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1、对于点 P 和⊙C，若存在以点 P 为中点且长度为2 的线段 MN与⊙C 有两个不同的公共点，则称点 P是⊙C的关联点，且两个公共点间距离的最大值是点 P关于⊙C 的关联值.
在平面直角坐标系xOy中，

(1)、若⊙O的半径为1，则在点A (1， 0)， B(0， $\sqrt{3}$ )， C (2， 3) 中，点是⊙O的关联点，其关联值是；

(2)、若⊙O的半径为 $\sqrt{3}$ ，直线l₁ y=x+m(m≥0)，点T为l上一点，
①当m=0时，若点 T是⊙O 的关联点，则点T的横坐标1(t>0)的取值范围是；
②若直线 l 上存在长度为 l 的线段 EF，使得EF 上的所有点都是⊙O 的关联点，且关联值均不超过1，直接写出m的取值范围.

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2、在△ABC中， ∠BAC=90°， AB=AC，点D 是边BC上一点，点E在 CB的延长线上，且BE=BD.将射线AE 绕点A 逆时针旋转45°得到射线AM，作 $E F ⟂ A M,$ 垂足为F，连接AD， BF.

(1)、如图1，当BD=BA时，求∠BEF的度数；

(2)、如图2，用等式表示线段AD与BF的数量关系，并证明.

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3、在平面直角坐标系 xOy 中，点A(x₁ ， y₁)， B(x₂ ， y₂)是抛物线 $y = a x^{2} - 4 a x + c (a \neq 0)$ 上两个不同的点.

(1)、当. $y_{1} = y_{2} = c$ 时，求. $x_{1} + x_{2}$ 的值；

(2)、若对于 $a < x_{1} < a + 2, a + 2 < x_{2} < a + 3,$ 都有 $y_{1} < y_{2},$ 求a的取值范围.

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4、如图1，为了丰富学生的课余生活，某校九年级组织开展跳长绳活动.如图2，假设两名摇绳的学生握绳的手A，B之间的水平距离为10m，当手A，B与地面的距离均为1m时，绳子的最高点C与地面的距离为2m ，此时绳子的形状可以看作是抛物线的一部分.建立平面直角坐标系xOy，设该抛物线表示的二次函数为. $y = a {(x - h)}^{2} + k (a < 0) .$ 当摇绳两端握绳的手同时向上平移时，绳子整体也相应向上平移且形状不变.

(1)、求该抛物线表示的二次函数 $y = a {(x - h)}^{2} + k (a < 0);$

(2)、如果参加跳长绳活动的学生身高均为1.75m，且相邻学生站位间隔均为0.6m，除摇绳的学生外，求最多有多少名学生能同时参加跳长绳活动；

(3)、由于还有1名学生没能同时参加跳长绳活动，在(2)的情况下，若加入这名学生，在不改变摇绳的学生手 A，B之间的水平距离和绳长的情况下，只需将手 A，B同时向上平移 hm，直接写出h的最小值 (精确到0.01).

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5、如图，AB为⊙O的直径，点D 为弦BC的中点，连接OD 并延长交⊙O于点E，过点B作⊙O的切线交AE的延长线于点 F.记AE 与BC的交点为G.

(1)、求证： ∠BOE=∠CBF；

(2)、若点 G为CD的中点， ⊙O的半径为3，求BF的长.

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6、如图，将 $△ A B C$ 绕点 B 顺时针旋转60°得到 $△ D B E,$ ，且满足点A，C，D在同一条直线上.连接CE交BD于点 P，F是EC延长线上一点，连接DF.

(1)、求∠ADE的度数；

(2)、若∠CDF=∠CBD，求证： DF=PF.

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7、已知关于x的一元二次方程 $m x^{2} - (3 m - 3) x + 2 m - 3 = 0 (m \neq 0) .$

(1)、求证：方程总有两个实数根；

(2)、若m是正整数，方程的两个实数根都是整数，求m的值.

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8、如图， AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB 于点 E.若 $B E = 7, C D = 4 \sqrt{7},$ 求⊙O的半径.

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9、不透明的箱子中有5件同型号的产品，其中3件是一等品，2件是二等品.将3件一等品分别记为A，B，C；2件二等品分别记为D，E.

(1)、从这个箱子中随机抽取1件进行检测，不放回，再随机抽取1件进行检测.请用列举法求两次抽到的产品都是一等品的概率；

(2)、向这个箱子中加入若干件同型号的一等品，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回.大量重复这个试验，若发现抽到的产品是一等品的频率稳定在0.9，求加入的一等品约为多少件.

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10、已知二次函数 $y = x^{2} + 4 x + 3 .$

(1)、将 $y = x^{2} + 4 x + 3$ 化成 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 的形式；

(2)、在平面直角坐标系中画出此函数的图象；

(3)、当-3≤x<0时，结合图象，直接写出y的取值范围.

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11、已知：如图1，点B是∠MAN的边AM上一点.
求作： ⊙O，使得⊙O与∠MAN的两边AM， AN相切，且点B在⊙O上.
作法：如图2，
①过点 B 作 BH⊥AM，交AN于点 H；
②作∠MAN的平分线 AD，交BH 于点O；
③以点O为圆心，OB的长为半径作圆.
则⊙O即为所求作的圆.
根据上面设计的尺规作图过程，

(1)、使用直尺和圆规，依作法在图2中补全图形(保留作图痕迹)；

(2)、完成下面的证明.
证明：作OC⊥AN于点 C.
∵ OB⊥AM于点B， OB 是⊙O的半径，
∴ AM是⊙O的切线 ()(填推理的依据) .
∵ AD平分∠MAN， OB⊥AM， OC⊥AN，
∴ =.
∴ OC 是⊙O的半径.
∴ 是⊙O 的切线.
∴ ⊙O与∠MAN的两边AM和AN相切，且点B 在⊙O 上.

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12、解方程： $x^{2} - 2 x - 6 = 0 .$

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13、在平面直角坐标系xOy中，抛物线. $y = a x^{2} + b x + c (a⟩ 0)$ 经过点O 和点A(-3，-3a)，下面有四个结论：
①b=4a；
②a+b+c<0；
③若点(1，m)在该抛物线上，则方程 $a x^{2} + b x + c - m = 0$ 的两个根为 $x_{1} = 1, x_{2} = - 5;$
④过点T(t， 0)(t>-3) 作x轴的垂线，交该抛物线于点B，交直线y= ax于点C，若线段BC的长度随t的增大而减小，则t的取值范围是 $- \frac{3}{2} \leq t < 0 .$
其中所有正确结论的序号是.

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14、如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l： $y = x + \sqrt{5}$ 与x轴交于点A.将直线l绕点A逆时针旋转15°得到直线l₁ ，设直线l₁与y轴的交点为B，则AB=.

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15、已知二次函数满足条件：①图象过点 (0，3)；②当x≤0时，y随x的增大而增大，写出一个满足上述所有条件的二次函数的解析式.

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16、如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为4的正六边形ABCDEF的中心为点O，顶点F，C在x轴上，顶点E的坐标是.

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17、若一个扇形的圆心角是50°，半径为1，则它的弧长是.

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18、已知⊙O的半径为3，若点P在⊙O内，则OP3 (填“<”“>”“=”).

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19、方程 $x^{2} - 8 x = 0$ 的解是.

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20、在平面直角坐标系xOy中，点(4，-3)关于原点的对称点是.

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