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1、如图1，抛物线 $y = a x ² + b x + c$ 与x轴交于 $A ， B$ 两点，且点B的坐标为 $(5 ， 0)$ ，与y轴交于点C，该抛物线的顶点坐标为 $(3, - 4)$ ．

(1)、求抛物线和直线 $B C$ 的解析式．

(2)、在抛物线上是否存在点M，使得 $△ B C M$ 是以 $B C$ 为底边的等腰三角形？若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．

(3)、如图2，以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为 $⊙ B$ 上的一个动点，连接 $A C$ ，求 $△ A C P$ 面积的最大值．

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2、已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 3 ， 0) ， B (1 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C (0 ， 3)$ ，其对称轴与 $x$ 轴交于点 $H$ ．

(1)、求抛物线的顶点坐标．

(2)、在抛物线的对称轴上是否存在点 $P$ ，使 $△ P H C$ 是等腰三角形？若存在，请求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

(3)、若 $M$ 是线段 $O A$ 上一动点（不与点 $O$ ， $A$ 重合），连接 $A C$ ，过点 $M$ 作 $D M ⊥ x$ 轴，交抛物线于点 $D$ ，交 $A C$ 于点 $E$ ，在点 $M$ 的运动过程中，是否存在线段 $D E = C E$ ？若存在，请求出点 $M$ 的横坐标；若不存在，请说明理由．

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3、如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与x轴只有一个交点B，对称轴是直线 $x = 1$ ，与y轴交于点 $A (0, - 1)$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、若P是对称轴右侧抛物线上的一动点，且满足 $S_{△ P A B} = 1$ ，求点P的坐标；

(3)、在y轴右侧抛物线上是否存在点M，得以M，A，B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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4、如图所示，一次函数 $y = x + 3$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点，连接 $O B$ ， $S_{△ B O D} = 3$ ．

(1)、求k的值．

(2)、x轴上是否存在一点E，使 $△ A B E$ 为等腰三角形?若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

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5、已知抛物线经过A（－1，0）、B（0、3）、 C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM ，交BC于点F .

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、求证：∠BOF＝∠BDF ：

(3)、是否存在点M使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长.

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6、如图，二次函数 $y = - x^{2} + b x + c$ 的图象与 $x$ 轴相交于点 $A$ 和点 $C (1, 0)$ ，交 $y$ 轴于点 $B (0, 3)$ ．

(1)、求此二次函数的解析式；

(2)、设二次函数图象的顶点为 $P$ ，对称轴与 $x$ 轴交于点 $Q$ ，求四边形 $A O B P$ 的面积（请在图1中探索）；

(3)、二次函数图象的对称轴上是否存在点 $M$ ，使得 $△ A M B$ 是以 $A B$ 为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由（请在图 $2$ 中探索）．

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7、在平面直角坐标系中，抛物线L₁：y＝ax²+2x+b与x轴交于两点A，B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．

(1)、求抛物线L₁的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标；

(2)、如图，连接BD，若点E在线段BD上运动（不与B，D重合），过点E作EF⊥x轴于点F，设EF＝m，问：当m为何值时，△BFE与△DEC的面积之和最小；

(3)、若将抛物线L₁绕点B旋转180°得抛物线L₂ ，其中C，D两点的对称点分别记作M，N．问：在抛物线L₂的对称轴上是否存在点P，使得以B，M，P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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8、定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C₁：y＝x²+2x﹣3与抛物线C₂：y＝ax²+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C₁和抛物线C₂与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．

(1)、求抛物线C₂的解析式和点G的坐标．

(2)、点M是x轴下方抛物线C₁上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C₂于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值．

(3)、如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

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9、如图，过原点O的直线与反比例函数 $y_{1} = \frac{k}{x}$ $(k \neq 0)$ 的图象交于 $A (1 ， 2)$ ， $B$ 两点，一次函数 $y_{2} = m x + b (m \neq 0)$ 的图象过点A与反比例函数交于另一点 $C (2 ， n)$ ．

