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1、如图，在 $⊙ O$ 中， $∠ A O B = 60 °$ ，点C为 $\overset{⏜}{A B}$ 的中点，点D是半径 $O A$ 上一动点．若 $O A = 1$ ，则 $B D + C D$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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2、如果 $\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = - \frac{1}{a - b}$ ，那么 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$ 的值等于（）

A、 $- 1$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $3$

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3、如图，连接正八边形 $A B C D E F G H$ 的两条对角线 $A C$ ， $C G$ ，则 $∠ A C G =$ （）

A、 $22.5 °$ B、 $30 °$ C、 $45 °$ D、 $60 °$

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4、《九章算术》中有一道阐述“盈不足”的问题，原文如下：“今有共买琎，人出半，盈四，人出少半，不足三．问人数、琎价各几何？”（琎 $jìn$ ：似玉的石头）译文：今有人合伙买琎，每人出 $\frac{1}{2}$ 钱，会多出 $4$ 钱，每人出 $\frac{1}{3}$ 钱，又差了 $3$ 钱．问人数、琎价各是多少？解设有 $x$ 个人，下列方程正确的是（）

A、 $\frac{1}{2} x + 4 = \frac{1}{3} x - 3$ B、 $\frac{1}{2} x - 4 = \frac{1}{3} x + 3$ C、 $\frac{1}{2} (x + 4) = \frac{1}{3} (x - 3)$ D、 $\frac{1}{2} (x - 4) = \frac{1}{3} (x + 3)$

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5、将一副三角板按如图所示的方法摆放，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为 $65 °$ ，则图中 $∠ 1$ 的度数为（）

A、C B、 $130 °$ C、 $140 °$ D、 $155 °$

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6、为贯彻全国教育大会精神，积极鼓励学生参加体育锻炼．某班随机调查了七位同学一周体育锻炼的总时长（单位：小时），结果分别为：12，16，15，15，16，16，14，则这组数据的众数是（）

A、12 B、14 C、15 D、16

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7、拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓．据统计，若每人每天少浪费一粒米，全国14亿人口一年可节省约 $2550$ 万斤粮食．将“ $2550$ 万”用科学记数法表示为（）

A、 $0.255 \times 10^{8}$ B、 $25.5 \times 10^{6}$ C、 $2.55 \times 10^{7}$ D、 $2.55 \times 10^{8}$

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8、下列计算正确的是（）

A、 $2 a + 3 a = 5 a$ B、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ C、 $a^{2} + a^{3} = a^{5}$ D、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$

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9、已知抛物线 $y_{1} = x^{2} + (2 m - 1) x + 4 n$ （ $m$ ， $n$ 为常数）经过点 $(2, 6)$ ．

(1)、若抛物线与 $y$ 轴交于点 $(0, - 4)$ ．
①求该抛物线的函数表达式；
②已知点 $A (a, b_{1})$ 和点 $B (3, b_{2})$ 在该抛物线上，若对于 $2 t - 5 < a < 3 t + 2$ ，都有 $b_{1} < b_{2}$ ，求 $t$ 的取值范围．

(2)、若 $y_{2} = x + 4$ ，且对于任意实数 $x$ ，都有 $y_{1} \geq y_{2}$ ，将直线 $y_{2} = x + 4$ 向上平移 $3$ 个单位长度，与抛物线交于点 $C$ ， $D$ （ $C$ 在 $D$ 的右侧），若有直线 $y = b$ ，在这条直线上一定存在点 $E$ ，使得 $∠ C E D$ 是直角，请求出 $b$ 的最大值．

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10、如图1，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $A D = 8$ ，点E在 $B C$ 上，且 $A E ⊥ B D$ ，垂足为点P．

(1)、求证： $△ A B P ∽ △ D B A$ ；

(2)、求 $B E$ 的长；

(3)、如图2，将 $△ B C D$ 沿 $B D$ 翻折，点C的对应点为点 $C^{'}$ ，连接 $E C^{'}$ ，交 $B D$ 于点F，求 $△ P E F$ 的面积．

