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1、如图1，动点 $P$ 从菱形 $A B C D$ 的点 $A$ 出发，沿边 $A B \to B C$ 匀速运动，运动到点 $C$ 时停止．设点 $P$ 的运动路程为 $x$ ， $P O$ 的长为 $y$ ， $y$ 与 $x$ 的函数图象如图2所示，当点 $P$ 运动到 $B C$ 的中点时， $P O$ 的长为（）

A、3 B、 $\frac{3 \sqrt{5}}{2}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{5}$

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2、下列从左到右的变形是因式分解的是（）．

A、 $4 y z - 2 y^{2} + z = 2 y (2 z - y) + z$ B、 $(3 - x) (3 + x) = 9 - x^{2}$ C、 $x (x - y) - y (x - y) = {(x - y)}^{2}$ D、 $x^{3} - 3 x^{2} + x = x (x^{2} - 3 x)$

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3、下列函数图象中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4、综合探究：
“在 $△ A B C$ 中， $A B$ 、 $B C$ 、 $A C$ 三边的长分别为 $\sqrt{5}$ 、 $\sqrt{10}$ 、 $\sqrt{13}$ ，求这个三角形的面积”．
小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点 $△ A B C$ （即 $△ A B C$ 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求 $△ A B C$ 的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求 $△ A B C$ 面积的方法叫做构图法．

(1)、直接写出图1中 $△ A B C$ 的面积是________；

(2)、若 $△ D E F$ 的三边的长分别为 $\sqrt{5}$ 、 $\sqrt{17}$ 、 $2 \sqrt{2}$ ，请你利用构图法在图2中，画出符合题意的 $△ D E F$ ，并写出它的面积________．

(3)、已知 $a$ ， $b$ 均为正实数，且 $a + b = 3$ ，求 $\sqrt{a^{2} + 1} + \sqrt{b^{2} + 9}$ 的最小值．
小明同学发现 $\sqrt{a^{2} + 1}$ 可看作两直角边分别为 $a$ 和1的直角三角形的斜边长， $\sqrt{b^{2} + 9}$ 可看作两直角边分别是 $b$ 和3的直角三角形的斜边长，通过分析，小明想到了构图法解决此问题，于是构造出图3，将问题转化为求线段 $C D$ 的长，如图， $A E = a$ ， $B E = b$ ， $A C = 1$ ， $B D = 3$ ， $A C ⊥ A B$ ， $B D ⊥ A B$ ，则 $C E$ 、 $D E$ 的长分别表示为 $\sqrt{a^{2} + 1}$ ， $\sqrt{b^{2} + 9}$ ．由于 $C E + E D \geq C D$ ，当 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 共线时，取等号，所以只要求出 $C D$ 的长，就可以解决问题．请在图3中，求出 $C D$ 的长，并说明理由．所以 $\sqrt{a^{2} + 1} + \sqrt{b^{2} + 9}$ 的最小值是________．

(4)、拓展应用：求代数式： $\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{{(4 - x)}^{2} + 4}$ （ $0 \leq x \leq 4$ ）的最小值．

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5、在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知 $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ，求 $2 a^{2} - 8 a + 1$ 的值．他是这样解答的：
$∵ a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$ ，
$∴ a - 2 = - \sqrt{3}$ ，
$∴ {(a - 2)}^{2} = 3$ ， $a^{2} - 4 a + 4 = 3$ ．
$∴ a^{2} - 4 a = - 1$ ．
$∴ 2 a^{2} - 8 a + 1 = 2 (a^{2} - 4 a) + 1 = 2 \times (- 1) + 1 = - 1$ ．请你根据小明的解题过程，解决如下问题：

(1)、计算 $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ ；

(2)、化简 $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \dots \dots + \frac{1}{\sqrt{169} + \sqrt{168}}$ ．

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6、计算：

(1)、 $\sqrt{12} \times \sqrt{3} - \sqrt{27}$

(2)、 ${(\sqrt{5} + 2)}^{2} - {(\sqrt{5} - 2)}^{2}$

(3)、 $\frac{\sqrt{20} + \sqrt{5}}{\sqrt{5}} - 3 \sqrt{\frac{1}{3}}$

(4)、 $|\sqrt{3} - 2| + {(π - 3)}^{0} + 2^{- 2}$

(5)、 $(\sqrt{6} + \sqrt{\frac{2}{3}}) \times \sqrt{6}$

(6)、 $(\sqrt{48} - \sqrt{27}) \div \sqrt{3} + \sqrt{6} \times \sqrt{\frac{1}{3}}$

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7、一个正数的两个不同的平方根分别是 $2 a - 3$ 与 $5 - a$ ， $2 b + 4$ 的立方根是 $- 2$ ．求 $2 a - b$ 的平方根．

