相关试卷

1、 $2026$ 年亚太经合组织（ $APEC$ ）会议将在深圳举行，据官方数据显示，其核心场馆深圳国际交流中心总建筑面积约为 $430000$ 平方米， $430000$ 用科学记数法表示为（）

A、 $4.3 \times 10^{4}$ B、 $43 \times 10^{4}$ C、 $4.3 \times 10^{5}$ D、 $0.43 \times 10^{6}$

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2、书是人类进步的阶梯！为爱护书一般都将书本用封皮包好，现有一本《数学杂谈》如图1，该书的长为 $23 cm$ ，宽为 $16 cm$ ，厚度为 $2 cm$ ，小华用一张长方形纸（如图2所示）包好了这本书，在图2的包书纸示意图中，虚线是折痕，阴影是裁掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折进去的宽度，设用该包书纸包这本书时折进去的宽度为 $a cm$ ．

(1)、该包书纸的长为______ $cm$ ；宽为______ $cm$ ；（用含 $a$ 的代数式表示）

(2)、当 $a = 1$ 时，求该包书纸的面积（不含阴影部分）．

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3、如图，木匠师傅经过刨平的木板上的 $A$ ， $B$ 两点，可以弹出一条笔直的墨线，请你解释这一实际应用的数学基本事实是．

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4、已知二次函数 $y = m x^{2} - 2 m x + 3 (m \neq 0)$ ．
【特例分析】
（1）当 $m = - 2$ ， $- 1$ ， 2时，其图象对应为图中的 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ ，观察图象：发现二次函数 $y = m x^{2} - 2 m x + 3$ 恒过两个定点分别为______，______，对称轴为______；
【性质运用】
（2）将函数 $y = m x^{2} - 2 m x + 3$ 图象向下平移 $4 |m|$ 个单位，若所得图象的顶点落在 $x$ 轴上，求 $m$ 的值；
（3）已知点 $P (\frac{1}{2}, 6 - m)$ ， $Q (\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$ ，线段 $P Q$ 与此函数图象有且只有一个公共点 $m$ 的取值范围为______．

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5、光的折射．

物理常识

光从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向偏折的现象叫做光的折射．

当光从真空射入某种介质发生折射时，入射角 $α$ 的正弦与折射角 $β$ 的正弦之比（ $α$ ， $β$ 均为锐角），叫作这种介质的绝对折射率，简称折射率，用符号 $n$ 表示，即 $n = \frac{sin α}{sin β}$

【概念理解】

（1）如图①，若入射角 $α$ 的度数为 $60 °$ ，折射率 $n = \sqrt{3}$ ，求折射角 $β$ 的度数．

（2）如图②，直线 $l$ 是真空与某种介质的分界线，折射率 $n = 2$ ， $P A$ 是入射光线，点 $A$ 是入射点．在图②中，用直尺和圆规作出折射光线 $A Q$ ．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）

【深入思考】

（3）如图③，直线 $l$ 是真空与某种介质的分界线，折射率 $n = \frac{4}{3}$ ，直线 $l$ 上有一个位置固定的遮光板 $A B$ ，且 $M$ 是 $A B$ 的中点；在直线 $l$ 下方有一个圆形区域 $⊙ O$ ，且 $⊙ O$ 与 $A B$ 相切于点 $M$ ．点光源 $P$ 在直线 $l$ 的上方，经过遮光板 $A B$ 的遮挡，使得折射光线不能进入 $⊙ O$ 的内部，已知 $⊙ O$ 的半径为 $\sqrt{3}$ ， $A B = 2$ ．（假设入射光线在端点 $A$ ， $B$ 处能够发生折射），求点光源 $P$ 到直线 $l$ 的距离的最大值．

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6、太原首座斜拉桥——太原绕城高速公路西北环汾河矮塔斜拉桥，其主跨跨径为 $150$ 米，在同类矮塔斜拉桥结构中跨径为中国第一．某数学实践小组在查阅了斜拉桥的相关知识后，计划运用所学知识测量桥面上桥塔的高度，制定了如下方案：
【数据采集】：如图，点 $A$ 是桥塔顶部一点， $A B$ 即为桥塔的高度．无人机在桥塔上方点 $C$ 处时，测得桥塔顶部 $A$ 处的俯角 $∠ D C A = 37 °$ ，底部 $B$ 处的俯角 $∠ D C B = 59 °$ ，沿水平方向由点 $C$ 飞行 $56$ 米到达点 $D$ 处，在 $D$ 处测得 $A$ 处的俯角． $∠ D = 45 °$ ，已知图中各点均在同一竖直平面内；
【数据应用】：
（1）请根据以上数据求桥塔 $A B$ 的高度(结果精确到1米．参考数据： $sin 59^{\circ} \approx 0.86 ， cos 59^{\circ} \approx 0.52 ， tan 59^{\circ} \approx 1.66 ， sin 37 \approx 0.60 ， cos 37^{\circ} \approx 0.80 ， tan 37^{\circ} \approx 0.75$ )；
【方案反思】：
（2）某同学对该测量方案提出改进建议：考虑到现代无人机能实时显示点 $C$ 到水平地面 $E F$ 的距离，则可减少需要采集的数据，请直接写出原数据采集方案( $37 ° ， 59 °$ ， $56$ 米， $45 °$ ）中至多可以删减的数据为．

