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相关试卷

1、综合与探究
问题情境：三角形三条中线的交点叫三角形的重心．如图1，取一块均匀的三角形纸板，用一根细线从重心 $O$ 处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案．
探究过程：如图2， $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线， $△ A C D$ 与 $△ A B D$ 等底等高，面积相等，记作 $S_{△ A C D} = S_{△ A B D}$ ．若 $△ A B C$ 的三条中线 $A D$ ， $B E$ ， $C F$ 交于点 $G$ ，则 $G D$ 是 $△ G B C$ 的中线，利用上述结论，可得 $S_{△ G C D} = S_{△ G B D}$ ，同理，可得 $S_{△ G B F} = S_{△ G A F}$ ， $S_{△ G A E} = S_{△ G C E}$ ．
猜想证明：
（1）如图2，若设 $S_{△ G C D} = x$ ， $S_{△ G B F} = y$ ， $S_{△ G A E} = z$ ，猜想 $x$ ， $y$ ， $z$ 之间的数量关系，并证明你的猜想；
拓展延伸：
（2）如图2，在 $△ A B C$ 中，若 $S_{△ G A B} = 12$ ，则 $△ A B C$ 的面积 $S$ 为________；
（3）在图2中，求 $B G : G E$ 的值．

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2、综合与实践
【问题情境】
如图1，在太空探索中，宇航员需要从空间站 $A$ 出发，先到陨石带边缘收集样本，再到能源站补充燃料，最后到达空间站 $B$ ．为了提高效率，宇航员需要设计一条最短路径．
【数学建模】：如图2，若只需在能源站补充燃料，可作 $B$ 关于能源站所在直线l的对称点 $B^{'}$ ，连接 $A B^{'}$ ，与直线 $l$ 的交点即为最优燃料点 $C$ ，此时路径 $A C + C B$ 最短．
【推理论证】：如图3，在直线 $l$ 上另取任意一点 $C^{'}$ ，连接 $A C^{'}$ ， $B C^{'}$ ， $B^{'} C^{'}$ ，只要说明 $A C + C B < A C^{'} + C^{'} B^{'}$ 即可．
证明： $∵$ 直线 $l$ 是点 $B$ ， $B^{'}$ 的对称轴，点 $C$ ， $C^{'}$ 在 $l$ 上，
$∴ C B =$            ， $C^{'} B^{'} =$            ，
$∴ A C + C B = A C + C B^{'} =$            ．
$∵$ 在 $△ A C^{'} B^{'}$ 中， $A B^{'} < A C^{'} + C^{'} B^{'}$ ，
$∴$            $< A C^{'} + C^{'} B^{'}$ ，即 $A C + C B$ 最小．
【问题解决】

(1)、本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的 $A$ ， $B$ 转化为在直线的两侧，从而利用“两点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决．请补全上述推理论证；

(2)、请你根据以上材料内容，帮助宇航员在图1中画出最短路径；

(3)、如图4，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D ⊥ B C$ ．若点 $P$ 在 $A D$ 上移动，点 $Q$ 在 $A C$ 上移动，如何确定 $P C + P Q$ 的最小值？

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3、阅读与思考

下面是小明同学研究某三角形性质时的笔记片段，请阅读并完成相应任务．

【概念理解】如果一个三角形的一条角平分线与一条中线互相垂直，那么这个三角形的某两条边必有倍半关系，这个三角形称为“线垂”三角形，被这条内角平分线所平分的内角叫作“分角”．如图，在 $△ A B C$ 中， $B D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线， $A E$ 是 $△ A B C$ 的中线， $A E ⊥ B D$ ，垂足为 $F$ ．

