相关试卷

1、下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线 $P Q$ ，使得 $P Q ∥ l$ ．
作法：如图，
①过点P作直线m与直线l交于点A，在l上取一点B，使得点B在点A的右侧；
②以点A为圆心，适当长为半径作弧，交射线 $A P$ 于点C，交射线 $A B$ 于点D，分别以点C，D为圆心，大于 $\frac{1}{2} C D$ 的长为半径作弧，两弧在 $∠ P A B$ 的内部相交于点E，作射线 $A E$ ；
③以点P为圆心， $P A$ 为半径作弧，交射线 $A E$ 于点Q（不与点A重合），作直线 $P Q$ ．所以直线 $P Q$ 就是所求作的直线．
根据小明设计的尺规作图过程，

(1)、使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

(2)、完成下面的证明．
证明：连接 $C E, D E$ ．
在 $△ C A E$ 和 $△ D A E$ 中，
$\{\begin{matrix} A C = A D \\ A E = A E \\ ____=____ \end{matrix}$
$∴ △ C A E ≌ △ D A E (SSS)$ ．
$∴ ∠ C A E = ∠ D A E$ ．
$∵ P A = P Q$ ，
$∴ ∠ C A E =$ ________（________）（填推理的依据）．
$∴ ∠ D A E =$ ________．
$∴ P Q ∥ l$ ．

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2、如图所示的网格是正方形网格，A，B，C是网格线交点．

(1)、建立平面直角坐标系 $x O y$ ，使点A，B的坐标分别为 $(- 2, 0)$ ， $(2, 0)$ ；

(2)、在（1）建立的平面直角坐标系 $x O y$ 中，
①点 $C_{1}$ 与点C关于y轴对称，写出点 $C_{1}$ 的坐标；
②若A，B，C，D四点构成一个轴对称图形，直接写出满足条件的点D的个数．

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3、2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，我国于9月3日在天安门广场阅兵，56门礼炮，80响轰鸣，寓意着56个民族共同抗击日本侵略者进行了艰苦卓绝的斗争．下图①是礼炮图片，图②是礼炮抽象示意图，已知 $E F$ 是水平线， $A B = 2.4 m$ ， $E D = 2.1 m$ ， $A B$ ， $D E$ 的仰角分别是 $30 °$ 和 $10 °$ ， $B C = 0.7 m$ ， $C D = 0.812 m$ ，且 $C D ⊥ E F$ ．
（以上结果精确到 $0.1 m$ ．参考数据： $\sin 10 ° \approx 0.17$ ， $\cos 10 ° \approx 0.98$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ．）

(1)、求点A的铅直高度；

(2)、求A，E两点的水平距离．

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4、在科技嘉年华上，一台宇树机器人为观众表演舞蹈．研究人员发现，机器人跳舞时其膝盖处的关节运动轨迹近似一条抛物线．假设机器人单腿抬起时，其膝盖相对于脚踝的竖直高度h（单位：厘米）与时间t（单位：秒）满足二次函数关系．研究人员测得三个时刻的高度：在 $t = 0$ 秒时膝盖高度为0厘米（脚踝处），在 $t = 1$ 秒时高度为32厘米，在 $t = 2$ 秒时高度为0厘米．

(1)、求高度h与时间t之间的函数关系式；

(2)、求膝盖能达到的最大高度及对应的时间；

(3)、若研究人员设定机器人需要在高度等于24厘米时触发一次“庆祝成功”的闪光，问在膝盖上升和下降过程中，分别在哪两个时刻触发闪光？这两个时刻的时间间隔是多少？

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5、已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为 $(3, 1)$ ， $(2, - 1)$ ．

(1)、画出 $△ O A B$ 绕点O顺时针旋转 $90 °$ 后得到的 $△ O A_{1} B_{1}$ ，并写出 $A_{1}$ 的坐标为______；

(2)、在y轴的左侧以O为位似中心作 $△ O A B$ 的位似图形 $△ O A_{2} B_{2}$ ，使新图与原图相似比为 $2 : 1$ ；

(3)、若点 $D (a, b)$ 在线段OA上，直接写出变化后点D的对应点 $D_{2}$ 的坐标为______．

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6、（1）如图，D、E是 $△ A B C$ 的边 $A C 、 A B$ 上的点，且 $A D \cdot A C = A E \cdot A B$ ，求证： $∠ A D E = ∠ B$ ．
（2）已知二次函数 $y = - 2 {(x - 2)}^{2} + 2$ ，求抛物线的顶点坐标和对称轴；当x取何值时，函数y等于0．

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7、已知： $\frac{a}{4} = \frac{b}{5} = \frac{c}{6} \neq 0$ ，求 $\frac{a + b}{c}$ 的值．

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8、某校开放周筹备期间，小杨接到一项任务：将一批纪念徽章分发给志愿者．他们发现，每天分发的数量与分发天数成反比例关系．已知如果每天分发50枚，则恰好按计划天数完成；如果每天分发75枚，则可以提前2天完成．则每天分发数量y（枚）与分发天数x（天）之间的函数关系式为

