相关试卷

1、阅读与思考：配方思想，是初中数学重要的思想方法之一，用配方思想方法，可以简化数学运算，常用的配方公式有 $a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 a b$ ， $a^{2} + b^{2} = (a - b)^{2} + 2 a b$ .用配方思想方法，解答下面问题：

(1)、已知 $x + \frac{1}{x} = 5$ ，求 $x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ 的值；

(2)、已知 $x = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}$ ， $y = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}$ ，求 $3 x^{2} - 2 x y + 3 y^{2}$ 的值；

(3)、已知 $\sqrt{a} - \sqrt{2 b} = 3$ ， $\sqrt{a b} = 2 (a \geq 0, b \geq 0)$ ，求 $a + 2 b$ 的值.

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2、观察下列算式：
$\sqrt{1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}} = 1 + \frac{1}{1} - \frac{1}{2} = 1 \frac{1}{2}$ ，
$\sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}} = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = 1 \frac{1}{6}$ ，
$\sqrt{1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}} = 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = 1 \frac{1}{12}$ .
请你根据上面三个等式提供的信息，解决下列问题.

(1)、 $\sqrt{1 + \frac{1}{4^{2}} + \frac{1}{5^{2}}} =$ ；

(2)、请你按照上面每个等式反映的规律，写出用 $n (n$ 为正整数 $)$ 表示的等式：；

(3)、利用上述规律计算： $\sqrt{\frac{50}{49} + \frac{1}{64}}$ （仿照上式写出过程）.

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3、石家庄市2024年口袋公园建设成效显著，推动完善“推窗见绿，出门进园”的绿化空间，提升了市民绿化感受度和获得感.在打造口袋公园的过程中，筛选出一块形状为长方形的空闲地块 $A B C D$ ，长 $A B$ 为 $8 \sqrt{2} m$ ，宽 $B C$ 为 $5 \sqrt{2} m$ ，现要在其上修建两块形状大小相同的长方形绿地（图中阴影部分），每块长方形绿地的长为 $(\sqrt{13} + 1) m$ ，宽为 $(\sqrt{13} - 1) m$ .

(1)、求长方形空闲地块 $A B C D$ 的周长.

(2)、除去修建绿地的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为25元/ $m^{2}$ 的地砖，要铺满整个通道，则购买地砖需要花费多少元?

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4、老师设计了接力游戏，用合作的方式完成二次根式的运算.规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简.过程如图所示：

(1)、接力中，自己负责的一步出现错误的是；

(2)、请给出正确的求解过程.

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5、已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 是 $△ A B C$ 的三边长，化简 $\sqrt{(a + b + c)^{2}} - \sqrt{(b + c - a)^{2}} + \sqrt{(c - b - a)^{2}}$ .

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6、

(1)、先化简，再求值： $\frac{a^{2} - b^{2}}{a} \div (a - \frac{2 a b - b^{2}}{a})$ ，其中 $a = 2 + \sqrt{3}$ ， $b = 2 - \sqrt{3}$ .

(2)、已知 $a + b = - 2$ ， $a b = \frac{1}{2}$ ，求 $\sqrt{\frac{b}{a}} + \sqrt{\frac{a}{b}}$ 的值.

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7、计算下列各式.

(1)、 $\sqrt{16} + \sqrt{5} \times \sqrt{2} \times \sqrt{\frac{1}{20}}$ ；

(2)、 $(\sqrt{3} + 1)^{2} - (\sqrt{18} + 2 \sqrt{6}) \div \sqrt{2}$ .

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8、已知实数 $x$ ， $y$ 满足 $(x - \sqrt{x^{2} - 2025}) (y - \sqrt{y^{2} - 2025}) = 2025$ ，则 $x^{2} + y^{2}$ 的值为.

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9、《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边 $a$ ， $b$ ， $c$ 求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方，得积.”若把以上这段文字写成公式，即为 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [c^{2} a^{2} - (\frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2})^{2}]}$ .现有周长为18的三角形的三边满足 $a : b : c = 4 : 3 : 2$ ，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为.

