相关试卷

1、阅读材料：关于 $x ， y$ 的二元一次方程 $a x + b y = c$ 有一组整数解 $\{\begin{array}{l} x = x_{0} \\ y = y_{0} \end{array}$ 则方程 $a x + b y = c$ 的全部整数解可表示为 $\{\begin{array}{l} x = x_{0} - b t \\ y = y_{0} + a t \end{array}$ （t为整数）．
问题：求方程 $7 x + 19 y = 213$ 的所有正整数解．小明参考阅读材料，解决该问题如下：
解：该方程一组整数解为 $\{\begin{array}{l} x_{0} = 6 \\ y_{0} = 9 \end{array}$ 则全部整数解可表示为 $\{\begin{array}{l} x = 6 - 19 t \\ y = 9 + 7 t \end{array}$ （ $t$ 为整数）．
因为 $\{\begin{array}{l} 6 - 19 t > 0 \\ 9 + 7 t > 0 \end{array}$ 解得 $- \frac{9}{7} < t < \frac{6}{19}$ ．因为 $t$ 为整数，所以 $t = 0$ 或 $- 1$ ．
所以该方程的正整数解为 $\{\begin{array}{l} x = 6 \\ y = 9 \end{array}$ 和 $\{\begin{array}{l} x = 25 \\ y = 2 \end{array}$ ．
请你参考小明的解题方法，完成下面的问题：

(1)、方程 $5 x - 3 y = 1$ 的全部整数解表示为： $\{\begin{array}{l} x = 2 + 3 t \\ y = θ + 5 t \end{array}$ （ $t$ 为整数）．则 $θ$ 的值是___________．

(2)、请你参照小明的方法，求 $3 x + 4 y = 48$ 的全部正整数解；

(3)、方程 $5 x + 19 y = 2025$ 的正整数解有___________组．

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2、阅读下列材料，并解答问题：
【材料1】我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如： $\frac{3}{2} = 1 + \frac{1}{2}$ ．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，如 $\frac{x + 1}{x - 1}$ ， $\frac{x^{2}}{x - 2}$ ， …这样的分式是假分式；如 $\frac{2 x - 1}{x^{2} + x}$ 与 $\frac{5}{3 x^{2} + 2}$ …这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和（差）的形式．
例如：将分式 $\frac{x^{2} + 2 x - 5}{x + 3}$ 化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式．
方法1： $\frac{x^{2} + 2 x - 5}{x + 3} = \frac{(x^{2} + 3 x) - x - 5}{x + 3} = \frac{x (x + 3) - (x + 3) - 2}{x + 3} = x - 1 - \frac{2}{x + 3}$ ；
方法2：由分母为 $x + 3$ ，可设 $x^{2} + 2 x - 5 = (x + 3) (x + a) + b$ （a，b为待确定的系数），
$∵ (x + 3) (x + a) + b = x^{2} + a x + 3 x + 3 a + b = x^{2} + (a + 3) x + (3 a + b)$ ，
$∴ x^{2} + 2 x - 5 = x^{2} + (a + 3) x + (3 a + b)$ 对于任意x，上述等式均成立，
$∴ \{\begin{array}{l} a + 3 = 2 \\ 3 a + b = - 5 \end{array}$ ，解得 $\{\begin{array}{l} a = - 1 \\ b = - 2 \end{array}$ ，
$∴ x^{2} + 2 x - 5 = (x + 3) (x - 1) - 2$ ．
$∴ \frac{x^{2} + 2 x - 5}{x + 3} = \frac{(x + 3) (x - 1) - 2}{x + 3} = x - 1 - \frac{2}{x + 3}$ ，
这样，分式 $\frac{x^{2} + 2 x - 5}{x + 3}$ 就被化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式．
【材料2】对于式子 $2 + \frac{3}{1 + x^{2}}$ ，由 $x^{2} \geq 0$ 知 $1 + x^{2}$ 的最小值为1，所以 $\frac{3}{1 + x^{2}}$ 的最大值为3，所以 $2 + \frac{3}{1 + x^{2}}$ 的最大值为5．

