相关试卷

1、在自习课上，小明看见同桌小李在练习本上写的题目是“求二次根式 $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a - 3}}$ 中a的取值范围”，他告诉小李：“你把题目抄错了，不是 $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a - 3}},$ 而是 $\sqrt{\frac{a}{a - 3}} 。$ ”小李说：“反正a和a-3都在根号内，不影响结果。”小李说的对吗?也就是说，按照 $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a - 3}}$ 解题和按照 $\sqrt{\frac{a}{a - 3}}$ 解题结果一样吗?请说明理由。

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2、无论x取何实数，代数式 $\sqrt{x^{2} - 12 x + m}$ 都有意义，则m的取值范围是。

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3、若二次根式 $\sqrt{5 - {(16 - 3 m)}^{2}}$ 有最大值，则m=。

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4、已知m， $\sqrt{30 - 2 m}, \sqrt{3 m - 12}$ 均为整数，则 $\sqrt{30 - 2 m} + \sqrt{3 m - 12}$ 的值为（）。

A、7 B、10 C、9 D、15

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5、求下列二次根式中x的取值范围。

(1)、 $\sqrt{- 2 - 3 x} 。$

(2)、 $\sqrt{x^{2} + 4} 。$

(3)、 $\sqrt{3 - x} + \sqrt{3 x - 6} 。$

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6、当x=-4时，代数式 $\sqrt{16 - 2 x}$ 的值为。

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7、已知 ${(x - y + 3)}^{2} + \sqrt{2 x + y} = 0,$ 则x+y的值为（ )。

A、0 B、-1 C、1 D、5

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8、已知n是自然数， $\sqrt{200 - n}$ 是整数，则n最小为（）。

A、0 B、2 C、4 D、40

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9、要使代数式 $\frac{\sqrt{m + 1}}{m - 1}$ 有意义，则m的取值范围是（）。

A、m>-1 B、m≥-1 C、m>-1且m≠1 D、m≥-1且m≠1

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10、下列各式中，一定是二次根式的为（ )。

A、 $\sqrt{- 3}$ B、 $\sqrt{7}$ C、 $\sqrt[3]{8}$ D、 $\sqrt{a}$

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11、阅读下列材料．
我们知道 $|x| = \{\begin{array}{l} x (x > 0) \\ 0 (x = 0) \\ - x (x < 0) \end{array}$ ，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式 $|x + 1| + |x - 2|$ 时，可令 $x + 1 = 0$ 和 $x - 2 = 0$ ，分别求得 $x = - 1$ 和 $x = 2$ （称 $- 1$ ， 2分别为 $|x + 1|$ 与 $|x - 2|$ 的零点值）．在有理数范围内，零点值 $x = - 1$ 和 $x = 2$ 可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况： $x < - 1$ ； $- 1 \leq x < 2$ ； $x \geq 2$ ．从而在化简 $|x + 1| + |x - 2|$ 时，可分以下三种情况：①当 $x < - 1$ 时，原式 $= - (x + 1) - (x - 2) = - 2 x + 1$ ；②当 $- 1 \leq x < 2$ 时，原式 $= (x + 1) - (x - 2) = 3$ ；
③当 $x \geq 2$ 时，原式= $(x + 1) + (x - 2) = 2 x - 1$ ；
∴ $|x + 1| + |x - 2| = \{\begin{matrix} - 2 x + 1 (x < - 1) \\ 3 (- 1 \leq x < 2) \\ 2 x - 1 (x \geq 2) \end{matrix}$ ，通过以上阅读，解决问题：

(1)、直接写出 $|x - 3|$ 的零点值是 $x =$ _____；

(2)、化简 $|x - 3| + |x + 2|$ ；

(3)、直接写出 $|x - 1| - |x + 5|$ 的最大值为_____．

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12、如图，在菱形 $A B C D$ 中，两条对角线 $A C = 6$ ， $B D = 8$ ，则此菱形的面积为．

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13、【问题背景】
已知 $△ A B C$ 是等边三角形， $A B = 6$ ．
【初步发现】
（1）如图1，点E为 $B C$ 上一点，点F为 $A C$ 上一点，且 $B E = C F$ ，连接 $A E 、 B F$ 交于点G，求 $∠ A G F$ 的度数；
【拓展延伸】
（2）如图2，点M是 $B C$ 延长线上一点，连接 $A M$ ， $C N$ 平分 $∠ A C M$ 交 $M N$ 于点N， $∠ A M N = 60 °$ ，求 $C N - C M$ 的值．

