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1、在 $△ A B C$ 中， $A B = B C$ ，点 $D$ 在边 $A C$ 上，连接 $B D$ ，将 $B D$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $α (0 ° < α < 180 °)$ 得线段 $B E$ ．

(1)、如图1，若 $α = ∠ A B C$ ，连接 $A E$ ，求证： $∠ E + ∠ A D B = 180 °$ ；

(2)、如图2，若 $α + ∠ A B C = 180 °$ ，连接 $C E$ ，作 $△ B C E$ 的中线 $B M$ ，用等式表示线段 $B M$ ， $A C$ ， $C D$ 之间的数量关系，并证明你的结论；

(3)、如图3，在（2）的条件下，若 $∠ A B C = 120 °$ ， $A C = 6$ ， $∠ D B M = 15 °$ ，求 $B M$ 的长．

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2、小亮在学习了《光的反射定律》后，知道入射光线经过反射后形成反射光线．如图1， $O N$ 是法线，垂直于反射面，其中入射角等于反射角．同时，他还发现可以用一次函数的图象来刻画光线的反射．如图2，一次函数 $y = - x + 3 (0 \leq x \leq 3)$ 与 $y = x - 3 (x \geq 3)$ 构成的图象，可看作从 $y$ 轴上点 $P (0, 3)$ 发出的一束光经 $x$ 轴上的点 $M (3, 0)$ 反射后得到的图象．小亮把这样的能刻画光线反射的函数图象称为一组“反射函数线”．如图3，从 $y$ 轴上点 $P (0, 4)$ 发出一束光线，经过 $x$ 轴上一点 $M (m, 0)$ 反射后形成的“反射函数线”．若反射光线过点 $Q (5, 6)$ ，则点 $M$ 的坐标为；若 $(2, y_{1})$ ， $(3, y_{2})$ ， $(5, y_{3})$ 均为“反射函数线”上的点，且 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ ，则 $m$ 的取值范围是．

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3、若 $α$ ， $β$ 是方程 $x^{2} + 2 x - 1 = 0$ 的两个实数根，则 $α^{2} - α - 3 β$ 的值为．

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4、化简并求值： $（ \frac{3 x}{x + 1} - \frac{x}{x - 1} ） \div \frac{x - 2}{x^{2} - 1}$ ， $x$ ＝3时求值．

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5、计算：

(1)、分解因式： $x^{2} (3 x - 2) + (2 - 3 x)$ ；

(2)、解不等式组： $\{\begin{array}{l} \frac{2 x - 1}{3} - \frac{5 x + 1}{2} \leq 1 \\ 5 x - 1 < 3 (x + 1) \end{array}$

(3)、解方程：
① $x^{2} + 2 x - 4 = 0$ ；
② $x (x - 3) = 2 x - 6$ ；
③ $3 x^{2} + 2 x - 2 = 0$ ；
④ $\frac{1}{10} x^{2} + \frac{1}{6} x = \frac{1}{15}$ ．

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6、若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程 $x^{2} + 3 x - 5 = 0$ 两根，则 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$ 的值为．

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7、如图，在正五边形 $A B C D E$ ，以 $A B$ 为一边，在内部作正方形 $A B M N$ ，则 $∠ E A N =$ ．

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8、若代数式 $\frac{\sqrt{x}}{2 x - 3}$ 有意义，则x的取值范围是．

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9、如图，长为 $20 m$ 、宽为 $15 m$ 的矩形空地，现计划要在中间修建3条等宽的小道，其余面积种植绿植，种植面积为 $252 m^{2}$ ，若设小道的宽为 $x m$ ，则根据题意，可列方程为（）

A、 $x^{2} + 20 \times 15 - 2 x = 252$ B、 $20 \times 15 - 20 x - 2 \times 15 x = 252$ C、 $(20 - x) (15 - 2 x) = 252$ D、 $(20 - 2 x) (15 - x) = 252$

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10、下列因式分解正确的是（）

A、 $3 a x^{2} - 6 a x = 3 a x (x + 2)$ B、 $- x^{2} + y^{2} = (- x + y) (- x - y)$ C、 $a^{2} + 2 a b + 4 b^{2} = {(a + 2 b)}^{2}$ D、 $- a x^{2} + 2 a x - a = - a {(x - 1)}^{2}$

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11、下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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12、下列长度的线段中，能与 $3 cm$ 和 $5 cm$ 的线段围成三角形的是（）

A、 $8 cm$ B、 $7 cm$ C、 $2 cm$ D、 $1 cm$

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13、如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、EQ．
（1）求证：四边形BPEQ是菱形；
（2）若AB=6，F为AB的中点，OF =4，求菱形BPEQ的周长．

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14、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BO＝DO，点E、F分别在AO，CO上，且BE∥DF，AE＝CF．求证：四边形ABCD为平行四边形．

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15、如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点的坐标分别为 $A (- 4, 1), B (- 1, - 1), C (- 3, 3)$ （每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．将 $△ A B C$ 先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ （点 $A, B, C$ 的对应点分别为点 $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ ）．

(1)、直接写出点 $B_{1}, C_{1}$ 的坐标

(2)、求出 $△ A B C$ 的面积．

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16、如图，一次函数 $y = - 2 x + 4$ 与 $y = k x + b (k \neq 0)$ 的图象交于点 $P$ ，则关于 $x$ 的不等式 $- 2 x + 4 > k x + b$ 的解集是．

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17、在平面直角坐标系下，将点 $P (- 2, 3)$ 向上平移3个单位，对应的点为 $T$ ，点 $T$ 与点 $Q$ 关于原点对称，则点 $Q$ 的坐标为．

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18、如图，数轴上的点 $A$ 表示的数是 $- 2$ ，点 $D$ 表示的数是1， $C B ⊥ A D$ 于点 $B$ ，以点 $A$ 为圆心， $A D$ 长为半径画弧，交 $B C$ 于点 $C$ ， $B C = 1$ ，则数轴上点 $B$ 表示的数是．

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19、如图所示，有一根高为18米的松树（垂直于地面）在A处断裂，松树顶部落在地面C处，通过测量可知 $∠ A C B = 30 °$ ，则松树断裂处A离地面的距离 $A B$ 的长为米．

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20、如图，等边 $△ O A B$ 的顶点 $O$ 在原点，顶点 $B$ 在 $x$ 轴的正半轴上，点 $A (2, 2 \sqrt{3})$ ，有一瓢虫从点 $O$ 出发以每秒 $4$ 个单位长度的速度沿 $O \to A \to B \to O$ 循环爬行，则第 $2023$ 秒瓢虫所在位置的坐标是（）

A、 $(0, 0)$ B、 $(4, 0)$ C、 $(2 \sqrt{3}, 2)$ D、 $(2, 2 \sqrt{3})$

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