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1、如图， $△ A B C$ 是边长为12厘米的等边三角形，点P、Q分别从顶点A、B同时出发，沿射线 $A B$ 、 $B C$ 运动，且它们的速度都为2厘米／秒，设运动时间为t（秒）（ $t > 0$ ）．

(1)、用含t的代数式表示线段 $B P$ 的长；

(2)、如图①，点P、Q分别在线段 $A B$ 、 $B C$ 上运动时， $A Q$ 、 $C P$ 相交于点M ，求 $∠ A M P$ 的度数；

(3)、如图②，当点P、Q分别运动到线段 $A B$ 、 $B C$ 的延长线上时， $A Q$ 、 $P C$ 的延长线相交于点M ， $∠ A M P$ 的度数会变化吗？若不变，请求出 $∠ A M P$ 的度数；若改变，请说明理由；

(4)、如图③，若点P的速度不变，点Q的速度为3厘米／秒，点P、Q分别在线段 $A B$ 、 $B C$ 上运动时，连接 $P Q$ ，当 $△ B P Q$ 为直角三角形时，直接写出t的值．

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2、【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．
例1：因式分解： $a^{2} + 6 a + 8$ ．
解：原式 $= a^{2} + 6 a + 9 - 1 = (a + 3)^{2} - 1 = (a + 3 - 1) (a + 3 + 1) = (a + 2) (a + 4)$ ．
例2：若 $M = a^{2} - 2 a b + 2 b^{2} - 2 b + 2$ ，利用配方法求 $M$ 的最小值．
解： $a^{2} - 2 a b + 2 b^{2} - 2 b + 2 = a^{2} - 2 a b + b^{2} + b^{2} - 2 b + 1 + 1 = {(a - b)}^{2} + {(b - 1)}^{2} + 1$ ．
∵ ${(a - b)}^{2} \geq 0$ ， ${(b - 1)}^{2} \geq 0$ ，
∴当 $a = b = 1$ 时， $M$ 有最小值 $1$ ．
请根据上述阅读材料，解决下列问题：

(1)、用配方法因式分解： $a^{2} - 10 a + 24 =$ ；

(2)、若 $M = a^{2} - 6 a + 19$ ，求 $M$ 的最小值；

(3)、已知 $a^{2} + 2 b^{2} + c^{2} - 2 a b + 4 b - 8 c + 20 = 0$ ，求 $a + b + c$ 的值．

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3、某公司计划购买A ， B两种型号的机器人搬运材料，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运 $30 k g$ 材料，且A型机器人搬运 $1000 k g$ 材料所用的时间与B型机器人搬运 $800 k g$ 材料所用的时间相同．

(1)、求A ， B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料．

(2)、该公司计划采购A ， B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于 $2900 k g$ 则至少购进A型机器人多少台？

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4、如图，点 $D$ 是线段 $B C$ 上一点， $∠ B = ∠ C$ ， $B D = C E$ ， $A B = D C$ ．

(1)、求证： $A D = D E$ ．

(2)、若 $∠ B = 60 °$ ，判断 $△ A D E$ 的形状并说明理由．

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5、如图，有一块长为 $(5 a + b)$ 米，宽为 $(2 a + b)$ 米的长方形地块，规划部门计划对其中的阴影部分进行绿化，并在中间两块正方形区域修建两座雕塑．

(1)、求绿化区域的面积（用含 $a ， b$ 的式子表示）．

(2)、当 $a = 3 ， b = 2$ 时，求绿化区域的面积．

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6、如图， $△ A B C$ 的高 $B D$ 与角平分线 $C E$ 相交于点 F ， $∠ A B C = 70 °, ∠ B F C = 115 °$ ．求 $∠ A$ 的度数．

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7、已知：如图， $A B = A E ， B C = E D ， A F$ 是 $C D$ 的垂直平分线．求证： $∠ B = ∠ E$ ．

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8、如图，已知网格中最小的正方形的边长为1．

(1)、作 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ．

(2)、求 $A$ ， $A_{1}$ ， $C_{1}$ ， $C$ 构成图形的面积．

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9、化简求值： $\frac{2 x}{x^{2} - 2 x + 1} \div \frac{x}{x - 1}$ ，其中 $x = - 1$ ．

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10、计算： $- 1^{0} + 9 \times 3^{- 2} + | - \frac{1}{2} |$ ．

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11、如图，在等腰 $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ， $M N$ 垂直平分 $B C$ ， $D$ 为 $A B$ 的中点，E为 $M N$ 上一动点．若 $B D = 2$ ，等腰 $△ A B C$ 的面积为8，则 $B E + D E$ 的最小值为．

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12、若 $5^{x} = 3$ ， $5^{y} = 2$ ，则 $5^{2 x - y} =$ ．

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13、在平面直角坐标系中，点 $(m, 1)$ 关于 $x$ 轴对称的点的坐标为 $(- 2, n)$ ，则 $m n =$ ．

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14、齐家文化是世界闻名，中国最早的青铜时代文化遗存，是人类灿烂古文化瑰宝．积石山县出土的齐家文化双耳素陶鬲的三个支点形成三角形，这样设计的数学依据是．

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15、如图，把等边 $△ A B C$ 沿着 $D E$ 折叠，使点A恰好落在 $B C$ 边上的点P处，且 $D P ⊥ B C$ ，则 $∠ P E D$ 的度数是（）

A、 $40 °$ B、 $45 °$ C、 $50 °$ D、 $55 °$

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16、如图，将图1中的阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（）

A、 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ B、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ C、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ D、 ${(a + b)}^{2} = {(a - b)}^{2} + 4 a b$

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17、在课堂上，李老师发给每人一张印有 $R t △ A B C$ （如图1）的卡片，然后要求同学们画一个 $R t △ A^{^{'}} B^{^{'}} C^{^{'}}$ ，使得 $R t △ A^{'} B^{'} C^{'} ≌ R t △ A B C$ ．小宏同学先画出了 $∠ M B^{'} N = 90 °$ 之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是（）

A、 $S A S$ B、 $A A S$ C、 $A S A$ D、 $H L$

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18、如图，在Rt $△$ ABC中， $∠ C$ ＝90°， $∠ A$ ＝55°，则 $∠ B$ 的度数为（）

A、25° B、35° C、45° D、55°

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19、王岗社区是由 $A B$ ， $A C$ ， $B C$ 三条路围成的小型社区，社区准备修建一个电动车充电点 $．$ 现社区人员计划将充电点建设在到三条路的距离相等的位置，则充电点应该建在 $△ A B C$ （）

A、三个角的平分线的交点处 B、三条中线的交点处 C、三条高线的交点处 D、三条边的垂直平分线的交点处

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20、下列计算中正确的是（）

A、 ${(a b)}^{2} = a^{2} b$ B、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ C、 ${(a^{2})}^{3} = a^{6}$ D、 $a^{12} ÷ a^{3} = a^{4}$

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