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1、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B$ 边的垂直平分线 $l_{1}$ 交 $B C$ 于点 $D$ ， $A C$ 边的垂直平分线 $l_{2}$ 交 $B C$ 于点 $E$ ， $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 相交于点 $O$ ，连接 $O B$ ， $O C$ ， $A D$ ， $A E$ .若 $△ A D E$ 的周长为 $12 c m$ ， $△ O B C$ 的周长为 $32 c m$ .

(1)、求线段 $B C$ 的长；

(2)、连接 $O A$ ，求线段 $O A$ 的长；

(3)、若 $∠ B A C = n^{\circ} (n > 90)$ ，直接写出 $∠ D A E$ 的度数.

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2、数学小组的同学发现，折纸中蕴含着许多数学问题.现有一张三角形纸片 $A B C$ ，点 $M$ ， $N$ 分别是边 $A C$ ， $B C$ 上的点，若沿直线 $M N$ 折叠 $△ A B C$ ，点 $C$ 的对应点为点 $D$ ，且点 $D$ 在直线 $A B$ 的右侧.

(1)、如图①，点 $D$ 恰好落在 $B C$ 边上，则 $∠ 1$ 与 $∠ A C B$ 之间的数量关系是；

(2)、如图②，点 $D$ 落在 $△ A B C$ 内，试探索 $∠ 1$ ， $∠ 2$ 和 $∠ A C B$ 之间的数量关系.

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3、如图， $△ A B C$ 的外角 $∠ M B C$ 的平分线 $B D$ 与外角 $∠ B C N$ 的平分线 $C E$ 相交于点 $P$ .求证：点 $P$ 到三边 $A B$ ， $B C$ ， $C A$ 所在的直线的距离相等.

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4、如图，点 $P$ 在 $∠ A O B$ 内， $M$ ， $N$ 分别是点 $P$ 关于 $A O$ ， $B O$ 的对称点， $M N$ 分别交 $A O$ ， $B O$ 于点 $E$ ， $F$ .若 $△ P E F$ 的周长等于 $20 c m$ ，求 $M N$ 的长.

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5、请按下列要求画图（每小问各画出一种即可）.

(1)、在图①中添加1个正方形，使它是轴对称图形但不是中心对称图形.

(2)、在图②中添加1个正方形，使它是中心对称图形但不是轴对称图形.

(3)、在图③中改变1个正方形的位置，从而得到一个新图形，使它既是中心对称图形，又是轴对称图形，在图④中画出符合条件的图形.

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6、如图，在直角三角形 $A B C$ 中， $∠ C = 90^{\circ}$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ， $A B = 5$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $A B$ ， $B C$ ， $A C$ 边上的动点，则 $D E + E F + D F$ 的最小值是.

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7、已知直线 $l$ 是线段 $A B$ 的垂直平分线，点 $M$ ， $N$ 是直线 $l$ 上的两点，如果 $∠ N B A = 15^{\circ}$ ， $∠ M B A = 45^{\circ}$ ，那么 $∠ M A N =$ .

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8、如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ， $D E ⊥ A B$ ， $△ A B C$ 的面积为 $S$ ， $A B + A C = a$ ，如果 $S = \frac{5}{2} a$ ，那么 $D E =$ .

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9、如图， $A B$ 左边是计算器上的数字“5”，若以直线 $A B$ 为对称轴，则它的轴对称图形是数字.

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10、如图，已知 $△ A B C$ ， $∠ A B C$ ， $∠ E A C$ 的平分线 $B P$ ， $A P$ 交于点 $P$ ，过点 $P$ 分别作 $P M ⊥ B E$ 于点 $M$ ， $P N ⊥ B F$ 于点 $N$ ，则下列结论中正确的有（）
$① C P$ 平分 $∠ A C F$ ； $② ∠ A B C + 2 ∠ A P C = 180^{\circ}$ ； $③ ∠ A C B = 2 ∠ A P B$ ； $④ S_{△ P A C} = S_{△ M A P} + S_{△ N C P}$ .

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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11、如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A = 90^{\circ}$ ，点 $M$ 是 $B C$ 上一点， $A C = 3$ ， $A B = 4$ ， $B C = 5$ ，若点 $M_{1}$ 和点 $M$ 关于 $A B$ 对称，点 $M_{2}$ 和点 $M$ 关于 $A C$ 对称，则点 $M_{1}$ ， $M_{2}$ 之间的最小距离是（）

A、6 B、2.4 C、4.8 D、4

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12、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 90^{\circ}$ ，依据尺规作图痕迹，有如下三种说法：甲： $B D = D E$ ；乙： $∠ C D E = ∠ C A B$ ；丙： $A B + E C = A C$ .下列判断正确的是（）

A、只有甲对 B、只有乙对 C、只有丙对 D、三种都对

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13、如图， $△ A B C$ 中， $∠ C A B$ 和 $∠ C B A$ 的平分线交于点 $P$ ，若 $A B : B C : A C = 3 : 3 : 2$ ，则 $△ P A B$ ， $△ P B C$ ， $△ P A C$ 的面积之比为（）

A、 $2 : 3 : 3$ B、 $3 : 3 : 2$ C、 $4 : 9 : 9$ D、 $9 : 9 : 4$

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14、如图，已知 $△ A B C$ 与 $△ C D A$ 关于点 $O$ 成中心对称，过点 $O$ 作 $E F$ 分别交 $A D$ ， $B C$ 于点 $E$ ， $F$ .下面的结论：①点 $E$ 和点 $F$ ，点 $B$ 和点 $D$ 是关于点 $O$ 的对应点；②过点 $B$ ， $D$ 的直线必经过点 $O$ ；③四边形 $A B C D$ 是中心对称图形；④四边形 $D E O C$ 与四边形 $B F O A$ 的面积必相等； $⑤ △ A O E$ 与 $△ C O F$ 成中心对称.其中正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、5个

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15、如图，将 $△ A B C$ 沿直线 $D E$ 折叠后，使得点 $B$ 与点 $A$ 重合.已知 $A C = 5 c m$ ， $△ A D C$ 的周长为 $18 c m$ ，则 $B C$ 的长为（）

A、 $7 c m$ B、 $10 c m$ C、 $13 c m$ D、 $22 c m$

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16、如图所示，六边形 $A B C D E O$ 是以虚线 $l$ 为对称轴的轴对称图形，连接 $A E$ ，以下结论可能错误的是（）

A、 $A O = E O$ B、 $∠ 1 = ∠ 2$ C、 $A B = E D$ D、 $A E$ 垂直平分 $O C$

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17、如图，线段 $A B$ 外有两点 $C$ ， $D$ （在 $A B$ 同侧）使 $C A = C B$ ， $D A = D B$ ， $∠ A D B = 80^{\circ}$ ， $∠ C A D = 10^{\circ}$ ，则 $∠ A C B$ 等于（）

A、 $80^{\circ}$ B、 $90^{\circ}$ C、 $100^{\circ}$ D、 $110^{\circ}$

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18、如图，由图案①到图案②再到图案③的变化过程中，不可能用到的图形变化是（）

A、轴对称 B、旋转 C、中心对称 D、平移

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19、如图，要在一块三角形草坪上修建一个凉亭，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则位置应选在（）

A、三角形三条边的垂直平分线的交点处 B、三角形三条高的交点处 C、三角形三条中线的交点处 D、三角形三个内角的平分线的交点处

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20、下列以数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、科克曲线 B、赵爽弦图 C、莱洛三角形 D、笛卡尔心形线

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