速下降的速度是匀速爬升速度的1.25倍，求出图中b的值.

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20、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°。

(1)、在图1中，尺规作图：作直线BF//AC（保留作图痕迹，不写作法）：

(2)、如图2，在（1）的条件下，延长AB至点D，使得BD=AC，过点D作DE⊥AB交直线BF于点E，求证：BC=DE.

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车型	A款	B款	C款	D款
均续航里程/km	420	420	410	400
方差	0.03	0.06	0.03	0.05

统计量	平均数	众数	中位数	方差
七年级	8	8	c	1.16
八年级	8	b	8	1.56