相关试卷

1、在学习锐角三角函数时，小明同学对“具有倍半关系的两个锐角的正切值之间具有怎样的关系”这个问题产生了浓厚的兴趣，并进行了一些研究.

(1)、初步尝试：
我们知道： $t a n 6 0^{\circ} =$ ， $t a n 3 0^{\circ} =$ ；发现结论： tan A $2 t a n \frac{1}{2} ∠ A$ ((填“=”或“≠”).

(2)、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，求 $t a n \frac{1}{2} ∠ B A C$ 的值.
研究思路：小明想构造包含 $\frac{1}{2} ∠ B A C$ 的直角三角形，延长CA至点 D，使得 DA=AB，连结BD，所以得到 $∠ D = \frac{1}{2} ∠ B A C ，$ 即转化为求∠D的正切值，那么 $t a n \frac{1}{2} ∠ B A C =$ .

(3)、在△ABC 中，∠A 为锐角， $t a n A = \frac{1}{3} ，$ ∠B=2∠A，AB=3 $\sqrt{10}$ ，求 S△ABC的值.

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2、在《九章算术》“割圆术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种由有限到无限的转化思想.比如在求 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{2^{4}} + \dots$ 的和中，“…”代表按此规律不断求和.我们可设 $x = 1 + \frac{1}{2} +$ $\frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{2^{4}} + \dots .$ 则有 $x = 1 + \frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} +$ $\frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{2^{4}} + \dots) ，$ 即 $x = 1 + \frac{1}{2} x ，$ 解得x=2，故 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{2^{4}} + \dots = 2 .$
类似地，请你计算： $1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{3^{4}} + \frac{1}{3^{6}} + \frac{1}{3^{8}} + \dots =$ .(直接填计算结果即可)

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3、如图是钉板示意图，每相邻4 个钉点是边长为1个单位长度的小正方形的顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则

(1)、AB 与CD 是否垂直? (填“是”或“否”)；

(2)、AE=.

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4、如图，已知 C为圆锥母线 SB 的中点，AB 为底面圆的直径，SB=6，AB=4，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从点A 爬到点C，则蚂蚁爬行的最短路程为（）

A、5 B、 $3 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $6 \sqrt{3}$

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5、如图，△ABC 是边长为 4的等边三角形，点 D，E，F分别在边 AB，BC，CA 上运动，且满足 AD=BE=CF.

(1)、求证：△ADF≌△BED；

(2)、设AD 的长为x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数表达式；

(3)、结合(2)所得的函数，描述△DEF的面积随AD 的增大如何变化.

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6、图①是1个纸杯和6个叠放在一起的纸杯的示意图，量得1个纸杯的高为10cm，6个叠放在一起的纸杯的高为14 cm.

(1)、求3 个叠放在一起的纸杯的高为多少厘米.

(2)、若设x个叠放在一起的纸杯的高为y cm(如图②)，并将这x个叠放在一起的纸杯按如图③所示的方式放进竖立的方盒中，方盒的厚度不计.
①求y关于x的函数表达式；
②若竖立的方盒的高为 33.5 cm，求 x 的最大值.

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7、如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC₁.若点 B₁ 刚好落在边AC上，且∠CB₁E=30°，CE=m，则BC的长为.(用含m的代数式表示)

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8、将一副三角尺按如图方式放置在平面直角坐标系中，已知AB=2，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k⟩ 0)$ 的图象恰好经过顶点C，D，DB⊥x轴，则k的值为.

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9、如图，将面积为7 的正方形 OABC 和面积为9的正方形ODEF 分别绕原点O顺时针旋转，使OA，OD落在数轴上，点 A，D 在数轴上对应的数分别为a，b，则b-a=.

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10、如图，在同一平面直角坐标系中，直线l₁：y= $\frac{1}{4} x + \frac{1}{2}$ 与直线 l₂：y=kx+3 相交于点A(2，1)，则方程组 ${\begin{matrix} y = \frac{1}{4} x + \frac{1}{2} ， \\ y = k x + 3 \end{matrix}$ 的解为.

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11、在平面直角坐标系中，A(a， $2 \sqrt{3}$ )是直线 y= $\sqrt{3} x$ 上一点，以点 A 为圆心，2为半径作⊙A.若P(x，y)是⊙A 上任意一点，则 $\frac{y}{x}$ 的最小值为 ( )

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3} - 1$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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12、西周数学家商高总结了用“矩”(如图①)测量物高的方法：把矩的两边放置成如图②的位置，从矩的一端A(人眼)望点 E，使视线通过点 C，记人站立的位置为点 B，量出BG长，即可算得物高EG.令BG=x(m)，EG=y(m).若a=30cm，b=60 cm，AB=1.6m，则y关于x的函数表达式为 ( )

A、 $y = \frac{1}{2} x$ B、 $y = \frac{1}{2} x + 1.6$ C、y=2x+1.6 D、 $y = \frac{1800}{x} + 1.6$

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13、如图，在平面直角坐标系中，P是以点 $C (- \sqrt{2}, \sqrt{7})$ 为圆心，1为半径的⊙C上的一个动点，已知A(-1，0)，B(1，0)，连结 PA，PB，则 $P A^{2} + P B^{2}$ 的最小值是 ( )

A、6 B、8 C、10 D、12

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14、已知 $t a n α = \frac{1}{2} ， t a n β = \frac{1}{3} ，$ 求α+β的度数.小明经过思考后，画出如图所示的网格并把α和β画在网格中，连结 AD 得到△ABD，且AB=AD，∠DAB=90°.由此可知，α+β=45°.小明这种求解方法体现的数学思想是 ( )

A、数形结合思想 B、分类思想 C、统计思想 D、方程思想

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15、数学活动课上，小云和小王在讨论涂老师出示的一道代数式求值问题：
已知 $p + q + 2 r = 1 ， p^{2} + q^{2} - 8 r^{2} + 6 r - 5 = 0$ ，求代数式 pq-qr- rp的值.
通过你的运算，代数式 pq-qr-rp的值为

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16、若 $x^{2} + x y + y = 14$ ， $y^{2} + x y + x = 28 ，$ 则x+y的值为.

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17、阅读材料：整体代入求值是数学中常用的方法.例如“已知3a-b=2，求代数式6a-2b-1的值.”可以这样解：6a-2b-1=2(3a-b)-1=2×2-1=3.根据阅读材料，解决问题：若x=2是关于x的一元一次方程 ax+b=3的解，则代数式 $4 a^{2} + 4 a b + b^{2} + 4 a + 2 b - 1$ 的值是.

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18、若x+2y-3=0，则3^x·9^y=.

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19、我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A=90°，BD=4，CF=6，设正方形ADOF的边长为x，则 $x^{2} + 10 x =$ ( )

A、12 B、16 C、20 D、24

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20、如图，⊙O是锐角三角形ABC 的外接圆，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为 D，E，F，连结 DE，EF，FD.若 DE+DF=6.5，△ABC的周长为21，则EF的长为( )

A、8 B、4 C、3.5 D、3

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