(1)、分式 $\frac{2}{x + 2}$ 是分式（填“真”或“假”）；

(2)、把分式 $\frac{x^{2} + 3 x - 2}{x + 1}$ 化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式；

(3)、当 $|x| \geq 1$ 时，求分式 $\frac{x^{2} + 1}{x^{4} + 3 x^{2} - 2}$ 的最大值．

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3、对给定的 $m > n > 0$ ，考虑如下5个数： $- m$ ， $- n$ ， 0，n，m，如果这5个数中有k个数是某不等式（组）的解，则称此不等式（组）为关于 $[m, n]$ 的“k阶不等式（组）”．
例如，给定 $m = 3$ ， $n = 2$ ，考虑不等式 $3 x + 7 \geq 0$ ，解得： $x \geq - \frac{7}{3}$ ，因为 $- 3$ ， $- 2$ ， 0，2，3这五个数中有 $- 2$ ， 0，2，3是该不等式的解，所以 $3 x + 7 \geq 0$ 为关于 $[3, 2]$ 的“4阶不等式”．

(1)、对 $m = 3$ ， $n = \frac{3}{2}$ ，在下列不等式（组）中，关于 $[3, \frac{3}{2}]$ 的“3阶不等式（组）”有_______（填写所有正确结论的序号）；
① $5 (x + 1) < 2 (x + 4)$ ， ② $7 x + 20 \geq 6$ ， ③ $\{\begin{array}{l} x \geq 0 \\ 3 x - 1 < 9 \end{array}$

(2)、已知m，n满足方程组 $\{\begin{array}{l} 2 m - n = 5 t - 7 \\ m + 2 n = 9 \end{array}$ ，则有 $m =$ _____， $n =$ _____（结果用含t的式子表示）；

(3)、在（2）的条件下，若关于x的不等式 $x \leq t$ 是关于 $[m, n]$ 的“4阶不等式”，求t的取值范围．

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4、如果两个不等式（组）的整数解存在且相同，则称它们是“整数同解”的．
例如：不等式 $x - 2 \geq 0$ 的解集为 $x \geq 2$ ，其所有整数解为大于等于2的全体整数，不等式组 $\{\begin{array}{l} x - 1 > 0 \\ x \geq 0 \end{array}$ 的解集为 $x > 1$ ，其所有整数解也为大于等于2的全体整数，因此不等式 $x - 2 \geq 0$ 与不等式组 $\{\begin{array}{l} x - 1 > 0 \\ x \geq 0 \end{array}$ 是“整数同解”的．

(1)、下列不等式（组）中与 $x + 2 > 3$ 是“整数同解”的是______（填写正确结论的序号）；
① $\frac{x}{2} > 2$ ， ② $\frac{x + 1}{3} > 1$ ， ③ $\{\begin{array}{l} x - \frac{5}{4} \geq 0 \\ x \geq - 1 \end{array}$

(2)、已知关于x的不等式组 $\{\begin{array}{l} x + 2 > 3 x - 3 \\ 2 x - 4 \leq 3 + 9 x \end{array}$ 与 $\{\begin{array}{l} x + 2 a < - 1 \\ 4 x + 2 > 3 x \end{array}$ 是“整数同解”的，请求出a的取值范围；

(3)、已知关于x的不等式组 $\{\begin{array}{l} 2 x > x - \frac{1}{2} \\ x < a \end{array}$ 与 $\{\begin{array}{l} x < 2 a + \frac{1}{2} \\ 3 (x - 1) \leq 4 x - 3 \end{array}$ 是“整数同解”的，直接写出a的取值范围.

