相关试卷

1、如果规定符号“ $△$ ”的意义是 $a △ b = a^{2} - b$ ，则 $2 △ 3 =$ ．

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2、若单项式 $2 x^{m} y^{2}$ 与 $x y^{n}$ 是同类项，则 $m^{n}$ 的值是（　　）

A、1 B、2 C、 $- 1$ D、 $- 2$

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3、下列判断中错误的是（　　）

A、 $a^{2} b$ 的次数是3 B、 $- a^{2} b^{2} c$ 是单项式 C、 $a + 2 b$ 是多项式 D、 $- \frac{3}{4} x y$ 中，系数是 $\frac{3}{4}$

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4、请观察下列算式：
$\frac{1}{1 \times 2} = 1 - \frac{1}{2}$ ， ①
$\frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ ， ②
$\frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$ ， ③
…
探索规律，并根据规律解答以下问题

(1)、第n个等式是________ $=$ _______；

(2)、计算： $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{99 \times 100}$ ；

(3)、若有理数a、b满足 $|a - 3 |+| b - 5| = 0$ ，试求：
$\frac{1}{a b} + \frac{1}{(a + 2) (b + 2)} + \frac{1}{(a + 4) (b + 4)} + \dots + \frac{1}{(a + 100) (b + 100)}$ 的值．

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5、化简与求值：

(1)、化简 $(5 a - 6 b) - (a - 5 b)$ ；

(2)、先化简，再求值： $a^{2} b + 3 (a b^{2} - a^{2} b) - 2 (2 a b^{2} - a^{2} b)$ ，其中 $a = 2$ ， $b = - 1$ ．

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6、计算：

(1)、 $24 + (- 14) - (+ 16)$ ；

(2)、 $10 \times (- \frac{4}{5}) + 2 \div (\frac{1}{3} - \frac{1}{2})$ ；

(3)、 $36 \times (- \frac{3}{4} - \frac{5}{9} + \frac{7}{12})$ ；

(4)、 $- 2^{2} + 16 \div {(- 2)}^{3} \times |- 3 - 1|$ ．

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7、在数轴上把下列各数表示出来，并按从小到大的顺序用“ $<$ ”连接起来．
2， $- |- 4|$ ， 0， $- \frac{5}{2}$ ， $- (- 3.5)$ ．

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8、一个两位数m的十位上的数字是a，个位上的数字是b．我们把十位上的数字a与个位上的数字b的和叫做这个两位数m的“伴随数”，记作 $g (m)$ ，即 $g (m) = a + b$ ．如 $g (32) = 3 + 2 = 5$ ．现有2个两位数x和y，且满足 $x + y = 100$ ，则 $g (x) + g (y)$ = ．

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9、为了区分不同的进制，常在数的右下角标明基数，例如： ${(1011)}_{2}$ 就是二进制数 $1011$ 的简单写法，十进制数一般不标注基数．通过把二进制数表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，可以转化成十进制数．
例如： ${(1011)}_{2} = 1 \times 2^{3} + 0 \times 2^{2} + 1 \times 2^{1} + 1 \times 2^{0} = 11$ ，（规定：当 $a \neq 0$ 时， $a^{0} = 1$ ），根据以上信息，将 ${(11101)}_{2}$ 转化成十进制数是．

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10、如图数轴上有两个点 $A$ 、 $B$ ，分别表示的数是 $- 2$ ， $4 ．$ 请回答以下问题：

(1)、 $A$ 与 $B$ 之间距离为， $A$ ， $B$ 中点对应的数为， $B$ 点向左平移 $9$ 个单位对应的数为．

(2)、若点 $C$ 对应的数为 $- 5$ ，只移动 $C$ 点，要使得 $A$ ， $B$ ， $C$ 其中一点到另两点之间的距离相等，请写出所有的移动方法．

(3)、若点 $P$ 从 $A$ 点出发，以每秒 $1$ 个单位长度的速度向左作匀速运动，点 $Q$ 从 $B$ 出发，以每秒 $3$ 个单位长度的速度向左作匀速运动， $P$ ， $Q$ 同时运动：
①当点 $P$ 运动多少秒时，点 $P$ 和点 $Q$ 重合？
②当点 $P$ 运动多少秒时， $P$ ， $Q$ 之间的距离为 $2$ 个单位长度？

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11、若定义一种新的运算“*”，规定有理数 $a * b = a b - a - b$ ，如 $2 * 3 = 2 \times 3 - 2 - 3 = 6 - 5 = 1$ ．求：

