相关试卷

1、探究规律，完成相关题目：
小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”
然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：
$(+ 5) ※ (+ 2) = + 7$ ；
$(- 3) ※ (- 5) = + 8$ ；
$(- 3) ※ (+ 4) = - 7$ ；
$(+ 5) ※ (- 6) = - 11$ ；
$(0) ※ (+ 8) = 8$ ；
$(0) ※ (- 8) = 8$ ；
$(- 6) ※ (0) = 6$ ；
$(+ 6) ※ (0) = 6$ ．
小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．”
聪明的你也明白了吗？

(1)、观察以上式子，类比计算： $(- \frac{2}{3}) ※ (+ 1) =$ _____；

(2)、计算： $(- 2) ※ [0 ※ (- 1)]$ （括号的作用与它在有理数运算中作用一致，写出必要的运算步骤）；

(3)、若 $(1 - a) ※ (b - 3) = 0$ ，计算： $\frac{1}{a \times b} + \frac{1}{(a + 2) \times (b + 2)} + \frac{1}{(a + 4) \times (b + 4)} + \frac{1}{(a + 6) \times (b + 6)} + \frac{1}{(a + 8) \times (b + 8)}$ ．

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2、小明早晨跑步，他从自己家出发，向东跑了 $2 km$ 到达小彬家，继续向东跑了 $2.5 km$ 到达小红家，然后又向西跑了 $5.5 km$ 到达学校，最后又向东，跑回到自己家．

(1)、以小明家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示 $1 km$ ，在图中的数轴上，分别用点A表示出小彬家，用点B表示出小红家，用点C表示出学校的位置；

(2)、求小彬家与学校之间的距离；

(3)、如果小明跑步的速度是250米/分，那么小明跑步一共用了多长时间？

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3、如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形拼接而成，第①个图案有4个三角形和1个正方形，第②个图案有7个三角形和2个正方形，第③个图案有10个三角形和3个正方形，……．依此规律，如果第n个图案中正三角形和正方形的个数共有2025个，则 $n =$ ．

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4、一个正方体的六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，从三个不同的方向看到的情形如图所示，则数字6的对面是．

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5、若 $x - 2 y = 3$ ，则代数式 $3 x - 6 y - 4$ 的值等于．

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6、如图，长为 $x$ 、宽为 $y$ 的长方形被分割为 $7$ 块，包括 $5$ 块完全相同的空白长方形和 $2$ 块阴影长方形 $Ⅰ$ ， $Ⅱ$ ．若每块空白长方形较短的边长为 $4$ ，则阴影长方形 $Ⅰ$ ， $Ⅱ$ 的周长之和为（）

A、 $4 y + 8$ B、 $4 x + 8$ C、 $2 y + 4$ D、 $2 x + 4$

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7、数 $a, b, c$ 在数轴上的位置如图，化简式子 $|a - c| - |a - b|$ 的结果为（）

A、 $- c - b$ B、 $- c + b$ C、 $2 a - c + b$ D、 $2 a - c - b$

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8、下列判断中错误的是（）

A、 $\frac{3}{4} π r^{2}$ 中，系数是 $\frac{3}{4}$ B、 $- a^{2} b^{2} c$ 是单项式 C、 $\frac{a + b}{2}$ 是多项式 D、 $1 - a - a b$ 是二次三项式

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9、下列运算正确的是（）

A、 $3 a^{2} + a = 4 a^{3}$ B、 $- 3 (a - b) = - 3 a + b$ C、 $5 a - 4 a = 1$ D、 $a^{2} b - 2 a^{2} b = - a^{2} b$

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10、为计算方便，某果园以每筐水果 $20kg$ 为准，超过的质量记作正数，不足的质量记作负数．记作“ $- 0.5 kg$ ”表示该筐水果的重量是（）

A、 $- 0.5 kg$ B、 $0.5 kg$ C、 $19.5 kg$ D、 $20.5 kg$

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11、如图1，点A，B，C从左到右依次在数轴上，点B表示 $- 10$ ，且点B到点C的距离是点B到点A的距离的10倍．嘉淇将数轴放入画图软件中，如图2所示．以 $1cm$ 为1个单位长度，测得A，B之间的距离为 $5cm$ ．

(1)、点A表示的数为________；点C表示的数为________；

(2)、求点A，B，C所表示的数的乘积；

(3)、若点D在数轴上，且点A到点C的距离是点A到点D的距离的5倍，求点D表示的数；

(4)、如图3，软件视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后点B始终在视窗中心．如将数轴的单位长度变为 $0 .5cm$ ，即变为原来的 $\frac{1}{2}$ 时，其可视范围就扩大为原来的2倍．已知软件视窗的横向距离为 $15cm$ ，当数轴的单位长度变为原来的 $\frac{1}{k}$ 时，点C能出现在屏幕中，直接写出k的最小整数值．