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5、在2025年5月24日举第的第十三届学生节上，校学生会购买“校服熊”和“校服兔”作为特许商品进行售卖，全部利润捐赠给小榕树学生公益基金，相关进价和售价情况如下表所示：

校服熊
校服兔
进价（元/个）
50
52
售价（元/个）
55
59

(1)、校学生会在学生节前购进“校服熊”和“校服兔”共200个，由于“校服熊”和“校服兔”很受欢迎，上午便销售一空，共获利1160元，求“校服熊”和“校服兔”分别购进多少个（请列方程组求解）．

(2)、校学生会决定中午紧急采购“校服熊”和“校服兔”若干个用于下午的销售（“校服熊”和“校服兔”均有采购），购货资金恰好为8112元，参考上午的销售情况，其中采购“校服熊”的数量不少于100个，在销售完这批“校服熊”和“校服兔”后，将全天所得全部利润捐赠给小榕树学生公益基金，捐款金额不少于2036元，则校学生会中午紧急采购“校服熊”______个，“校服兔”______个（请直接写答案）．

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6、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， D，E是 $A B$ 上两点，且 $D E = B C$ ，过点D作 $D F ⊥ A B$ ，过E作 $E F ∥ B C$ 交 $D F$ 于点F．求证： $E F = A B$ ．

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7、解不等式组： $\{\begin{array}{l} 3 (x - 1) < 5 x - 1 \\ \frac{5 x - 3}{2} < 2 x \end{array}$

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8、小明先画出了 $△ A B C$ ，再利用尺规作图画出了 $△ E B D$ ，使 $△ E B D ≌ △ A B C$

(1)、请依据如下步骤作图（不写作法，保留作图痕迹，标上相应字母）：
①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，交 $A B$ 于点M，交 $B C$ 于点N；
②以点M为圆心，以 $M N$ 长为半径画弧，与①中的弧交于点P（不与点N重合），作射线 $B P$ ；
③以点B为圆心，以 $B C$ 长为半径画弧，与边 $A B$ 交于点D；
④以点B为圆心，以 $A B$ 长为半径画弧，与射线 $B P$ 交于点E，连接 $D E$ ．

(2)、在小明的作图中，判定 $△ E B D ≌ △ A B C$ 的依据是_______（填写正确结论的序号）．
① $SSS$ ， ② $SAS$ ， ③ $ASA$ ， ④ $AAS$ ．

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9、解方程组

(1)、 $\{\begin{matrix} 2 x + y = 0 \\ 2 x + 3 y = 8 \end{matrix}$ ；

(2)、 $\{\begin{array}{l} 3 x - 2 y = 4 \\ 7 x + 4 y = 18 \end{array}$ ．

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10、在平面直角坐标系中，点 $A (2 a + 4, 4 - 2 a)$ 在第四象限，则a的取值范围是．

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11、如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ， $D E ⊥ A B$ 于E．若 $A C = 4$ ， $D E = 2$ ，则 $S_{△ A C D} =$ ．

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12、已知 $\{\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 5 \end{array}$ 是关于x，y的二元一次方程 $a x - 2 y = 0$ 的一个解，那么a的值是．

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13、如图，在 $△ A O B$ 和 $△ C O D$ 中，若 $O A = O B$ ， $O C = O D$ ， $∠ A O B = ∠ C O D$ ， $A C$ 、 $B D$ 交于点M，连接 $O M$ ，则下列结论：① $A C = B D$ ；② $∠ C M D = ∠ A O B$ ；③ $O M$ 平分 $∠ B M C$ ；④ $M O$ 平分 $∠ A O D$ ，其中正确的有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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14、若关于x、y的方程组 $\{\begin{array}{l} 2 x + 5 y = 3 m \\ x - 3 y = 2 + m \end{array}$ 的解满足 $3 x + 2 y > 7$ ，则整数m的最小值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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15、如图，D为 $△ A B C$ 内一点， $C D$ 平分 $∠ A C B$ ， $B D ⊥ C D$ ， $∠ A = ∠ A B D$ ，若 $∠ B C D = 36 °$ ，则 $∠ A$ 的度数为（）

A、 $36 °$ B、 $44 °$ C、 $27 °$ D、 $54 °$

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16、若 $a > b$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $- 2 + a < - 2 + b$ B、 $2 a < 2 b$ C、 $- 2 a < - 2 b$ D、 $a^{2} > b^{2}$

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17、学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题．

材料一	租车公司有 $A, B$ 两种型号的客车可供租用，其中 $A$ 型客车每辆载客量为60人， $B$ 型客车每辆载客量为45人．
材料二	$A$ 型客车租车费用为3200元/辆； $B$ 型客车租车费用为3000元/辆．优惠方案：租用 $A$ 型客车 $m$ 辆，租车费用 $(3200 - 50 m)$ 元/辆；租用 $B$ 型客车，租车费用打八折．
材料三	租车公司最多提供8辆 $A$ 型客车；学校参加研学活动师生共有530人，租用 $A$ ， $B$ 两种型号客车共10辆．

问：本次研学活动学校的最少租车费用是多少?

