相关试卷

1、【综合与实践】怎样才能命中篮筐
活动背景：学校组织班级间篮球比赛，九年级2班小斌发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮图片（图1），并测量相应的数据进行研究．
模型建立：如图2所示，以小斌的起跳点 $O$ 为坐标原点，水平方向为 $x$ 轴，竖直方向为 $y$ 轴建立平面直角坐标系：篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分．
信息整理：
素材1：篮球（P）出手时离地面的高度为 $c$ 米，篮筐中心离地面的高度 $A B = 3$ 米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离 $O B = m$ 米，篮球距地面的最大高度 $C D = h$ 米，此时离篮球出手位置的水平距离 $O D = a$ 米．
素材2：由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（ $n$ 米）满足 $2.95 \leq n \leq 3.10$ 时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，小斌在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变．
解决问题：在初次投篮时，数学兴趣小组同学测得相关数据为： $c = 2.2$ 米， $m = 6$ 米， $h = 4$ 米， $a = 3$ 米．

(1)、小斌初次投篮时能否命中篮筐，请说明理由：

(2)、再次投篮时，小斌在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮，若保持初次投篮时的出手高度，小斌此次_____命中篮筐（填写：“能”或“不能”）？若能请说明理由；若不能，那么要想命中篮筐，则 $c$ 的取值范围是多少？

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2、如图，在 $▱ A B C D$ 中，点E在 $A D$ 的延长线上， $B E$ 与 $C D$ 交于点F．

(1)、求证： $△ A B E ∽ △ C F B$ ；

(2)、若 $△ D E F$ 的面积为4， $\frac{D F}{C F} = \frac{2}{3}$ ，求 $△ A B E$ 的面积．

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3、第十五届全运会开幕式上，吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”以活泼可爱的形象亮相，成为全场焦点．如图，现有三张正面分别印有“喜洋洋”、“乐融融”和“全运会会徽”图案的不透明卡片A、B、C，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片正面向下洗匀，小明从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．用画树状图（或列表）的方法，求小明抽出的两张卡片图案不同的概率．

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4、解方程、计算．

(1)、 $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ ；

(2)、 $|1 + \tan 60 °| - 2 \cos 30 ° + {(\frac{1}{2})}^{- 1}$ ．

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5、如图，在边长为1的正方形 $A B C D$ 中，E为 $B C$ 边上一动点（点E，B不重合），以 $A E$ 为直角边在直线 $B C$ 上方作等腰直角三角形 $A E F$ ， $∠ A E F = 90 °$ ，连接 $D F$ ，则在点E的运动过程中， $△ A D F$ 周长的最小值是．

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6、如图，一个小球由地面沿着坡度i=1：3的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为m.　　　　

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7、下列方程是一元二次方程的是（）

A、 $3 x (x - 4) = 0$ B、 $x + y - 5 = 0$ C、 $\frac{1}{x^{2}} + 2 x = 0$ D、 $4 x - 9 = 0$

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8、如图所示，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，点 $P$ 为线段 $A D$ 上的一个动点， $P E$ 交 $B C$ 的延长线于点 $E$ ．若 $∠ B = 35 °$ ， $∠ A C B = 85 °$ ， $∠ E = 25 °$ ，求证： $△ D P E$ 为直角三角形．

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9、仔细观察下列四个等式： $2^{2} = 1 + 1^{2} + 2$ ， $3^{2} = 2 + 2^{2} + 3$ ， $4^{2} = 3 + 3^{2} + 4$ ， $5^{2} = 4 + 4^{2} + 5$ ， …．

(1)、请写出第六个等式；

(2)、利用这几个等式的规律，归纳总结出一个表达此规律的等式；

(3)、将表示上述规律的等式的右边认真整理，你会发现什么？

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10、下面是三位同学学完分式后所做的三道题，请判断他们的解答是否正确，若不正确，给予改正．
甲：a为何值时，分式 $\frac{a^{2} + 6 a + 9}{a^{2} - 9}$ 有意义？
解：∵原式＝ $\frac{a + 3}{a - 3}$ ，
∴当 $a \neq 3$ 时，分式有意义．
乙：式子 $\frac{x^{2} - 4 x + 4}{x - 2}$ 是分式还是整式？
解：∵原式 $= x - 2$ ，故 $\frac{x^{2} - 4 x + 4}{x - 2}$ 是整式．
丙：化简分式 $\frac{x^{2} - 2 x + 1}{1 - x^{2}}$ ．
解： $\frac{x^{2} - 2 x + 1}{1 - x^{2}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{x - 1}{x + 1}$ ．