(1)、求反比例函数的解析式；当 $y_{1} > y_{2}$ 时，根据图象直接写出x的取值范围；

(2)、在y轴上是否存在点 $M$ ，使得 $△ C O M$ 为等腰三角形？若存在，求出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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10、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (2, - 1)$ 在二次函数 $y = x^{2} - (2 m + 1) x + m$ 的图象上．

(1)、直接写出这个二次函数的解析式；

(2)、当 $n \leq x \leq 1$ 时，函数值的取值范围是 $- 1 \leq y \leq 4 - n$ ，求n的值；

(3)、将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ ，当 $x < 2$ 时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．

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11、一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为 $x (h)$ ，两车之间的距离为 $y (km)$ ，图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象进行以下探究：
信息读取：

(1)、甲、乙两地之间的距离为 $km$ ；

(2)、求慢车和快车的速度；

(3)、求线段 $B C$ 所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

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12、点A，B在半径为2的 $⊙ O$ 上， $∠ A O B = 120 °$ ， $A C ⊥ B O$ ，垂足为C． $∠ A C B$ 绕点C顺时针旋转，分别交 $⊙ O$ 于点M，N（均位于直线 $A B$ 上方），连接 $M N$ ．
（1）如图1，当 $∠ A C M = 180 °$ 时， $M N =$ ；
（2）如图2，当 $∠ A C N = ∠ B C N$ 时， $M N =$ ．

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13、给出一组数据：23，22，25，23，27，25，23，则这组数据的中位数是；方差是（精确到0.1）．

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14、2024年6月6日，嫦娥六号在距离地球约384000千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接，数据384000用科学记数法表示为．

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15、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，过点 $A$ 作 $A E ⊥ B C$ ， $A F ⊥ B D$ ， $A E = 2 A F$ ， $B D = \sqrt{2} A C$ ．记 $B E$ 长为 $x$ ， $B O$ 长为 $y$ $(x \neq 0 ， y \neq 0)$ ．当 $x$ ， $y$ 的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（）

A、 $x y$ B、 $\frac{y}{x}$ C、 $x^{2} - y^{2}$ D、 $x^{2} + y^{2}$

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16、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ $, A D, C D$ 分别与扇形 $B A F$ 相切于点 $A, E$ ．若 $A B = 15, B C = 17$ ，则 $A D$ 的长为（）

A、8 B、 $8.5$ C、 $5 \sqrt{3}$ D、9

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17、计算 ${(- 2 x y^{2})}^{3}$ 的结果是（）

A、 $- 6 x^{3} y^{6}$ B、 $- 6 x y^{6}$ C、 $- 8 x y^{6}$ D、 $- 8 x^{3} y^{6}$

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18、已知：如图，线段AC和BD相交于点G，连接AB，CD，E是CD上一点，F是DG上一点，FE∥CG，且∠1=∠A．

(1)、求证：AB∥DC；

(2)、若∠B=30°，∠1=62°，求∠EFG的度数．

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19、某校组织全校3000名学生进行了“新冠”防疫知识竞赛．为了解成绩的分布情况，随机抽取了部分学生的成绩（得分取整数，满分为100分），并绘制了如图所示的频数分布表和频数分布直方图．
抽取部分学生成绩的频率分布表
成绩分组
频数
频率
50.5～60.5
20
0.05
60.5～70.5
a
0.15
70.5～80.5
76
b
80.5～90.5
104
0.26
90.5～100.5
140
c
合计
d
1
根据所给信息，回答下列问题：

(1)、根据频数分布表填空：a= ， b+c= ，d= ；

(2)、补全频数分布直方图；

(3)、学校将对成绩在90.5～100.5分之间的学生进行奖励，估算出全校获奖学生的人数．

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20、计算 $\sqrt[3]{27} - | 2 - \sqrt{5} | - (1 - \sqrt{5}) + \sqrt{{(- 3)}^{2}}$ .

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成绩分组	频数	频率
50.5～60.5	20	0.05
60.5～70.5	a	0.15
70.5～80.5	76	b
80.5～90.5	104	0.26
90.5～100.5	140	c
合计	d	1