相关试卷

1、综合与实践
七年级进行数学实践活动，利用纸板制作有盖长方体纸箱.下面是三个数学小组的实践过程，请你完成下列问题．

(1)、“巧手”小组的同学准备了一张边长为 $a$ 的正方形纸板，先在正方形纸板四角剪去四个同样大小且宽为 $b$ 的小长方形，再沿虚线折合起来，制成一个有盖长方体纸箱（如图1）．则该长方体的底面 $A B C D$ 中，边 $A B =$ ，边 $B C =$ （用含a、b的式子表示）．

(2)、“善思”小组的同学利用长方形纸板制作两个同样大小的长方体，其中单个长方体的长和高相等为 $x$ ，宽为 $y$ ，且宽 $y$ 小于长 $x$ ．现将这两个长方体如图2的方式摆放，已知这个几何体表面的部分展开图如图3所示，请补全展开图．（只需画出其中一种情况）

(3)、“乐学”小组发现可以将“善思”小组的两个长方体进行甲、乙两种方式摆放，如图4，由于摆放位置的不同，使得表面积不一样．他们发现乙种方式摆放的表面积更大，请计算乙种方式摆放的表面积比甲方式大多少？（用含 $x$ 和 $y$ 的式子表示）

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2、一条长为 $8 a + 5 b + 3$ 的铝条，裁剪一部分围成一个长方形铝框（部分数据如图所示）．

(1)、围成长方形铝框的周长是________（用含 $a$ 、 $b$ 的代数式表示）；

(2)、若 $a = 5$ ， $b = 4$ ，探索剩下的铝条是否够围成一个边长为5的正方形，请说明理由．

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3、如图，已知 $∠ A O B$ 与 $∠ B O C$ 互余， $∠ B O C = \frac{1}{3} ∠ A O C$ ， $∠ A O E = 4 0^{°}$ ．求 $∠ B O E$ 的度数．

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4、解方程： $\frac{5 + 2 x}{3} - \frac{10 - 3 x}{2} = 1$ ．

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5、计算：

(1)、 $(- 6) \div (- 2) - 5$

(2)、 $(- \frac{1}{2}) \times 4 + (- 3)^{2}$

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6、我们常用十进制数，我国古代《易经》一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，并采用七进制（也就是满七进一，如 $2513 = 2 \times 7^{3} + 5 \times 7^{2} + 1 \times 7^{1} + 3$ ）用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是天．

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7、如图，点C在线段AB的延长线上， $B C = 2 A B$ ，点D是线段AC的中点， $A B = 2 c m$ ，则BD的长度是．

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8、如果x=6是方程2x+3a=0的解，那么a的值是．

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9、以科技馆为观测点，学校在北偏东 $30 °$ 方向上，下图中正确的是（）．

A、 B、 C、 D、

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10、亮亮准备从学校出发，开车去南山滑雪场滑雪，他打开导航，显示两地直线距离为 $59 k m$ ，但导航提供的三条可选路线长却分别为 $70 k m$ ， $73 k m$ ， $75 k m$ ．能解释这一现象的数学知识是（　　）

A、两点确定一条直线 B、两点之间，线段最短 C、两点之间，直线最短 D、经过一点有无数条直线

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11、下列各组数中，互为相反数的是（）

A、 $- 3$ 与3 B、3与 $\frac{1}{3}$ C、 $- 3$ 与 $- \frac{1}{3}$ D、3与 $| - 3 |$

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12、中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期．下列各数中，是负数的是（）

A、6 B、0 C、8.9 D、 $- 3$

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13、如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A P B = 45 °$ ，连接 $C P$ ，将线段 $C P$ 绕点C顺时针旋转 $90 °$ 得到线段 $C Q$ ，连接 $A Q$ ．

(1)、依题意，补全图形，并证明： $A Q = B P$ ；

(2)、求 $∠ Q A P$ 的度数；

(3)、若N为线段 $A B$ 的中点，连接 $N P$ ，请用等式表示线段 $N P$ 与 $C P$ 之间的数量关系，并证明．

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14、海豚是一种聪明、情感丰富、拥有非凡水下感知能力的海洋哺乳动物，它们被称为海洋中的“微笑天使”，如图1所示，是北京动物园的海洋馆中，海豚从水面跳出的一个瞬间，如图2所示，以海豚的出水点为原点，以水面为x轴，建立平面直角坐标系 $x O y$ ．如果一只海豚的跳跃轨迹可以看作抛物线的一部分，从跳出水面到入水的过程中，海豚的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足二次函数关系 $y = a {(x - h)}^{2} + k (a < 0)$ ．