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14、下面是数学学习小组探究“自然数被

3

整除的规律”的学习片段

猜想：一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被 $3$ 整除，那么这个自然数就能被 $3$ 整除．

【探究一】若这个自然数是两位数

设这个两位数为 $\bar{a b}$ ，则 $\bar{a b} = 10 a + b = 9 a + (a + b)$ ．

$∵ 9 a$ 能被 $3$ 整除， $a + b$ 能被 $3$ 整除，

$∴ 9 a + (a + b)$ 就能被 $3$ 整除，即 $\bar{a b}$ 能被 $3$ 整除．

【探究二】若这个自然数是三位数

设这个三位数为 $\bar{a b c}$ ，则 $\bar{a b c} = 100 a + 10 b + c = (99 a + 9 b) + (a + b + c)$ ．

$∵ 99 a + 9 b$ 能被 $3$ 整除， $a + b + c$ 能被 $3$ 整除，

$∴ (99 a + 9 b) + (a + b + c)$ 就能被 $3$ 整除，即 $\bar{a b c}$ 能被 $3$ 整除．

【探究三】若这个自然数是四位数

(1)、请将【探究三】补充完整．

(2)、请写出一个能被

3

整除的五位数．

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15、阅读材料：
我们知道分数 $\frac{1}{3}$ 可以写成小数 $0. \dot{3}$ ，反过来，无限循环小数 $0. \dot{3}$ 可以写成分数 $\frac{1}{3}$ ．
设 $x = 0. \dot{3} = 0.333 \cdot \cdot \cdot$ ①，则 $10 x = 3.333 \cdot \cdot \cdot$ ②，由 $② - ①$ 得： $9 x = 3$ ，即 $x = \frac{1}{3}$ ．
所以 $0. \dot{3} = 0.333 \cdot \cdot \cdot = \frac{1}{3}$ ．
根据以上材料，回答下列问题：

(1)、把 $0. \dot{8}$ 化成分数为______；

(2)、写出把 $0. \dot{3} \dot{5}$ 化成分数的过程．

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16、如图，学校相对于小明家的位置下列描述最准确的是（）

A、南偏西 $65 °$ 方向上的1200米处 B、北偏东 $65 °$ 方向上的1200米处 C、南偏西 $25 °$ 方向上的1200米处 D、距离学校1200米处

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17、如图，在△ABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm，AD⊥BC于点D，动点P从点A出发以1cm/s的速度沿线段AD向终点D运动。设动点运动时间为t（s)。

(1)、求AD的长。

(2)、当 $△ P D C$ 的面积为 $15 c m^{2}$ 时，求t的值。

(3)、动点M从点C出发以2cm/s的速度在射线CB上运动。点M与点P同时出发，且当点P运动到终点D时，点M也停止运动。是否存在t，使得 $S_{△ P M D} = \frac{1}{12} S_{△ A B C} ?$ 若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由。

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18、已知关于x的一元二次方程. $x^{2} - (2 m + 4) x + m^{2} + 4 m = 0 。$

(1)、求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根。

(2)、设方程的两个实数根分别为x₁ ， x₂。
①求代数式. $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - 4 x_{1} x_{2}$ 的最大值。
②若方程的一个根是6，x₁和x₂是一个等腰三角形的两条边的长，求该等腰三角形的周长。

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19、【综合与实践】
【问题情境】对于关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ （a，b，c为常数，且a≠0)，求方程的根的实质是找到一个x的具体的值，代入之后等式成立。一般情况下，如果有两个不同的x的具体的值都满足，这就说明这个方程有两个不同的根，且两根与a，b，c之间具有一定的关系。
【操作判断】项目研究小组经过讨论得到两个结论：（1）当a+b+c=0时，一元二次方程（ $a x^{2} + b x + c = 0$ 必有一根是1。（2）当a+c=b时，一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 必有一根是-1。请判断两个结论的真假，并说明原因。
【实践探究】项目研究小组经过讨论编制了以下问题，请帮助解决：
方程（ ${(2025 x)}^{2} - 2024 \times 2026 x - 1 = 0$ 的较大的根为p，方程. $x^{2} + 2025 x - 2026 = 0$ 的较小的根为q，求p-q的值。

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20、某服装厂生产一批服装，2022年该类服装的出厂价是200元/件，2023年、2024年连续两年改进技术，降低成本，2024年该类服装的出厂价调整为162元/件。

(1)、若这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同，求平均下降率。

(2)、2024年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以200元/件销售时，平均每天可销售20件。为了减少库存，商场决定降价销售。经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10件，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元?

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