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18、阅读与思考

阅读下列材料，完成后面任务：

小明遇到这样一个问题：如图，在 $△ A B C$ 中，点D在线段 $B C$ 上， $∠ B A D = 75 °$ ， $∠ C A D = 30 ° ， A D = 4 ， B D = 2 D C$ ，求 $A C$ 的长．

小明发现，过点C作 $C E ∥ A B$ ，交 $A D$ 的延长线于点E，通过构造 $△ A C E$ ，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图）．

任务：

(1)、

∠ A C E

的度数为，

A C

的长为；

(2)、参考小明思考问题的方法，解决问题：如图，在四边形

A B C D

中，

∠ B A C = 90 ° ， ∠ C A D = 30 ° ， ∠ A D C = 75 °

，

A C

与

B D

交于点E，

A E = 4 ， B E = 2 E D

，求

A C

的长．

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19、阅读理解，并完成下列各题：
对于数轴上任意一点 $P$ ，把与点 $P$ 相距 $a$ 个单位长度（ $a$ 是正数）的两点所表示的数分别记作 $x$ 和 $y$ （其中 $x < y)$ ，并把 $x$ ， $y$ 这两个数叫做“点 $P$ 关于 $a$ 的对称数组”，记作 $M (P, a) = ⟨x, y⟩$ ．例如：原点O表示数0，原点O关于1的对称数组是 $M (0, 1) = ⟨- 1, 1⟩$ ．

(1)、如果点P表示数1，那么点P关于2的对称数组是___________；

(2)、如果 $M (P, a) = ⟨10, 4042⟩$ ，那么点P表示的数是___________，a的值是___________；

(3)、如果点P、Q是数轴上的两个动点， $M (P, 3) = ⟨x, y⟩$ ， $M (Q, 2) = ⟨m, n⟩$ ，两点同时从原点出发反向运动，当 $| n - x | = 3 | y - m |$ 时，点P、Q之间的距离为___________．

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20、综合与实践
在初中数学的学习过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有的经验，对下列问题进行研究．
【概念认识】
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，图形 $W$ 上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为 $d$ ．对于点 $P$ 和图形 $W$ 给出如下定义：点 $Q$ 是图形 $W$ 上任意一点，若 $P$ ， $Q$ 两点间的距离有最小值，且最小值恰好为 $d$ ，则称点 $P$ 为图形 $W$ 的“奇妙点”．
【概念理解】
（1）如图1，图形 $W$ 是矩形 $A O B C$ ，其中点 $A$ 的坐标为 $(0, 3)$ ，点 $C$ 的坐标为 $(4 ， 3)$ ，则 $d =$ ___________，在点 $P_{1} (- 1, 0)$ ， $P_{2} (2, 8)$ ， $P_{3} (3, 1)$ ， $P_{4} (- \sqrt{21}, - 2)$ 中，矩形 $A O B C$ 的“奇妙点”是___________；
【灵活运用】
（2）如图2，图形 $W$ 是中心在原点的正方形 $D E F G$ ，其中 $D$ 点的坐标为 $(1, 1)$ ．若直线 $y = - x + b$ 上存在点 $P$ ，使点 $P$ 为正方形 $D E F G$ 的“奇妙点”．求 $b$ 的取值范围；
（3）已知点 $M (- 1, 0) ， N (0, - \sqrt{3})$ ，图形 $W$ 是以 $T (t ， 0)$ 为圆心，1为半径的 $⊙ T$ ．若线段 $M N$ 上存在点 $P$ ，使点 $P$ 为 $⊙ T$ 的“奇妙点”，直接写出 $t$ 的取值范围．

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	校服熊	校服兔
进价（元/个）	50	52
售价（元/个）	55	59