相关试卷

1、窗花是中国古老的汉族传统民间艺术之一，深受国内外人士所喜爱．下列窗花剪纸中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2、《哪吒之魔童闹海》作为中国首部破百亿电影，登顶全球影史票房榜第五名，截至2026年4月17日，总票房大约为 $156.98$ 亿元，数据 $156.98$ 亿用科学记数法表示为（）

A、 $156.98 \times 10^{8}$ B、 $1.5698 \times 10^{9}$ C、 $1.5698 \times 10^{10}$ D、 $1.5698 \times 10^{11}$

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3、 $2025^{- 1}$ 的相反数等于（）

A、 $- 2025$ B、2025 C、 $\frac{1}{2025}$ D、 $- \frac{1}{2025}$

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4、
综合与探究：
【探索发现】如图 $1$ ，可以用两个含 $30 °$ 的直角三角板拼接成一个四边形．
【抽象定义】如果四边形的一条对角线把该四边形分割成两个直角三角形，那么我们称这个四边形为双垂四边形．如图 $2$ ，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = ∠ C = 90 °$ ，此时四边形 $A B C D$ 是双垂四边形．
【问题解决】
在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ， $D 、 E$ 分别为线段 $B C 、 A B$ 上一点，
（1）如图 $3$ ，若 $A D$ 平分 $∠ B A C$ ， $B E = 2$ ，求证：四边形 $A C D E$ 是双垂四边形；
（2）如图 $4$ ，若 $C D = A C$ ，四边形 $A C D E$ 是双垂四边形， $∠ A E D = 90 °$ ，连接 $C E$ ，求 $C E$ 的长；
【拓展应用】
（3）如图 $5$ ，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = B C = 2 \sqrt{2}$ ， $D$ 为线段 $B C$ 中点， $E$ 为线段 $A B$ 上一点，四边形 $A C D E$ 是双垂四边形，将 $△ A D E$ 沿 $A D$ 翻折到 $△ A D F$ 处，连接 $B F$ ，请直接写出 $B F$ 的长度．

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5、
综合与实践
【问题背景】
短视频已成为人们获取信息的重要方式，某数学兴趣小组在开展“数据中的函数”项目式学习时，对某短视频平台的完播率进行了研究．完播率是指完整观看视频的人数比例，是衡量视频质量的重要指标．该小组希望探究视频时长与完播率之间的关系，为创作者优化视频长度提供参考．
【模型构建】
小组从平台数据库中随机选取质量接近的同一类视频，统计得到以下三组数据．
视频时长x（秒）
完播率y
20
0.8
30
0.9
40
0.8
小组发现，在视频质量接近的同类视频中，完播率y与视频时长x之间近似满足二次函数关系．
（1）通过数据分析，视频时长为__________秒时，完播率最高为__________，并写出该二次函数的表达式__________；
【模型应用】
（2）平台为了优化推荐算法，规定：完播率低于0.5的视频将减少推荐权重，请求出完播率恰好为0.5时的视频时长．
（3）平台发现，另一类质量相近视频的完播率y与视频时长x也满足二次函数关系，该小组经调研发现，该类视频的完播率在时长为30秒时达到最大值m，同时当视频时长为10秒时，完播率为0.4．若平台希望该类视频时长在25秒到40秒内（即 $25 \leq x \leq 40$ ）的完播率都不低于0.6，求m的取值范围．
【总结反思】
函数可以刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性．未来可结合更多变量（如视频内容类型、用户活跃时段等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性．

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6、在矩形 $A B C D$ 中，E是 $A D$ 上一点，且 $∠ A B E = ∠ C B D$ ；

(1)、尺规作图：作 $⊙ O$ ，使点O在对角线 $B D$ 上，且 $⊙ O$ 经过E、D两点．（保留作图痕迹，标出点O，不写作法）

(2)、如图2，求证： $B E$ 为 $⊙ O$ 的切线；

(3)、若 $\sin ∠ A B E = \frac{1}{3}, C D = 4$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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7、如图，为了测量一个小树林的宽度 $A B$ ，数学兴趣小组利用无人机进行辅助测量，在小树林边缘的A点，观测悬停在C处的无人机，此时在A处测得C的仰角为 $36.9 °$ ，无人机的飞行高度为 $150 m$ ；操控无人机的同学让无人机垂直上升 $40 m$ 悬停在D处，此时在B处测得D的仰角为 $63.5 °$ ．若点A，B，C，D在同一平面内，求小树林的宽 $A B$ 的值．（结果精确到 $1 m$ ，参考数据： $\sin 36.9 ° \approx 0.60$ ， $\cos 36.9 ° \approx 0.80$ ， $\tan 36.9 ° \approx 0.75$ ， $\sin 63.5 ° \approx 0.89$ ， $\cos 63.5 ° \approx 0.45$ ， $\tan 63.5 ° \approx 2.00$ ）

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8、为了提高某城区居民的生活质量，政府将改造城区配套设施，并随机向某居民小区发放调查问卷（1人只能投1票），共有休闲设施、儿童设施，娱乐设施，健身设施4种选项，一共调查了 $a$ 人，其调查结果如下：如图，为根据调查结果绘制的扇形统计图（图1）和条形统计图（图2），请根据统计图回答下面的问题：

(1)、调查总人数 $a =$ ______人，在扇形统计图中“健身”这一项所对应的圆心角度数为______ $°$ ．

(2)、请补充条形统计图；

(3)、若该城区共有10万居民，则其中愿意改造“娱乐设施”的约有多少人？

(4)、改造完成后，该政府部门向甲、乙两小区下发满意度调查问卷，其结果（分数）如下：
项目
小区
休闲
儿童
娱乐
健身
甲
7
7
9
8
乙
8
8
7
9
若以 $1 : 1 : 1 : 1$ 进行考核，______小区满意度（分数）更高；
若以 $1 : 1 : 2 : 1$ 进行考核，______小区满意度（分数）更高．

