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1、一个两位数，其个位上的数与十位上的数的和等于6，而个位与十位上的数的积等于这个两位数的三分之一，则这个两位数为.

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2、若方程 $(a - 2) x^{a^{2} - 2} + 4 x + 3 = 0$ 是关于 $x$ 的一元二次方程，则 $a$ 的值为．

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3、对于一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ ，有下列说法：①若方程有两实数根为1， $- 2$ ，则 $a x^{2} + b x + c$ 分解因式得 $a (x + 1) (x - 2)$ ；②若 $a c < 0$ ，则方程有两个不相等的实数根；③若 $a - b + c = 0$ ，则方程一定有一个根为 $- 1$ ；④若方程有两个不等于0的实数根 $x_{1} ， x_{2}$ ，则方程 $c x^{2} + b x + a = 0$ 一定有两实数根 $\frac{1}{x_{1}}$ ， $\frac{1}{x_{2}}$ ．其中正确的有（）

A、①②③ B、①②④ C、②③④ D、①②③④

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4、使得关于 $x$ 的不等式组 $\{\begin{array}{l} 6 x - a \geq - 10, \\ - 1 + \frac{1}{2} x < - \frac{1}{8} x + \frac{3}{2} \end{array}$ 有且只有4个整数解，且关于 $x$ 的一元二次方程 $(a - 5) x^{2} + 4 x + 1 = 0$ 有实数根的所有整数 $a$ 的值之和为（）

A、35 B、30 C、26 D、21

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5、《代数学》中记载，形如 $x^{2} + 8 x = 33$ 的方程，求其正数解的几何方法是：“如图①，先构造一个面积为 $x^{2}$ 的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为 $2 x$ 的长方形，得到大正方形的面积为 $33 + 16 = 49$ ，则该方程的正数解为 $7 - 4 = 3$ .”小唐按此方法解关于 $x$ 的方程 $x^{2} + 12 x = m$ 时，构造出如图②所示的图形，已知阴影部分的面积为64，则该方程的正数解为（）

A、4 B、6 C、8 D、10

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6、已知 $x_{1}, x_{2}$ 是方程 $x^{2} - x - 2026 = 0$ 的两个实数根，则代数式 $x_{1}^{3} - 2026 x_{1} + x_{2}^{2}$ 的值为（）

A、4 053 B、4 052 C、2 026 D、1

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7、若菱形两条对角线的长度是方程 $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ 的两个根，则该菱形的边长为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、4 C、25 D、5

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8、《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》记载了一道有趣的“折竹抵地”问题，大意为：“一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？”（备注：1丈 $= 10$ 尺）如果设折断后的竹子高度为 $x$ 尺，根据题意，可列方程为（）

A、 $x^{2} + 4^{2} = (10 - x)^{2}$ B、 $(10 - x)^{2} + 4^{2} = x^{2}$ C、 $x^{2} + (10 - x)^{2} = 4^{2}$ D、 $x (10 - x) = 4^{2}$

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9、若关于 $x$ 的一元二次方程 $(a - 2) x^{2} + 2028 x + a^{2} - 4 = 0$ 的一个根是0，则 $a$ 的值是（）

A、2 B、 $- 2$ C、2或 $- 2$ D、0

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10、若方程 $2 (x^{2} - 1) + 1 = 3 x (x - 1)$ 中的二次项系数、一次项系数和常数项分别是 $a (a > 0), b, c$ ，则 $a + b + c$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、 $- 2$ C、3 D、5

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11、如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 6$ （a、b为常数， $a \neq 0$ ）与x轴交于 $A (- 2, 0)$ 、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，连接 $B C$ ， $∠ C B A = 45 °$ ．

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、如图1，当点F为抛物线顶点时，过点F作 $F E ⊥ x$ 轴，垂足为点E，交 $B C$ 于点D，连接 $C F$ ，求 $△ C D F$ 的面积；

(3)、如图2，连接 $A C$ ，点E是线段 $O B$ 上（不与点O、B重合）的点，过点E作 $E F ⊥ x$ 轴，交抛物线于点F，交 $B C$ 于点D，点P是线段 $D E$ 上一动点，过P作 $P Q ⊥ y$ 轴，垂足为Q，点G为线段 $A C$ 的中点，连接 $B P 、 G Q$ ．当线段 $D F$ 的长度取得最大值时，求 $B P + P Q + G Q$ 的最小值．

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12、在平面直角坐标系xOy中，点 $(1, m)$ 和 $(3, n)$ 在抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 上，设抛物线的对称轴为直线 $x = t (t > 0)$ ．

(1)、当 $c = 2$ ， $m = n$ 时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；

(2)、点 $(x_{0}, m) (x_{0} \neq 1)$ 在抛物线上，若 $m < n < c$ ，求 $x_{0}$ 的取值范围；

(3)、当 $t - 2 \leq x \leq 3 t +$ 2时，函数的最大值与最小值的差为 $16 a$ ，求 $t$ 的值．

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13、某厂商投产一种新型科技产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数 $y = - 2 x + 100$ ．

(1)、写出每月的利润L（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

(2)、当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润?最大利润是多少?

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14、如图，某酒店后面有一块梯形空地 $A B C D$ ，其中 $A B = 40 m$ ， $C D = 200 m$ ， $∠ C = ∠ D = 45 °$ ，为缓解车位紧张，该酒店计划在这块空地上修建一个矩形停车场 $E F G H$ ，其余部分铺设为草坪，为方便车辆进出，矩形停车场的一边 $G H$ 和空地的最长边 $C D$ 重合， $E$ 、 $F$ 分别在边 $A D$ 、 $B C$ 上，设 $E H = x m$ ，矩形停车场 $E F G H$ 的面积为 $S m^{2}$ ．

(1)、用含 $x$ 的式子表示 $E F$ 的长为 $m$ ；

(2)、 $E H$ 的长 $x$ 的取值范围是；

(3)、求修建的矩形停车场 $E F G H$ 的面积 $S$ 的最大值．

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15、已知二次函数 $y = x^{2} - 2 m x + m + 2$ ( $m$ 是常数)的图象是抛物线．

(1)、若图象经过点 $(2, 3)$ ，求 $m$ 的值和图象的顶点坐标．

(2)、若抛物线的顶点在 $x$ 轴上，则 $m =$ ；

(3)、若点 $B (2, a)$ ， $C (5, b)$ 在抛物线上，且 $a > b$ ，则 $m$ 的取值范围是．

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16、已知函数 $y = (m - 1) x^{m^{2} - m} + 4 x$ 是关于 $x$ 的二次函数．

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、当 $m$ 为何值时，抛物线有最高点？并求出最高点的坐标．

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17、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (m, y_{1}) ， B (m + 1, y_{2}) ， C (m + 2, y_{3})$ 是抛物线 $y = a x^{2} - 4 a x - 3 (a < 0)$ 图象上的三点，若 $n < m < n + 1$ 时，满足 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$ 恒成立，则 $n$ 的整数部分数值为．

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18、已知函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的部分图像如下，则代数式 $4 a + 2 b + c$ 的值为．

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19、如图是搭建一座蔬菜大棚的横截面，其形状可以用抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + 8$ 表示，施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架 $D E F G$ ，点 $D, G$ 在抛物线上，若 $D E : E F = 3 : 2$ ，则脚手架 $D E$ 的高度为米．

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20、抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + 1$ 的顶点坐标为．

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