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10、比较大小： $3 \sqrt{5}$ $2 \sqrt{7}$ （填“ $>$ ”“ $<$ ”或“ $=$ ”）.

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11、写出一个最简二次根式，使它与 $\sqrt{8}$ 可以进行合并，这个二次根式可以是.

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12、对于任意的正数 $m$ ， $n$ ，定义运算“ $※$ ”： $m ※ n = \{\begin{array}{l} \sqrt{m} - \sqrt{n} (m \geq n), \\ \sqrt{m} + \sqrt{n} (m < n), \end{array}$ 计算 $(3 ※ 2) \times (8 ※ 12)$ 的结果为（）

A、 $2 - 4 \sqrt{6}$ B、2 C、 $2 \sqrt{5}$ D、20

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13、当 $x = \sqrt{5} - 1$ 时，代数式 $x^{2} + 2 x + 3$ 的值是（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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14、实数 $a$ ， $b$ 在数轴上的位置如图所示，化简 $\sqrt{b^{2}} - (\sqrt{a})^{2} - \sqrt{(a - b)^{2}}$ 的结果是（）

A、 $2 a$ B、 $- 2 a$ C、 $- 2 b$ D、0

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15、已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 为 $△ A B C$ 的三边长，且 $\sqrt{a^{2} - 2 a b + b^{2}} + | b - c | = 0$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是（）

A、 $a = b > c$ B、 $a = b = c$ C、 $a > b > c$ D、 $a < b = c$

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16、母题教材P118复习题T8若 $\sqrt{75 n}$ 是整数，则正整数 $n$ 的最小值是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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17、用如图1所示的5个边长为2的小正方形，通过剪拼可以得到一个大正方形ABCD.

(1)、求正方形ABCD的边长，并求出AB的长在哪两个连续整数之间.

(2)、把图1中的正方形ABCD放到数轴上，如图2，点A表示的数为2，若正方形ABCD从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点B翻滚到数轴上时，记为第一次翻滚，点C翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，以此类推.
①第一次翻滚后，点B表示的数为多少；
②是否存在正整数n，使得该正方形经过n次翻滚后，其顶点A，B，C，D中的某个点与数轴上的2026重合?若存在，请求出n的值；若不存在，请说明理由.

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18、阅读材料：
$\sqrt{1}$ 和 $\sqrt{4}$ 为整数，4-1=3=2×1+1；
$\sqrt{4}$ 和 $\sqrt{9}$ 为整数，9-4=5=2×2+1；
$\sqrt{9}$ 和 $\sqrt{16}$ 为整数，16-9=7=2×3+1；
…
小明发现结论：若 $\sqrt{a}$ 和 $\sqrt{b}$ 为相邻的两个整数，其中a<b，则有b-a=2 $\sqrt{a}$ +1，并给出了证明：
根据题意，得 $\sqrt{a}$ +1= $\sqrt{b}$ .
等式两边同时____，得____=b.
整理得b-a=2 $\sqrt{a}$ +1.
请根据以上材料，解答以下问题：

(1)、请补全小明的证明过程.

(2)、若 $\sqrt{a}$ 和 $\sqrt{a + 11}$ 为两个相邻整数，则a=.

(3)、若 $\sqrt{a}$ 和 $\sqrt{a + 216}$ 为相差4的两个整数，求a的值.

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19、如图，用两个边长为 $\sqrt{8}$ cm的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形纸片.

(1)、大正方形纸片的边长是cm.

(2)、若沿此大正方形纸片边的方向剪出一个长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为3∶2，且面积为12 cm²?若能，试求出剪出的长方形纸片的长、宽；若不能，试说明理由.( $\sqrt{2}$ ≈1.414)

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20、求下列各式中x的值：

(1)、 2(x-1)²-18=0.

(2)、 2(x-1)³=- $\frac{125}{4}$ .

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