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11、交警通常通过限速来降低交通事故发生的概率，而测速摄像头主要通过读取汽车的车牌来识别车辆身份．如图，某条笔直的公路限速 $50km/h$ ，在公路上方 $6 .5m$ 高的位置A处有一个摄像头，第一次识别到B处一辆汽车，俯角 $α$ 为 $10 °$ ， $2s$ 后在C处再次识别到这辆车，俯角 $β$ 为 $31 °$ ，已知此车辆车牌位于地面 $0 .5m$ 高的位置，请判断这辆汽车是否超速，并说明理由．（参考数据： $\sin 10 ° \approx 0.17$ ， $\cos 10 ° \approx 0.98$ ， $\tan 10 ° \approx 0.18$ ， $\sin 31 ° \approx 0.50$ ， $\cos 31 ° \approx 0.87$ ， $\tan 31 ° \approx 0.60$ ）

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12、为深入贯彻落实党中央、国务院决策部署，大力提振消费，国家颁布了《推动大规模设备更新和消费品以旧换新行动方案》（简称“国补”），对空调在内的多种家电产品给予补贴，对空调的补贴的具体标准为一级能效产品补贴售价的 $20 ％$ ，二级能效产品补贴售价的 $15 ％$ ．据了解，某品牌每台一级能效的空调售价比每台二级能效的空调贵1000元，在领取“国补”后，一台一级能效的空调比一台二级能效的空调只贵600元．

(1)、该品牌一级、二级能效的空调每台的售价分别为多少元？

(2)、售货员介绍，同等条件下，该品牌的一级能效空调每天比二级能效空调少耗电 $1.5$ 度．电价大约为 $0.6$ 元/度，按每年使用空调180天算，算上空调本身的价格（国补后的），请问最少几年后使用一级能效的空调会更划算？（结果取整数）

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13、如图，菱形 $A B C D$ 中，点P是对角线 $A C$ 上一点，连接 $B P$ 并延长交 $C D$ 于点F，连接 $D P$ 并延长交 $B C$ 于点E．

(1)、求证： $∠ D E C = ∠ A B F$ ；

(2)、若 $A B = 4 \sqrt{3}$ ， $∠ B A D = 60 °$ ， $A P = 8$ ，求 $D F$ 的长．

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14、先化简，再求值： $\frac{a^{2} - 2 a + 1}{a^{2} - a} \div (a - \frac{1}{a})$ ，其中 $a = \sqrt{2} - 1$ ．

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15、计算： ${(π - 3)}^{0} + |1 - \sqrt{2}| - 2 \sin 45 ° + \sqrt{8}$ ．

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16、如图，是由圆O截去下面的弓形形成的图形．过点O作 $A B$ 的垂线，交该图形于点C，D，已知 $C D$ 的长是 $(20 + 10 \sqrt{3}) cm$ ， $A B$ 的长是20 $cm$ ，则该图形的周长是 $cm$ ．

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17、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 70 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针方向旋转，使点 $B$ 的对应点 $B^{'}$ 在 $B C$ 边上，点 $C$ 的对应点为 $C^{'}$ ，则 $∠ C A C^{'} =$ $°$ ．

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18、一组数据6，8，9，10，x的平均数是9，则x的值为．

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19、已知 $α$ ， $β$ 是关于x的方程 $x^{2} - 4 x - 1 = 0$ 的两根，则 $\frac{1}{α} + \frac{1}{β}$ 的值为．

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20、在争创国家卫生文明城市的活动中，某市组织志愿者队伍对某工地重达100吨的建筑垃圾进行清除．开工后，附近居民主动加入劳动中，使清除行动的速度比原计划提高了 $25 ％$ ，提前1小时完成了清除任务．设志愿者队伍原计划每小时清除x吨垃圾，则可列方程为（）

A、 $\frac{100}{x} = \frac{100}{(1 + 25 %) x} + 1$ B、 $\frac{100}{x} = \frac{100}{(1 + 25 %) x} - 1$ C、 $\frac{100}{x} = \frac{100}{(1 - 25 %) x} + 1$ D、 $\frac{100}{x} = \frac{100}{(1 - 25 %) x} - 1$

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