相关试卷

1、已知甲、乙两名运动员10次标枪的平均成绩相同，标枪落点如图所示，则方差 $s_{甲}^{2}$ $s_{乙}^{2}$ （填“ $>$ ”“ $<$ ”或“ $=$ ”）．

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2、在人教版八年级下册教材“实验与探究——丰富多彩的正方形”中，我们研究正方形的性质时用到了图①、图②两个图形，图②为大小不等的两个正方形如图排列，整个图形被切割为5部分，受这两个图形的启发，三个数学兴趣小组分别提出了以下问题，请你回答：

(1)、【问题一】“启智”小组提出问题：如图①，正方形 $A B C D$ 的对角线相交于点 $O$ ，点 $O$ 又是正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} O$ 的一个顶点， $O A_{1}$ 交 $A B$ 于点 $E$ ， $O C_{1}$ 交 $B C$ 于点 $F$ ，则 $A E$ 与 $B F$ 的数量关系为；

(2)、【问题二】受图①启发，“善思”小组继续探究，画出了图③：直线 $m$ 、 $n$ 经过正方形 $A B C D$ 的对称中心 $O$ ，直线 $m$ 分别与 $A D$ 、 $B C$ 交于点 $E$ 、 $F$ ，直线 $n$ 分别与 $A B 、 C D$ 交于点 $G 、 H$ ，且 $m ⊥ n$ ，若正方形 $A B C D$ 边长为10，求四边形 $O E A G$ 的面积；

(3)、【问题三】受图②启发，“智慧”小组继续探究，画出了图④：正方形 $C E F G$ 的顶点 $G$ 在正方形 $A B C D$ 的边 $C D$ 上，顶点 $E$ 在 $B C$ 的延长线上，且 $B C = 12$ ， $C E = 4$ ．在直线 $B E$ 上是否存在点 $P$ ，使 $△ A P F$ 为直角三角形？若存在，请直接写出 $B P$ 的长度；若不存在，说明理由．

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3、如图1，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，点O在边 $B C$ 上，以O为圆心 $B O$ 为半径作 $⊙ O$ ， $⊙ O$ 与射线 $B D$ 的另一个交点为E，直线 $C E$ 与射线 $A D$ 交于点F．

(1)、设 $B O = x$ ， $B E = y$ ，求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围；

(2)、如图2，连接 $A O$ ，当 $A O ∥ C E$ 时，请求出 $⊙ O$ 的半径；

(3)、如果射线 $E C$ 与 $⊙ O$ 的另一个交点为Q，连接 $O Q$ ，问是否存在 $△ C O Q$ 为直角三角形，若存在，请直接写出 $R t △ C O Q$ 的面积；若不存在，请说明理由．

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4、如图，在平面直角坐标系中，点 $A (- 1, 0)$ 、 $B (0, 3)$ 在抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 上，该抛物线的顶点为 $C$ ．点 $P$ 为该抛物线上一点，其横坐标为 $m$ ．

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、当 $B P ⊥ y$ 轴时，求 $△ B C P$ 的面积；

(3)、当该抛物线在点A与点P之间（包含点A和点P）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值时时，求出m的取值范围并写出这个定值；

(4)、在抛物线对称轴上是否存在一点E，使 $△ A B E$ 是以 $A B$ 为斜边的直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

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5、如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 过点 $(- 2, - 5)$ 和 $(2, 3)$ ．

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、已知该抛物线与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．
①若点P是该抛物线位于第一象限部分上的一动点，过点P作x轴的垂线交 $B C$ 于点Q，求 $P Q$ 的最大值及此时点P的坐标；
②若点M是抛物线对称轴上一动点，是否存在以点B，C，M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请在备用图上画出符合条件的图形，并求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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6、在平面直角坐标系中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线 $L_{1}$ ： $y = - \frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} x + 2$ 交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线 $L_{2}$ 与 $L_{1}$ 是“共根抛物线”，其顶点为P．

(1)、若抛物线 $L_{2}$ 经过点 $(1, - 5)$ ，求抛物线 $L_{2}$ 对应的函数关系式；

(2)、当 $△ B P C$ 的周长最小时，求抛物线 $L_{2}$ 对应的函数关系式；

(3)、是否存在以点A，C，P为顶点的三角形是以 $A C$ 为直角边的直角三角形？若存在，求出抛物线 $L_{2}$ 对应的函数关系式；若不存在，请说明理由．

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7、如图，一次函数 $y = k x + b$ 与反比例函数 $y = \frac{k_{1}}{x}$ 交于 $A (1, 4)$ 、 $B (4, m)$ 两点，延长 $A O$ 交反比例函图象于点 $C$ ，连接 $O B$ ．