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9、 $tan 45 °$ 的值等于

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10、如图， $△ A B C$ 是面积为1的等边三角形，分别取 $A C ， B C ， A B$ 的中点得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；再分别取 $A_{1} C$ ， $B_{1} C$ ， $A_{1} B_{1}$ 的中点得到 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；…依此类推，则 $△ A_{n} B_{n} C_{n}$ 的面积为（）

A、 ${(\frac{1}{2})}^{n + 1}$ B、 ${(\frac{1}{3})}^{n}$ C、 ${(\frac{1}{4})}^{n}$ D、 ${(\frac{1}{4})}^{n - 1}$

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11、如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，若AD：BD=2：1，点G在DE上，DG：GE=1：2，连接BG并延长交AC于点F，则AF：EF等于（　　）

A、1：1 B、4：3 C、3：2 D、2：3

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12、如图①，是折叠状态下的可折叠圆桌，将其展开就是一个直径为 $1$ 米的圆形桌面，其示意图如图②所示， $A B$ 、 $C D$ 为可折叠部分， $A B = C D$ ，在劣弧 $C D$ 上取一点 $E$ ，连接 $B E$ 、 $A E$ ，用量角器测得 $∠ A E B =$ $60 °$ ，则 $C D$ 的长为（）

A、 $\sqrt{3}$ 米 B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 米 C、 $\frac{3}{4}$ 米 D、 $\frac{2}{3}$ 米

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13、无人机送快递是一种创新的配送方式，这种方式快速、灵活，能轻松到达偏远山区、海岛等交通不便地区，既扩大了快递服务范围，也能避开地面交通拥堵．某天，身高（ $A B$ ） $1.8 m$ 的小王站在阳光下等待无人机送货过来，此时他的影长（ $A C$ ）为 $2 m$ ，无人机的影长（ $A E$ ）为 $1 0m$ ．请问此时无人机高度（ $A D$ ）是（）

A、 $8.5 m$ B、 $8 m$ C、 $9.5 m$ D、 $9 m$

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14、二次函数 $y = a x^{2} + a x + c^{2} + 1$ （a，c为常数，且 $a \neq 0$ ）的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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15、如图，等边三角形 $A B C$ 的内切圆 $⊙ O$ 的半径为2，则 $△ A B C$ 的边长为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、4 C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $6 \sqrt{3}$

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16、将抛物线 $y = - 2 x^{2}$ 平移后得到抛物线 $y = - 2 {(x - 1)}^{2} - 1$ ，则下列平移方法正确的是（）

A、左移1个单位长度，再上移1个单位长度 B、左移1个单位长度，再下移1个单位长度 C、右移1个单位长度，再上移1个单位长度 D、右移1个单位长度，再下移1个单位长度

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17、反比例函数 $y = - \frac{12}{x}$ 的图象一定经过的点是（）

A、 $(2, 6)$ B、 $(4, - 3)$ C、 $(- 3, - 4)$ D、 $(- 6, - 2)$

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18、在下列新能源汽车的车标中，不是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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19、【定义新知】
定义：若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．
【问题提出】

（1）如图1，若 $△ A B C$ 是比例三角形，且 $A C^{2} = A B \cdot B C$ ， $A B = 2$ ， $B C = 3$ ，则 $A C$ 的长为；
（2）如图2，在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ，对角线 $B D$ 平分 $∠ A B C$ ， $∠ B A C = ∠ A D C$ ．求证： $△ A B C$ 是比例三角形；
【问题解决】
（3）如图3，李师傅有一块形如矩形 $E B C D$ 的钢板，现要从钢板上切割出一个 $△ A B C$ 部件，其中点A在边 $D E$ 上，连接 $B D$ ，且 $∠ B A C = 90 °$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ，需要知道 $B D$ 与 $A C$ 之间的比例关系，请你帮助李师傅求出 $\frac{B D}{A C}$ 的值．

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20、某游乐场将修建一款大型过山车，如图1为这款过山车的一部分轨道平面设计图，左半部分可近似的看成抛物线，为使轨道稳固，共修建了纵横交错的5条支撑杆，A、E、C、F、B都在抛物线上，其中纵杆 $E H 、 C O 、 F G$ 均垂直于地面 $G H$ ，横杆 $E F 、 A B$ 均平行于地面 $G H$ ，过最高点C的主支撑杆 $O C = 32.5$ 米，横杆 $A B = 30$ 米，横杆 $A B$ 与地面 $G H$ 的距离为10米．如图2，O为 $G H$ 的中点，以O为原点， $G H$ 所在的直线为x轴， $O C$ 所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，设轨道上某点距离地面的高度为y（米），该点距 $O C$ 水平距离为x（米）．

(1)、求y与x之间的函数关系式；

(2)、若图中的H、E、F、G四点构成的四边形恰好为正方形，求纵杆 $F G$ 的长度．

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