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7、如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = 2 x + 4$ 的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象交于C，D两点，点C的坐标为 $(n ， 6)$ ．

(1)、求该反比例函数的表达式；

(2)、求点D的坐标；

(3)、当 $\frac{k}{x} > 2 x + 4$ 时，直接写出x的取值范围．

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8、如果一个四边形存在一条对角线把它分割成两个相似比不为1的相似三角形，那么就称这个四边形为“相似分割四边形”．如图，已知一个四边形 $A B C D$ 是“相似分割四边形”， $A B = A D$ ， $B C = 2 A D$ ， $A D ∥ B C$ ，那么该四边形最小内角的余弦值是．

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9、如图，已知 $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ 、 $D$ 是 $⊙ O$ 上的两点，且 $A B ⊥ C D$ ，垂足为点 $H$ ，如果 $A H = C D = 8$ ，那么 $A O$ 的长为．

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10、在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，如果 $B C = 5$ ， $A B = 13$ ，那么 $cos A =$ ．

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11、在锐角 $△ A B C$ 中， $∠ A 、 ∠ B 、 ∠ C$ 所对的边分别记为a、b、c，那么下列等式中，成立的是（）

A、 $c = a \cdot \sin A + b \cdot \sin B$ ； B、 $c = a \cdot \cos A + b \cdot \cos B$ ； C、 $c = a \cdot \sin B + b \cdot \sin A$ ； D、 $c = a \cdot \cos B + b \cdot \cos A$ ．

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12、许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．某商场“飞梯”从2层直达5层，“飞梯”的截面如图， $A B$ 的长为50米， $A B$ 与 $A C$ 的夹角为 $24 °$ ，则 $A C$ 的长是（）

A、 $50 \cos 24 °$ B、 $50 \sin 24 °$ C、 $\frac{50}{\cos 24 °}$ D、 $\frac{50}{\sin 24 °}$

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13、若点 $(4, - 3)$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象上，则下列各点在该图象上的是（）

A、 $(6, 2)$ B、 $(4, 3)$ C、 $(- 4, - 3)$ D、 $(- 6, 2)$

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14、如图，直线： $y_{1} = k_{1} x + 4$ 与双曲线： $y_{2} = \frac{k_{2}}{x}$ 在第二象限内交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $B$ 在点 $A$ 右侧），已知 $A (- m, 1)$ ， $B (- 1, m)$ ．

(1)、求 $k_{2}$ 的值；

(2)、请直接写出 $k_{1} x + 4 \leq \frac{k_{2}}{x}$ 时自变量 $x$ 的取值范围；

(3)、点 $C$ 是线段 $A B$ 上的一个动点，过点 $C$ 作 $C D ⊥ y$ 轴于点 $D$ ，交双曲线于点 $F$ ， $E$ 是 $x$ 轴上一点，当 $△ C E D$ 的面积最大时，求点 $F$ 的坐标．

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15、如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是边 $A B$ 上一点， $M$ 是边 $A C$ 的中点，连接 $D M$ 并延长至点 $N$ ，使得 $M N = D M$ ，连接 $A N$ ， $C N$ ， $C D$ ，且 $∠ A M D = 2 ∠ M C D$ ．

(1)、求证：四边形 $A D C N$ 是矩形；

(2)、若 $∠ B A C = 60 °$ ， $B D = 2 A D = 4$ ，求点 $D$ 到边 $B C$ 的距离．

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16、综合应用．某数学兴趣小组根据所学函数的经验，发现当做功一定时，功率P（单位：W）与做功的时间t（单位：s）存在反比例函数关系．如表是他们实验的几组数据：
t（单位：s）
10
20
30
40
50
P（单位：W）
120
60
40
30
24

(1)、请求出功率 $P (W)$ 与做功的时间 $t (s)$ 之间的函数关系式．

(2)、在平面直角坐标系中，描出上表中以各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象

(3)、结合图象，当功率小于 $100W$ 时，直接写出做功时间t的取值范围．

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17、如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 三个顶点坐标分别为 $A (2, 2)$ ， $B (4, 2)$ ， $C (0, 4)$ ．

(1)、画出 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、以原点 $O$ 为位似中心，位似比为 $2 : 1$ ，在 $y$ 轴的左侧，画出 $△ A B C$ 缩小后的图形 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ．

(3)、填空：直接写出点 $C_{2}$ 的坐标_____； $△ A B C$ 与 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 的周长比是_____； $△ A B C$ 与 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 的面积比是_____．

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18、（1）解方程： $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ ．
（2）计算： ${tan}^{2} 60 ° + 4 sin 30 ° cos 45 °$ ；

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19、如图，在▱ $A B C D$ 中，点 $E$ 在边 $C D$ 上， $D E = 2 E C$ ，连接 $A E$ 交 $B D$ 于点 $F$ ，若 $△ D E F$ 的面积为24，则 $△ A B F$ 的面积为

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20、已知 $m$ 是一元二次方程 $x^{2} + 4 x - 2 = 0$ 的一个根，则 $(m + 5) (1 - m)$ 的值为．

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t（单位：s）	10	20	30	40	50
P（单位：W）	120	60	40	30	24