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8、算术平方根有如下运算： $\sqrt{a^{2}} = \{\begin{array}{l} a (a \geq 0) \\ - a (a < 0) \end{array}$ ， ${(\sqrt{a})}^{2} = a$ （ $a \geq 0$ ），故化简： $\sqrt{a^{2}} + {(\sqrt{b})}^{2}$ 可得 $a + b$ 或 $- a + b$ 两种不同结果．化简： $\sqrt{{(x + 1)}^{2}} + {(\sqrt{x - 1})}^{2} + \sqrt{{(x - 4)}^{2}} + \sqrt{{(x - 8)}^{2}}$ ，会有几种不同的结果（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9、如图是中国象棋棋局的一部分，如果“帅”的位置用 $(0, 0)$ 表示，“相”的位置用 $(5, 1)$ 表示，那么“卒”的位置可表示为（）

A、 $(- 2, 1)$ B、 $(- 1, - 2)$ C、 $(1, - 2)$ D、 $(2, 1)$

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10、
定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”
【问题探究】
（1）如图①，已知 $Rt △ A B C$ 的三个顶点均在正方形网格的格点上，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点 $D$ ，使四边形 $A B C D$ 是以 $A C$ 为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹，找出1个即可）
【问题解决】
（2）如图②，在四边形 $A B C D$ 中， $A D \neq C D$ ， $∠ A B C = 70 °$ ， $∠ A D C = 145 °$ ，对角线 $B D$ 平分 $∠ A B C$ ．求证： $B D$ 是四边形 $A B C D$ 的“相似对角线”；
【拓展应用】
（3）如图③，已知 $F H$ 是四边形 $E F G H$ 的“相似对角线”， $∠ E F H = ∠ H F G = 60 °$ ，连接 $E G$ ，若 $△ E F G$ 的面积为 $4 \sqrt{3}$ ，求 $F H$ 的长．

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11、如果关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ （ $a \neq 0$ ）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程 $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ 的两个根是 $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = 4$ ，则方程 $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ 是“倍根方程”

(1)、通过计算，判断 $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ 是否是“倍根方程”．

(2)、已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (k + 3) x + 2 k + 2 = 0$ 是“倍根方程”，求 $k$ 的值．

(3)、若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - m x + 2 n = 0$ （ $m$ 、 $n$ 是常数）是“倍根方程”，且两根之和为6，请求出 $m$ 、 $n$ 的值．

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12、中秋是我国传统佳节，赏月、挂灯笼是流传千年的中秋民俗．莲花中学学生会开展中秋公益义卖活动，制作中秋主题灯笼文创套装，义卖所得全部捐给乡村学校，用于添置阅读书籍．每套灯笼制作成本40元，义卖标价58元/套.9月份第一期义卖售出256套，第三期义卖售出400套．

(1)、若每期义卖销售量的平均增长率相同，求销售量的每期平均增长率；

(2)、为筹集更多公益资金，学生会调整义卖标价．经调研：每套灯笼价格每降低1元，义卖的总套数会在第三期销售量的基础上增加20套．若要使义卖总筹款利润（筹款扣除制作成本）达到4800元，则每套灯笼的义卖价格应定为多少元？

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13、如图，四边形 $A B C D$ 是平行四边形， $A B < A D$ ．

(1)、请利用尺规作图作 $∠ B C D$ 的角平分线 $C M$ 交 $A D$ 于点 $E$ ，在 $C B$ 上截取 $C F = C D$ ，连接 $E F$ ；（要求保留作图痕迹，不写作法）

(2)、求证：四边形 $C D E F$ 是菱形．

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14、计算： ${(π - 2026)}^{0} + |\sqrt{3} - 2| + {(- 1)}^{2026} - \sqrt{25}$ ．

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15、如图，线段 $A B = 2$ ，点 $C$ 与点 $D$ 均为线段 $A B$ 的黄金分割点，则 $C D =$

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16、已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 是 $△ A B C$ 的三边长，且 $\frac{a}{5} = \frac{b}{4} = \frac{c}{6} \neq 0$ ．

(1)、 $\frac{2 a + b}{3 c}$ 的值为__________．

(2)、若 $△ A B C$ 的周长为90，求各边的长．

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17、用适当的方法解下列方程：

(1)、 $4 {(x - 1)}^{2} - 9 = 0$ ；

(2)、 $y^{2} - 2 y = 5$ ；

(3)、 $x^{2} - \sqrt{3} x - \frac{9}{4} = 0$ ；

(4)、 ${(x + 2)}^{2} - 4 {(x - 3)}^{2} = 0$ ．

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18、如图，菱形 $A B C D$ 中， $B D = 6$ ， $A C = 8$ ，直线 $E F ⊥ A B$ 交两对边于点 $E$ ， $F$ ，则 $E F$ 的长为

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19、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B C A = 90 °$ ，点 $P$ 为斜边 $A B$ 上一动点，过点 $P$ 作 $P D ⊥ B C$ 于 $D$ ， $P E ⊥ A C$ 于 $E$ ，连接 $D E$ ．若 $A B = 13$ ， $B C = 12$ ，则 $D E$ 的长不可能等于（）

A、5 B、 $\frac{9}{2}$ C、 $\frac{11}{2}$ D、6

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20、我国传统建筑中的窗棂古典雅致，含蓄灵动．构成某幅窗棂的一个窗格可抽象成如图所示的菱形 $A B C D$ ，连接 $A C$ 、 $B D$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $A B = 2$ ，则 $B D$ 的长为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、2 D、 $2 \sqrt{3}$

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