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11、计算：

(1)、 ${(- x)}^{5} \cdot x^{2} \cdot {(- x)}^{4}$ ；

(2)、 $- a^{2} \cdot {(- a)}^{4} \cdot {(- a)}^{3}$ ；

(3)、 $- m^{4} \cdot m^{6} \cdot {(- m)}^{8}$ ；

(4)、 $- {(- p)}^{5} \cdot {(- p)}^{3} \cdot {(- p)}^{2}$ ．

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12、计算： ${(- a)}^{8} \div {(- a)}^{3} =$ ， ${(a + b)}^{6} \div {(a + b)}^{2} =$ ．

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13、如图， $△ A B C ≌ △ D E F$ ， $∠ B = ∠ D E F = 90 °$ ，点B，E，C，F在一条直线上．已知 $A B = 10, D O = 4, B F = 20, B E = 6$ ，则 $△ O E C$ 的面积为（　　）

A、24 B、26 C、32 D、48

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14、如图，边长为9的正方形 $A B C D$ 中放置两个长和宽分别为a， $b$ （ $a < 9$ ， $b < 9$ ）的长方形，若长方形的周长为24，面积为35.75，则图中阴影部分的面积 $S_{1} + S_{2} + S_{3}$ 为（）

A、18.5 B、21.5 C、27.5 D、35.5

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15、 $△ A B C$ 如图所示，甲、乙两个三角形中能用“ $SAS$ ”证明和 $△ A B C$ 全等的是（　　）

A、只有甲 B、只有乙 C、甲和乙 D、都不是

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16、对于线段 $A B$ 与点 $M$ （点 $M$ 不在线段 $A B$ 上）给出如下定义：点 $N$ 为线段 $A B$ 上任意一点，如果线段 $M N$ 的长度有最小值，那么称这个最小值为点 $M$ 与线段 $A B$ 的“劣距”，记作 $d_{1} [点 M, 线段 A B]$ ；如果线段 $M N$ 的长度有最大值，那么称这个最大值为点 $M$ 与线段 $A B$ 的“优距”，记作 $d_{2} [点 M, 线段 A B]$ ．
如图， $△ A B C$ 中， $∠ C A B = 45 °$ ， $A C = \sqrt{2}$ ， $A B = 3$ ．

(1)、 $d_{1} [点 C, 线段 A B] =$ ， $d_{2} [点 C, 线段 A B] =$ ；

(2)、点 $B$ 关于直线 $A C$ 的对称点为 $B^{'}$ ，连接 $A B^{'}$ ．若点 $P$ 在线段 $A B^{'}$ 上，且 $d_{2} [点 P, 线段 A B$ ]是 $d_{1}$ [点 $P$ ，线段 $A B$ ]的2倍，直接写出线段 $A P$ 的长度；

(3)、过点 $C$ 作 $E F ∥ A B$ ．若点 $M$ 在直线 $E F$ 上， $d_{1} [点 M, 线段 A B] < \sqrt{2}$ ，直接写出 $d_{2} [点 M, 线段 A B]$ 的取值范围．

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17、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 60 °$ ，射线 $A M$ 交边 $B C$ 于点 $M$ ，且 $∠ B A M = 30 °$ ，点 $B$ 关于直线 $A M$ 的对称点为点 $D$ ，连接 $A D$ 交 $B C$ 于点 $E$ ，连接 $B D$ ， $C D$ ．

(1)、依题意补全图形；

(2)、证明： $∠ C A D = ∠ C B D$ ；

(3)、用等式表示 $C A$ ， $C B$ 和 $C D$ 的数量关系，并证明．

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18、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 于点 $D$ ， $D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ．

(1)、求证： $△ A C D ≌ △ A E D$ ；

(2)、求 $C D$ 的长．

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19、《千里江山图》是北宋王希孟创作的绢本设色画，现收藏于北京故宫博物院．如图是小山同学所画的一幅长方形的局部临摹作品，装裱前作品长为 $120 c m$ ，宽为 $60 c m$ ，将其四周装裱上边衬后，整幅作品长与宽的比是 $5 : 3$ ，且四周边衬的宽度相等，求边衬的宽度．

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20、下面是证明在直角三角形中，如果一个锐角等于 $30 °$ ，那么它所对的直角边等于斜边的一半的两种添加辅助线的方法．选择其中一种，完成证明．
在直角三角形中，如果一个锐角等于 $30 °$ ，那么它所对的直角边等于斜边的一半．已知：如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B A C = 30 °$ ．求证： $B C = \frac{1}{2} A B$ ．
方法一证明：如图，延长 $B C$ 到点 $D$ ，使 $C D = B C$ ，连接 $A D$ ．
方法二证明：如图，在 $A B$ 上截取 $B D = B C$ ，连接 $C D$ ．

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