【问题解决】问题1：写出 $△ A B C$ 中小明同学所发现的结论：________．

证明： $∵ B D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线，

∴ $∠ A B D = ∠ C B D$ ．

∵ $A E ⊥ B D$ ，

∴ $∠ B F A = ∠ B F E = 90 °$ ，

∴ $∠ A B D + ∠ B A F = ∠ C B D + ∠ B E F = 90 °$ ，

∴ $∠ B A F = ∠ B E F$ ，

∴ $B A = B E$ （依据），

…

问题2：在图中，若“线垂”三角形 $A B C$ 是直角三角形，求 $∠ D B C$ 的度数．

任务：

(1)、问题1中的结论为________，问题1中的依据是________________________；

(2)、请你完成问题2的解答．

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4、项目学习

项目背景：涑水河，黄河中游支流，流域位于山西省南部的运城市境内，发源于绛县中条山区陈村峪，向西南流经闻喜县、夏县、运城市盐湖区、临猗县、永济市，于永济市韩阳镇长旺村汇入黄河．综合实践小组的同学围绕“距离的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告．

项目主题	距离的测量与计算
驱动问题	如何测量到河对岸信号塔的距离
活动内容	利用三角形的有关知识进行测量与计算
活动过程	方案说明	小华站在涑水河边的点 $A$ 处，在涑水河的对面（小华的正北方向）的点 $B$ 处有一信号塔，他想知道信号塔离他有多远，于是他向正西方向走了30米到达一棵树点 $C$ 处，接着再向前走了30米到达点 $D$ 处，然后他左转 $90^{\circ}$ 向南直行．当小华看到信号塔、树与自己现处的位置 $E$ 在同一条直线上时，他共走了140米．求小华在点 $A$ 处时，他与信号塔的距离．
	数据	$A C = 30$ 米， $C D = 30$ 米， $A D + D E = 140$ 米， $∠ A D E = 90^{\circ}$ ．

请根据以上数据信息，计算小华在点 $A$ 处时，他与信号塔的距离．

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5、如图，这是某校园小公园中的腾飞雕塑的平面示意图．已知雕塑的右边边线 $A B$ 和底座 $C D$ 都与地面 $M N$ 垂直，同时， $A E$ 与 $D E$ 的夹角 $∠ A E D = 75 °$ ， $D E$ 与底座 $C D$ 的夹角 $∠ C D E = 125 °$ ，求 $∠ B A E$ 的度数．

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6、如图，在网格中，直线 $l$ 与网格线重合，点 $A$ ， $C$ ， $A^{'}$ ， $B^{'}$ 均在网格点上．

(1)、若 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 和 $△ A B C$ 关于直线 $l$ 对称，请在图上把 $△ A B C$ 和 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 补充完整；

(2)、若 $∠ A = 48 °$ ， $∠ A^{'} B^{'} C^{'} = 78 °$ ，求 $∠ A^{'} C^{'} B^{'}$ 的度数；

(3)、在以直线 $l$ 为 $y$ 轴的平面直角坐标系中，若点 $A$ 的坐标为 $(a, b)$ ，则点 $A^{'}$ 的坐标为________．

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7、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，过点 $B$ 作 $B D ⊥ A C$ 于点 $D$ ．

(1)、用尺规作图作出 $A B$ 的垂线 $C P$ ，交 $A B$ 于点 $E$ ，交 $B D$ 于点 $O$ ；

(2)、求证： $B E = C D$ ．

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8、在学习了三角形的内角和与外角和后，老师给大家布置了一道题目：如图，在

△ A B C

中．

∠ A B C = 80 °

，

∠ A C B = 50 °

，

B P

平分

∠ A B C

，

C P

平分

∠ A C B

，求

∠ B P C

的度数．下面是小华的解答过程．

解： $∵$ ① （已知），

$∴ ∠ P B C = \frac{1}{2} ∠ A B C = \frac{1}{2} \times 80 ° = 40 °$ ．

同理，可得 $∠ P C B =$ ② ．

在 $△ B P C$ 中，三角形三个内角和等于 $180 °$ ，

$∴$ ③ $= 180 °$ ，

$∴ ∠ B P C = 180 ° -$ ④ $=$ ⑤ ．

请将小华的解答过程中的空白处填上恰当的内容．

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9、如图， $△ A C B$ 和 $△ D C E$ 均为等腰直角三角形， $∠ A C B = ∠ D C E = 90 °$ ，点 $A$ ， $D$ ， $E$ 在同一条直线上， $C M$ 为边 $D E$ 上的高，连接 $B E$ ．若 $C M = 4$ ， $B E = 6$ ，则 $A E$ 的长是．

