相关试卷

1、阅读材料：若一元二次方程（ $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两根为x₁ ， x₂ ，则 $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} 。$
例：已知实数m，n满足 $m^{2} - m - 1 = 0, n^{2} - n - 1 = 0,$ 且m≠n，求 $\frac{n}{m} + \frac{m}{n}$ 的值。
解：由题知m，n是方程. $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系得m+n=1， mn=-1。
$∴ \frac{n}{m} + \frac{m}{n} = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} = \frac{{(m + n)}^{2} - 2 m n}{m n} = \frac{1 + 2}{- 1} = - 3 。$
根据上述材料解决下列问题。

(1)、一元二次方程 $2 x^{2} + 3 x - 1 = 0$ 的两根为x₁ ， x₂ ，则 $x_{1} + x_{2}$ ； $x_{1} x_{2} =$ .

(2)、已知实数m，n满足 $2 m^{2} - 2 m - 1 = 0,2 n^{2} - 2 n - 1 = 0,$ 且m≠n，求 $m^{2} n + m n^{2}$ 的值。

(3)、已知实数p，q满足 $p^{2} = 3 p + 2,2 q^{2} = 3 q + 1,$ 且p≠2q，求 $p^{2} + 4 q^{2}$ 的值。

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2、已知m，n是方程： $x^{2} + 2026 x + 7 = 0$ 的两个根，则（ $(m^{2} + 2025 m + 6) (n^{2} + 2027 n + 8) =$ .

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3、已知a，b是方程. $x^{2} + x - 3 = 0$ 的两个实数根，则 $a^{2} - b + 1010$ 的值是（）。

A、1014 B、1013 C、1012 D、1011

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4、已知关于x的一元二次方程. $x^{2} + 2 m x + 2 n = 0$ 有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程 $y^{2} + 2 n y + 2 m = 0$ 也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都是负根；②（m-1)²+（n-1)²≥2；③-1≤2m-2n≤1。其中正确的结论有（）。

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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5、若α，β是关于x的一元二次方程. $x^{2} - 2 x + m = 0$ 的两个实数根，且 $\frac{1}{α} + \frac{1}{β} = - \frac{2}{3},$ 则m等于（ )。

A、-2 B、-3 C、2 D、3

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6、已知关于x的一元二次方程. $x^{2} + 2 x - k = 0$ 有两个不相等的实数根。

(1)、求k的取值范围。

(2)、若方程的两个不相等的实数根是a，b，求 $\frac{a}{a + 1} - \frac{1}{b + 1}$ 的值。

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7、设x₁ ， x₂是方程 $2 x^{2} + 4 x - 3 = 0$ 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：

(1)、 ${(x_{1} - x_{2})}^{2} 。$

(2)、 $(x_{1} + \frac{1}{x_{2}}) (x_{2} + \frac{1}{x_{1}}) \circ$

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8、设a，b是方程： $x^{2} + x - 2025 = 0$ 的两个实数根，则（a-1)（b-1)的值为。

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9、设x₁ ， x₂是关于x的方程. $x^{2} - 3 x + k = 0$ 的两个根，且 $x_{1} = 2 x_{2},$ 则k=。

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10、若方程. $x^{2} - 2 x - 4 = 0$ 的两个实数根为α，β，则 $α^{2} + β^{2}$ 的值为（）。

A、12 B、10 C、4 D、-4

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11、一元二次方程 $2 x^{2} - 3 x + 4 = 0$ 的根的情况为（）。

A、没有实数根 B、两根之和是3 C、两根之积是-2 D、有两个不相等的实数根

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12、设一元二次方程. $x^{2} + 4 x - 3 = 0$ 的两根为x₁ ， x₂ ，则x₁x₂的值是（ )。

A、4 B、-4 C、3 D、-3

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13、已知关于x的方程 $x^{2} - (2 k + 1) x + 4 (k - \frac{1}{2}) = 0 。$

(1)、求证：无论k取何值，这个方程总有实数根。

(2)、若等腰三角形ABC的一边长a=4，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长。

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14、已知关于x的一元二次方程. $x^{2} - (2 k + 1) x + k^{2} + k = 0 。$

(1)、求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根。

(2)、如果方程的两个实数根为x₁ ， x₂ ，且k与 $\frac{x_{1}}{x_{2}}$ 都为整数，求k所有可能的值。

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15、已知关于x的一元二次方程. $x^{2} - m n x + m + n = 0,$ 其中m，n在数轴上的对应点如图，则这个方程的根的情况是（）。

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、无法确定

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16、阅读材料：方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的根是 $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} 。$ 方程 $y^{2} + b y + a c = 0$ 的根是 $y = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2} 。$ 因此，要求 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的根，只要求出方程 $y^{2} +$ by+ ac=0的根，再除以a就可以了。
例：解方程 $72 x^{2} + 8 x + \frac{1}{6} = 0 。$
解：先解方程 $y^{2} + 8 y + 72 \times \frac{1}{6} = 0,$ 解得 $y_{1} = - 2, y_{2} = - 6 。$
∴方程 $72 x^{2} + 8 x + \frac{1}{6} = 0$ 的两根是 $x_{1} = \frac{- 2}{72}, x_{2} = \frac{- 6}{72},$ 即 $x_{1} = - \frac{1}{36}, x_{2} = - \frac{1}{12} 。$ 请按上述材料中所提供的方法解方程： $49 x^{2} + 6 x - \frac{1}{7} = 0 。$

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17、如果 $a^{2} + b^{2} = c^{2},$ 那么把形如 $a x^{2} + \sqrt{2} c x + b = 0 (a \neq 0)$ 的方程称为“勾系方程”。

(1)、当a=3，b=4时，写出相应的“勾系方程”：。

(2)、求证：关于x的“勾系方程’ $` a x^{2} + \sqrt{2} c x + b = 0 (a \neq 0)$ 必有实数根。

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18、已知关于x的方程.x²-（a+2)x+a-2b=0|的根的判别式等于0，且 $x = \frac{1}{2}$ 是方程的根，则a+b的值为。

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19、小刚在解关于x的方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 时，只抄对了a=1，b=4，解出其中一个根是x=-1。他核对时发现所抄的c比原方程的c小2，则原方程的根的情况是（）。

A、不存在实数根 B、有两个不相等的实数根 C、有一个根是x=-1 D、有两个相等的实数根

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20、设x₁为一元二次方程 $2 x^{2} - 4 x = \frac{5}{4}$ 较小的根，则（）。

A、 $0 < x_{1} < 1$ B、 $- 1 < x_{1} < 0$ C、 $- 2 < x_{1} < - 1$ D、 $- 5 < x_{1} < - \frac{9}{2}$

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