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9、计算： $|1 - \sqrt{3}| - {(2025 - π)}^{0} + {(\frac{1}{2})}^{- 1} - 3 \tan 30 °$ ．

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10、如图， $A C$ 为矩形 $A B C D$ 的对角线，将 $△ A C D$ 绕点 $C$ 逆时针旋转得到 $△ C E F$ ，当点 $E$ 落在对角线 $A C$ 上时，且 $A G = G H$ ，则 $\cos ∠ C A B$ 的值为．

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11、将直线 $y = x - 1$ 沿y轴向上平移m个单位长度，若平移后的直线经过第一、第二、第三象限，则m的值可以是（写出一个即可）．

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12、《九章算术》、《周髀算经》、《孙子算经》是我国古代数学的重要名著．某中学打算从这三部名著中选择两部作为校本课程的学习内容，恰好选中《九章算术》的概率为．

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13、如图，在正方形 $A B C D$ 中，E是 $A D$ 边的中点， $E F ⊥ C E$ 交 $A B$ 于点F，连接 $C F$ ， G是 $C F$ 边上的中点，连接 $E G$ ．已知 $A B = 4$ ，则 $E G =$ （）

A、 $4 π - 8$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ C、2 D、 $\frac{5}{2}$

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14、地理老师介绍道：长江比黄河长836千米，黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284千米，小东根据地理老师的介绍，设长江长为x千米，黄河长为y千米，然后通过列、解二元一次方程组，正确的求出了长江和黄河的长度，那么小东列的方程组可能是（）

A、 $\{\begin{array}{l} x + y = 836 \\ 5 x - 6 y = 1284 \end{array}$ B、 $\{\begin{array}{l} x - y = 836 \\ 6 x - 5 y = 1284 \end{array}$ C、 $\{\begin{array}{l} x + y = 836 \\ 6 y - 5 x = 1284 \end{array}$ D、 $\{\begin{array}{l} x - y = 836 \\ 6 y - 5 x = 1284 \end{array}$

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15、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 \sqrt{2}, B C = 8$ ．以 $B C$ 的中点O为圆心， $O B$ 长为半径作 $\overset{⌢}{B C}$ ，则阴影部分的面积为（）

A、 $4 π - 8$ B、 $2 π - 4 \sqrt{2}$ C、 $4 π - 4$ D、 $2 π - 4$

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16、一组数据：13，14，14，16，18，这组数据的中位数和众数分别是（）

A、15，15 B、15，14 C、14，15 D、14，14

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17、下列运算结果是 $- a^{2} b^{4}$ 的是（）

A、 $- a^{2} + b^{4}$ B、 ${(- a b^{2})}^{2}$ C、 $- a b^{3} \cdot a b$ D、 $- a^{6} b^{5} \div a^{3} b$

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18、中国传统纹样作为华夏文明的重要组成部分，是民族历史与祥瑞文化脉络赓续传承的生动体现．下列纹样是中心对称图形的是（）

A、如意云纹 B、涡旋云纹 C、四瓣结纹 D、回字纹

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19、重庆今年首次在义务教育阶段学校探索实施春秋假．春假期间，甲、乙两位同学相约去某景区游玩．如图，大门 $A$ ，猴山 $B$ ，古塔 $C$ ，游乐场 $D$ 为景区内在同一平面内的四个景点． $D$ 位于 $A$ 的正东方向 $3$ 千米处， $B$ 位于 $A$ 的正南方向且位于 $D$ 的南偏西 $30 °$ 方向， $C$ 位于 $B$ 的南偏东 $75 °$ 方向且位于 $D$ 的南偏东 $30 °$ 方向．

(1)、求 $B C$ 的长度（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ， $\sqrt{5} \approx 2.24$ ， $\sqrt{6} \approx 2.45$ ，结果保留小数点后一位）；

(2)、现甲从 $B$ 出发沿 $B D$ 方向前往 $D$ ，乙从 $D$ 出发沿 $D C$ 方向前往 $C$ ，两人同时出发，乙的速度是甲的速度的 $2$ 倍．途中乙接到甲询问位置的电话，乙利用导航发现此时两人的直线距离为 $4$ 千米，求此时甲离 $D$ 处多少千米？

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20、如图，四边形 $A B C D$ 是矩形， $A B = 6 c m$ ， $B C = 8 c m$ ．点 $E$ 以每秒 $1 c m$ 的速度沿 $B \to C$ 方向运动，点 $F$ 在直线 $A B$ 上运动，且满足 $S_{△ B E F} = 2 c m^{2}$ ．点 $G$ 与点 $E$ 同时出发，以每秒 $2 c m$ 的速度沿折线 $D \to C \to A$ 方向运动．设运动时间为 $x$ 秒 $(0 < x < 8)$ ，点 $F$ 与点 $B$ 的距离为 $y_{1}$ ，点 $G$ 与点 $C$ 的距离为 $y_{2}$ ．

(1)、请直接写出 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 关于 $x$ 的函数表达式，并分别写出自变量 $x$ 的取值范围；

(2)、请在给定的平面直角坐标系中画出函数 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 的图象；结合函数图象，直接写出 $y_{1} < y_{2}$ 时 $x$ 的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过 $0.2$ ）．

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视频时长x（秒）	完播率y
20	0.8
30	0.9
40	0.8