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10、如图，在物理实验课上，小华所在小组用两块平面镜 $L_{1}$ 和 $L_{2}$ 进行成像研究．两块镜子互相平行放置，小球放在两镜之间，其球心为点 $A$ ，点 $A$ 在平面镜 $L_{1}$ 中的像为 $A^{'}$ ，在平面镜 $L_{2}$ 中的像为 $A^{″}$ ．已知点 $A$ 到 $L_{1}$ 的距离为 $20 cm$ ，到 $L_{2}$ 的距离为 $40 cm$ ，则 $A^{'} A^{″} =$ $cm$ ．

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11、如图， $△ A B C ≌ △ E D F$ ，若 $A E = 10$ ， $F C = 6$ ，则 $A F$ 的长为．

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12、如图，这是山西省阳曲县首邑大桥，该桥为山西最大吨位、最大跨度斜拉转体桥，刷新省内同类型桥梁纪录，也是阳曲县首座斜拉转体桥．其三角形结构蕴含的数学道理是．

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13、把命题“等边三角形三个内角都相等”写成“如果…，那么…”的形式：．

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14、如图，在 $△ A B C$ 中，分别以 $A B$ ， $A C$ 所在的直线为对称轴作 $△ A B C$ 的对称图形 $△ A B D$ 和 $△ A C E$ ，线段 $B D$ 与 $C E$ 相交于点 $O$ ，连接 $B E$ ， $E D$ ， $D C$ ， $O A$ ．若 $∠ B A C = 150 °$ ，则 $∠ B O E$ 的度数为（）

A、 $45 °$ B、 $60 °$ C、 $75 °$ D、 $90 °$

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15、如图， $△ A O B$ 和 $△ A^{'} O B$ 关于 $x$ 轴对称．若 $△ A O B$ 内点 $P$ 的坐标是 $(2, 1)$ ，则点 $P$ 在 $△ A^{'} O B$ 中的对应点 $Q$ 的坐标是（）

A、 $(2, 1)$ B、 $(- 2, 1)$ C、 $(- 2, - 1)$ D、 $(2, - 1)$

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16、化学兴趣小组的同学们在准备制取氧气的实验，老师布置了“了解实验装置”的任务，小华他们小组的任务是测量锥形瓶的底面的内径．小华的测量方案如下：如图，用螺丝钉将小棒 $A D$ ， $B C$ 的中点 $O$ 固定，测得 $C$ ， $D$ 之间的距离，该距离就是内径 $A B$ 的长，则 $△ A O B ≌ △ D O C$ 的判定依据是（）

A、 $SSS$ B、 $SAS$ C、 $ASA$ D、 $AAS$

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17、如图，这两个三角形全等，则 $∠ E$ 的度数为（）

A、 $80 °$ B、 $70 °$ C、 $65 °$ D、 $50 °$

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18、如图， $∠ A C D$ 是 $△ A B C$ 的一个外角，若 $∠ A = 50 °$ ， $∠ A C D = 130 °$ ，则 $∠ B$ 的度数为（）

A、 $80 °$ B、 $50 °$ C、 $70 °$ D、 $40 °$

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19、下列是山西平遥古城中窗格的图案，其中是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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20、综合与探究
问题情境：
在 $Rt △ A B C$ 和 $Rt △ D E F$ 中， $∠ B A C = ∠ E D F = 90 °$ ， $A C = 6$ ， $A B = 8$ ，点D在 $B C$ 边上， $A D$ 为 $B C$ 边上的高．将 $△ D E F$ 绕点D旋转， $D E$ 边与 $A C$ 边交于点G， $D F$ 边与 $A B$ 边交于点H．
猜想证明：
（1）如图1，当 $D E ⊥ A C$ 时，试判断四边形 $D G A H$ 的形状，并说明理由．
深入探究：
（2）如图2，在 $△ D E F$ 绕点D旋转的过程中，线段 $A H$ 与 $C G$ 的比值是否发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果没有发生变化，请求出它们的比值．
（3）设 $C G = 3 x$ ，在 $△ D E F$ 旋转的过程中，请直接写出四边形 $D G A H$ 的面积．（用含x的代数式表示）

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