(1)、求一次函数与反比例函数表达式．

(2)、求 $△ A O B$ 的面积．

(3)、在x轴上是否存在点P，使得 $△ P A C$ 是直角三角形？若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由．

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8、如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = x + b$ 与x轴的正半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点D，点B在x轴的正半轴上，四边形 $A B C D$ 是平行四边形，线段 $O A$ 的长是一元二次方程 $x^{2} - 4 x - 12 = 0$ 的一个根．请解答下列问题：

(1)、求点D的坐标；

(2)、若线段 $B C$ 的垂直平分线交直线 $A D$ 于点E，交x轴于点F，交 $B C$ 于点G，点E在第一象限， $A E = 3 \sqrt{2}$ ，连接 $B E$ ，求 $t a n ∠ A B E$ 的值；

(3)、在（2）的条件下，点M在直线 $D E$ 上，在x轴上是否存在点N，使以E、M、N为顶点的三角形是直角边比为1∶2的直角三角形？若存在，请直接写出 $△ E M N$ 的个数和其中两个点N的坐标；若不存在，请说明理由．

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9、同学们还记得吗？图①、图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：

(1)、【问题一】如图①，正方形 $A B C D$ 的对角线相交于点 $O$ ，点 $O$ 又是正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} O$ 的一个顶点， $O A_{1}$ 交 $A B$ 于点 $E$ ， $O C_{1}$ 交 $B C$ 于点 $F$ ，则 $A E$ 与 $B F$ 的数量关系为；

(2)、【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线 $m$ 、 $n$ 经过正方形 $A B C D$ 的对称中心 $O$ ，直线 $m$ 分别与 $A D$ 、 $B C$ 交于点 $E$ 、 $F$ ，直线 $n$ 分别与 $A B$ 、 $C D$ 交于点 $G$ 、 $H$ ，且 $m ⊥ n$ ，若正方形 $A B C D$ 边长为8，求四边形 $O E A G$ 的面积；

(3)、【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形 $C E F G$ 的顶点 $G$ 在正方形 $A B C D$ 的边 $C D$ 上，顶点 $E$ 在 $B C$ 的延长线上，且 $B C = 6$ ， $C E = 2$ ．在直线 $B E$ 上是否存在点 $P$ ，使 $△ A P F$ 为直角三角形？若存在，求出 $B P$ 的长度；若不存在，说明理由．

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10、如图1，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 10$ ， $A D = 8$ ， $E$ 是 $A D$ 边上的一点，连接 $C E$ ，将矩形 $A B C D$ 沿 $C E$ 折叠，顶点 $D$ 恰好落在 $A B$ 边上的点 $F$ 处，延长 $C E$ 交 $B A$ 的延长线于点 $G$ ．

(1)、求线段 $A E$ 的长；

(2)、求证四边形 $D G F C$ 为菱形；

(3)、如图2， $M$ ， $N$ 分别是线段 $C G$ ， $D G$ 上的动点（与端点不重合），且 $∠ D M N = ∠ D C M$ ，设 $D N = x$ ，是否存在这样的点 $N$ ，使 $△ D M N$ 是直角三角形？若存在，请求出 $x$ 的值；若不存在，请说明理由．

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11、如图，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 经过点 $B (4, 0)$ 和点 $C (0, 2)$ ，与 $x$ 轴的另一个交点为 $A$ ，连接 $A C$ 、 $B C$ ．

(1)、求抛物线的解析式及点 $A$ 的坐标；

(2)、如图1，若点 $D$ 是线段 $A C$ 的中点，连接 $B D$ ，在 $y$ 轴上是否存在点 $E$ ，使得 $△ B D E$ 是以 $B D$ 为斜边的直角三角形？若存在，请求出点 $E$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、如图2，点 $P$ 是第一象限内抛物线上的动点，过点 $P$ 作 $P Q ∥ y$ 轴，分别交 $B C$ 、 $x$ 轴于点 $M$ 、 $N$ ，当 $△ P M C$ 中有某个角的度数等于 $∠ O B C$ 度数的2倍时，请求出满足条件的点 $P$ 的横坐标．

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12、如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与x轴交于 $B (4, 0)$ ， $C (- 2, 0)$ 两点．与y轴交于点 $A (0, - 2)$ ．

(1)、求该抛物线的函数表达式；

(2)、若点P是直线 $A B$ 下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交 $A B$ 于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求 $\frac{1}{2} P K + P D$ 的最大值及此时点P的坐标；

(3)、在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得 $△ M A B$ 是以 $A B$ 为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．