(1)、第一次跳跃时，海豚的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表：
水平距离 $x / m$
1
2
4
6
7
竖直高度 $y / m$
1.75
3
4
m
1.75
根据表中数据，直接写出m的值为， a的值为；

(2)、在（1）的条件下，海豚在这次跳跃时，需要钻过圆形呼啦圈，且海豚在钻圈时，恰好从呼啦圈的圆心通过，已知呼啦圈的圆心与水面的距离为3.75米，直接写出呼啦圈的圆心与海豚出水点的水平距离为米；

(3)、第二次跳跃时，海豚的竖直高度y与水平距离x近似满足二次函数关系： $y = - \frac{5}{21} {(x - 4.2)}^{2} + 4.2$ ．记海豚第一次跳跃时入水点的水平距离为 $d_{1}$ ，记第二次跳跃时入水点的水平距离为 $d_{2}$ ，则 $d_{1}$ $d_{2}$ （填“ $>$ ”、“ $=$ ”或“ $<$ ”）．

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15、已知：圆 $O$ 和圆外一点 $P$ ，求作：过点 $P$ 的圆 $O$ 的切线．
作法：①连接 $O P$ ，分别以 $O$ ， $P$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} O P$ 长为半径作弧，两弧交于点 $C$ ，连结 $C O$ ， $C P$ ；
②作 $∠ O C P$ 的角平分线 $C D$ ，交 $O P$ 于点 $D$ ；
③以 $D$ 为圆心， $O D$ 长为半径作圆 $D$ ，交圆 $O$ 于点 $A$ ， $B$ 两点；
④作直线 $P A$ ， $P B$ ．
所以直线 $P A$ ， $P B$ 为 $⊙ O$ 的切线．

(1)、使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

(2)、完成下面的证明．
证明：连接 $O A$ ， $O B$ ．
$∵ C O = C P$ ， $C D$ 平分 $∠ O C P$ ，
$∴ O D = P D$ （               ①               ）（填推理的依据）．
$∵ O P$ 为 $⊙ D$ 的直径， $A$ ， $B$ 在 $⊙ D$ 上，
$∴ ∠ O A P = ∠ O B P = 90 °$ （          ②               ）（填推理的依据）．
$∴$ 半径 $O A ⊥ A P$ ，半径 $O B ⊥ B P$ ．
$∴$ 直线 $P A$ ， $P B$ 为 $⊙ O$ 的切线（               ③               ）（填推理的依据）．

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16、如图，D是等边三角形 $A B C$ 内一点，将线段 $A D$ 绕点A顺时针旋转 $60 °$ ，得到线段 $A E$ ，连接 $C D$ ， $B E$ ．

(1)、补全图形

(2)、求证： $∠ A E B = ∠ A D C$ ；

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17、如图，我们规定形如 $y = |a x^{2} + b x + c| (a > 0)$ 的函数叫做“元宝型函数”．如图是“元宝型函数”函数 $y = |x^{2} - 4 x + 3|$ 的图象，根据图象，给出以下结论：①图象关于直线 $x = 2$ 对称：②关于 $x$ 的不等式 $|x^{2} - 4 x + 3| > 0$ 的解是 $x < 1$ 或 $x > 3$ ；③当 $k < 1$ 时，关于 $x$ 的方程 $|x^{2} - 4 x + 3| = k$ 有四个实数解；④当 $x < 1$ 时函数 $y = |a x^{2} + b x + c| (a > 0)$ 的 $y$ 值随 $x$ 值的增大而减小．其中正确的是（填出所有正确结论的序号）．

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18、如图， $P A ， P B$ 是 $⊙ O$ 的切线，A，B为切点， $∠ O A B = 40 °$ ，则 $∠ P =$ $°$ ．

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19、如图是某学校人行过道中的一个以 $O$ 为圆心的圆形拱门，路面 $A B$ 的宽为 $6 m$ ，圆形拱门所在圆的半径长为 $5 m$ ，拱门高 $C D$ 为 $m$ ．

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20、如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，点E为 $B C$ 延长线上一点，若 $∠ D C E = 60 °$ ，则 $∠ A$ 的度数为 $°$ ．

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水平距离 $x / m$	1	2	4	6	7
竖直高度 $y / m$	1.75	3	4	m	1.75