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12、【概念学习】
定义新运算：求若干个相同的非零有理数的商的运算叫做除方．类比有理数的乘方，我们把 $2 \div 2 \div 2$ 写作 $2^{③}$ ，读作“2的圈3次方”； $(- 3) \div (- 3) \div (- 3) \div (- 3)$ 写作 ${(- 3)}^{④}$ ，读作“ $(- 3)$ 的圈4次方”．一般地，把 $\underset{n 个 a}{\underset{⏟}{a \div a \div a \div \dots \div a}}$ 写作 $a^{ⓝ}$ 读作“a的圈n次方”．特别地，规定： $a^{①} = a$ ．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果： $4^{②} =$ ________， ${(- \frac{1}{2025})}^{③} =$ ________；
（2）①1的圈 $n$ 次方等于________；
②比较大小 $3^{④}$ ________ $4^{③}$ （填“ $>$ ”“ $<$ ”或“ $=$ ”）；
【深入思考】
有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算同样可以转化为乘方运算，如下所示：
除方→ $2^{④} = 2 \div 2 \div 2 \div 2 = 2 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = {(\frac{1}{2})}^{2}$ →乘方幂的形式
（3）请把有理数 $a (a \neq 0)$ 的圈 $n (n \geq 3)$ 次方写成幂的形式： $a^{ⓝ} =$ ________；
（4）计算： $- 2025^{②} \times {(- \frac{1}{2})}^{④} - (- 4) \div {(- 2)}^{④}$ ．

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13、某超市在双十一期间对顾客实行优惠政策，规定如下表：
一次性购物价格m（元）
优惠办法
$m < 200$
不予优惠
$200 \leq m \leq 500$
全部按9折优惠
$m > 500$
其中500元的部分给予9折优惠，超出500元的部分给予8折优惠

(1)、若小惠一次购物原价400元，她实际付款________元；
若一次购物原价600元，她实际付款________元．

(2)、若小惠在该超市一次购物x元．当 $x > 500$ 元时，她实际付款________元（用含x的代数式表示）．

(3)、如果小惠两次购物合计900元（原价），第一次购物的原价为a元（ $200 < a < 300$ ），用含a的代数式表示两次购物实际付款一共多少元？当 $a = 250$ 元时，小惠两次购物一共节省了多少元？

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14、下面有四张卡片，其上分别写有相应的有理数．

(1)、上面卡片中，写有非负有理数的卡片共有________张；

(2)、将上面卡片中的数用“ $<$ ”号连接起来；

(3)、现在需要拿走一张卡片，对剩下卡片中的数进行计算：
①若拿走卡片C，计算剩下卡片中所有数的乘积；
②若拿走卡片________，则剩下卡片中所有数的和刚好等于拿走卡片上的数．

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15、某校要在长60米，宽35米的长方形空地上修建四个篮球场，空地中间欲铺设纵、横两条道路（图中空白地方），现有如下两种方案．
方案一
横向道路的宽为x米．
纵向道路的宽是横向道路的宽的2倍．

方案二
横向道路的宽为y米．
横向道路的宽是纵向道路的宽的2倍．

(1)、方案一中，纵向道路的宽是________米（用含x的代数式表示）；
方案二中，纵向道路的宽是________米（用含y的代数式表示）；

(2)、已知方案一中篮球场的总面积为 $(60 - 2 x) (35 - x)$ 平方米，请据此类比求出方案二中篮球场的总面积（不用化简）；再比较当 $x = 2$ ， $y = 4$ 时，两种方案下篮球场总面积的大小．

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16、【阅读理解】已知 $F = (k + 3) x + 1$ ，若F的值和x的取值无关，则 $k + 3 = 0$ ， $k = - 3$ ．所以当 $k = - 3$ 时， $F = (k + 3) x + 1$ 和x的取值无关．
【知识应用】已知 $M = m x^{2} - 3 x + 7$ ， $N = 2 x^{2} + n x - 2$ ．

(1)、用含m，n，x的式子表示 $M + N$ ；

(2)、若 $M + N$ 的值和x的取值无关，求 $m^{n}$ 的值．

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17、某手工饰品店制作一种特色手串，是用崖柏珠和琉璃球搭配而成，其独特的外观和香气深受顾客青睐．

(1)、若每条手串由x颗崖柏珠组成，则用500颗崖柏珠可以制作________条手串，手串的总条数与每条手串的崖柏珠数量成________比例关系；

(2)、若有p颗崖柏珠，按每条手串的崖柏珠颗数相等的规定，制作了q条手串，还剩余r颗崖柏珠，则用含p、q、r的代数式表示每条手串的崖柏珠颗数；当 $p = 300$ ， $q = 38$ ， $r = 34$ 时，求每条手串的崖柏珠的颗数．

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18、下面是两位同学有理数运算的过程：

嘉嘉： $(+ 3) + (- 9) + (- 3)$

$= (+ 3) + (- 3) + (- 9)$ ……步骤一

$= [(+ 3) + (- 3)] + (- 9)$ ……步骤二

$= 0 + (- 9)$ …………………步骤三

$= - 9$ ………………………步骤四

琪琪： $- 4^{2} \div {(- 2)}^{3} \times (- \frac{1}{8})$

$= - 16 \div (- 8) \times (- \frac{1}{8})$ ………①

$= - 16 \div [(- 8) \times (- \frac{1}{8})]$ …………②

$= - 16 \div 1$ ………………………③

$= - 16$ …………………………④

(1)、嘉嘉计算过程中，“步骤一”运用的运算律是________；琪琪是从第________（填序号）步开始出现错误的；

(2)、请你对琪琪的原算式重新进行正确计算．

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19、现在有一种结绳记数方法，满七进一，可以将七进制数转换为十进制数．将图1的结绳记数转换成十进制数为： $1 \times 7^{2} + 3 \times 7^{1} + 3 = 73$ ．则将图2的结绳记数转换成十进制数为．

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20、若代数式 $2 x^{2} - 3 x$ 的值为2025，则代数式 $- 2 x^{2} + 3 x + 2026$ 的值为．

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一次性购物价格m（元）	优惠办法
$m < 200$	不予优惠
$200 \leq m \leq 500$	全部按9折优惠
$m > 500$	其中500元的部分给予9折优惠，超出500元的部分给予8折优惠