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13、如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 5$ 与 $x$ 轴交于 $A, B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C, A B = 4$ ．抛物线的对称轴 $x = 3$ 与经过点 $A$ 的直线 $y = k x - 1$ 交于点 $D$ ，与 $x$ 轴交于点 $E$ ．

(1)、求直线 $A D$ 及抛物线的表达式；

(2)、在抛物线上是否存在点 $M$ ，使得 $△ A D M$ 是以 $A D$ 为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、以点 $B$ 为圆心，画半径为2的圆，点 $P$ 为 $⊙ B$ 上一个动点，请求出 $P C + \frac{1}{2} P A$ 的最小值．

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14、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = k x + b$ 与x轴交于点 $A (4, 0)$ ，与y轴交于点 $B (0, 2)$ ，与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 在第四象限内的图象交于点 $C (6, a)$ ．

(1)、求反比例函数的表达式：

(2)、当 $k x + b > \frac{m}{x}$ 时，直接写出x的取值范围；

(3)、在双曲线 $y = \frac{m}{x}$ 上是否存在点P，使 $△ A B P$ 是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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15、如图，已知直线y=kx-6经过点A（1，-4），与x轴相交于点B，若点Q是轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标.

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16、如图所示，在△ABC中，AB=AC=10，cos∠B= $\frac{4}{5}$ ， D、E为线段BC上的两个动点，且DE=3（E在D的右边），运动初始时D与B重合，当E与C重合时运动停止，过点E作EF∥AC交AB于F，连接DF，设BD=x，如果△BDF为直角三角形，求x的值.

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17、如图，已知抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ （b，c是常数）与x轴交于 $A (1 ， 0)$ ， $B (- 3 ， 0)$ 两点，顶点为C，点P为线段 $A B$ 上的动点（不与A、B重合），过P作 $P Q ∥ B C$ 交抛物线于点Q，交 $A C$ 于点D．

(1)、求该抛物线的表达式；

(2)、求 $△ C P D$ 面积的最大值；

(3)、连接 $C Q$ ，当 $C Q ⊥ P Q$ 时，求点Q的坐标；

(4)、点P在运动过程中，是否存在以A、O、D为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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18、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 4$ ，动点P从点D出发沿 $D A$ 向终点A运动同时动点Q从点A出发沿对角线 $A C$ 向终点C运动．过点P作 $P E ∥ D C$ ，交 $A C$ 于点E，动点P、Q的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为x秒，当点Q与点E重合时，P、Q两点同时停止运动．设 $S_{△ P Q E} = y$ ；

(1)、当x为何值时，点Q与点E重合？

(2)、当x为何值时， $P Q ∥ B E$ ．

(3)、当点Q与点E不重合时，求y关于x的函数关系式（不用写出x的取值范围）．

(4)、是否存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．

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19、如图，已知矩形 $A B C D$ ， $A B = 6$ $c m$ ， $C B = 8$ $c m$ ，点F为 $C D$ 中点．点P从点D出发，沿 $D A$ 方向匀速向点A运动，点E从点C出发，沿 $C A$ 方向匀速向点A运动，点P、E的运动速度均为1 $c m / s$ ；当点P、E中有一点停止运动时，另一点也停止运动．连接 $P E$ 、 $P F$ ．设运动时间为 $t$ $(s)$ $(0 < t < 8)$ ，解答下列问题：

(1)、当点P在 $∠ A B D$ 的平分线上时，求t的值；

(2)、设 $Δ P E F$ 的面积为y $(c m^{2})$ ，求y与t之间的函数关系式；

(3)、连接 $D E$ ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得 $Δ C D E$ 是等腰三角形．若存在，请求出t，若不存在，请说明理由．

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20、如图1， $△ A B C$ 是一张等腰三角形纸片， $A B = A C$ ，小明用该等腰三角形纸片进行折纸探究活动．将 $△ A B C$ 沿过点B所在直线折叠，使得 $△ A B D$ 翻折至 $△ B D E$ 处，折痕为 $B D ， B E$ 交 $A C$ 于点F．
操作发现：经过若干次操作尝试，小明发现折叠后的 $D E$ 可以与 $B C$ 平行，如图2；
质疑探究：是否存在一种等腰三角形纸片使得 $D E$ 与 $B C$ 既平行又相等，小明运用所学过的数学知识通过探究发现这样的等腰三角形是存在的，如图3．

(1)、请在操作发现的情形下，证明： $B C^{2} = C F \cdot A C$ ；

(2)、请在质疑探究的情形下，求 $c o s ∠ A B C$ 的值．

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