(1)、 $3 * (- 5)$ 的值．

(2)、 $(- 2) * (5 * 4)$ 的值．

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12、计算

(1)、 $(- 3) + (- 4) - (- 5)$ ；

(2)、 $(\frac{1}{6} + \frac{3}{4} - \frac{5}{12}) \times (- 12)$ ；

(3)、 ${(- 1)}^{2} - \sqrt[3]{- 8} + \sqrt{16} - |- 5|$ ；

(4)、 $- 1^{4} - (1 + 0.5) \times \frac{1}{3} \div {(- 4)}^{2}$ ．

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13、现有一列数： $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4}$ ， $\dots$ ， $a_{n - 1}$ ， $a_{n}$ （ $n$ 为正整数），规定 $a_{1} = 2$ ， $a_{2} - a_{1} = 4$ ， $a_{3} - a_{2} = 6$ ， $\dots$ ， $a_{n} - a_{n - 1} = 2 n (n \geq 2)$ ，则 $\frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + \frac{1}{a_{4}} + \dots + \frac{1}{a_{2025}}$ 的值为．

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14、在如图所示的运算流程中，若输出的数y＝7，则输入的数x＝．

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15、洛书被世界公认为组合数学的鼻祖，它是中华民族对人类的伟大贡献之一．相传大禹治水时，洛阳西洛宁县洛河中浮出一只神龟，背上有图有字，这就是洛书（如图1）．洛书用今天的数学符号翻译出来是一个三阶幻方（如图2），就是将9个数填入3×3的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图3是不完整的幻方，△和◯各表示一个数，则◯—△的值为（）

A、 $- 3$ B、 $- 2$ C、2 D、 $3$

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16、已知实数a，b，c满足 $a + b + c = 0$ ， $a b c > 0$ ， $x = \frac{a}{|a|} + \frac{b}{|b|} + \frac{c}{|c|}$ ，则 $x =$ （）

A、3或 $- 1$ B、3或1 C、1 D、 $- 1$

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17、2025年国际数学日的主题是“数学·艺术·创意”，2025的相反数是（）

A、 $- 2205$ B、2205 C、 $- 2025$ D、2025

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18、
阅读材料：小明同学在平面直角坐标系中研究中点时，发现了一个有趣的结论：若 $P (x_{1}, y_{1})$ ， $Q (x_{2}, y_{2})$ 是平面直角坐标系内两点， $R (x_{0}, y_{0})$ 是 $P Q$ 的中点，则有结论 $x_{0} = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ ， $y_{0} = \frac{y_{1} + y_{2}}{2}$ ．这其实就是中点坐标公式，有了这个公式可以解决很多坐标系中求中点坐标的问题．
已知：二次函数 $y = x^{2}$ 的函数图象上分别有 $A$ ， $B$ 两点，其中 $B (2, 4)$ ， $A$ ， $B$ 分别在对称轴的异侧， $C$ 是 $A B$ 中点， $D$ 是 $B C$ 中点．利用阅读材料解决如下问题：
概念理解：
（1）如图1，若 $A (- 1, 1)$ ，求出 $C$ ， $D$ 的坐标．
解决问题：
（2）如图2，点 $A$ 是 $B$ 关于 $y$ 轴的对称点，作 $D E ∥ y$ 轴交抛物线于点 $E$ ．延长 $D E$ 至 $F$ ，使得 $D E = 3 E F$ ．试判断 $F$ 是否在 $x$ 轴上，并说明理由．
拓展探究：
（3）如图3， $A (m, n)$ 是一个动点，作 $D E ∥ y$ 轴交抛物线于点 $E$ ．延长 $D E$ 至 $F$ ，使得 $D E = 3 E F$ ．
①令 $F (a, b)$ ，试探究 $b - 4 a$ 值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
②在①条件下， $y$ 轴上一点 $G (0, 2)$ ，抛物线上任意一点 $H$ ，连接 $G H$ ， $H F$ ，直接写出 $G H + H F$ 的最小值．

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19、公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售500个，12月份销售720个，10月份到12月份销售量的月增长率相同．

(1)、求该品牌头盔销售量的月增长率；

(2)、若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？

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20、已知：关于 $x$ 的一元二次方程 $k x^{2} - (4 k + 1) x + 3 k + 3 = 0$ ，其中 $k$ 是整数．

(1)、求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)、若方程的两个实数根分别为 $x_{1}, x_{2}$ ，若 $x_{1}, x_{2}$ 是斜边长为 $\frac{3 \sqrt{5}}{2}$ 的直角三角形的两直角边，求 $k$ 的值；

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