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1、我们常用的书籍和纸张的长与宽都有固定的规格，例如 A4纸张的长与宽是 297mm，210mm，长与宽的比值接近 $\sqrt{2}$ .这样的纸张具有对折不变形，还便于缩放，装订与归档，裁切过程几乎无边角料.这样比例的折叠屏手机，内外屏的比例就是一样的，堪称折叠完美比例.
已知长方形 ABCD的长与宽分别是 2cm， $\sqrt{2}$ cm.若按图 1所示的方式折叠，点 E，F分别是 AD，BC的中点，将长方形 ABCD沿 EF对折，打开后得到的长方形 ABFE仍为“长与宽的比值为 $\sqrt{2}$ ”的长方形.

(1)、若按图 2所示的方式折叠长方形 ABCD，先沿 AG对折，使点 B落在 AD上，对应点是点 H.再沿GM对折，使点 C落在 HG上，对应点是点 N.
①长方形 HDMN（填“是”或“不是”)为“长与宽的比值为 $\sqrt{2}$ ”的长方形；
②边长 DM= cm，边长 DH= cm.

(2)、若按图 3所示的方式折叠长方形 ABCD，先沿 BP对折，使得点 C落在 AD上，对应点是点 Q.再沿BS对折，使得点 A落在 BQ上，对应点是点 T.
①求∠PBQ的度数；
②若图 2中的点 M折叠后对应点是点 R，连接 RT，求证：四边形 QRTS是平行四边形.

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2、如图，过菱形 ABCD的对角线 AC的中点 O作两条互相垂直的直线，分别交 AB，BC，CD，DA于 E，F，G， H四点，连接 EF， FG， GH， HE.

(1)、判断四边形 EFGH的形状，并说明理由.

(2)、若 AB=2， ∠DAB=60°， AE=AH，求四边形 EFGH的面积.

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3、如图 1，在平面直角坐标系中点 A坐标是（xA，yA)，点 B坐标是（xB，yB)，作 AC⊥BC得点 C坐标是（xB， yA) ，通过勾股定理 $A B^{2} = A C^{2} + B C^{2}$ 得到任意两点 A，B之间的距离 $d = \sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2}} .$ 如图 2，四边形 OABC中 O， A， B， C四点坐标分别是（0， 0) ，（12， 5) ，（17， 17) ，（5， 12) .

(1)、求 OA 的长=；

(2)、求证：四边形 OABC两条对角线长的平方和等于四条边长的平方和；

(3)、求点 B到直线 OA的距离.

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4、已知广播电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波就传播得越远，从而能收听和收看广播电视节目的区域就越广.广播电视塔高 h（单位：km)与广播电视节目信号的传播半径 r（单位：km)之间存在近似关系 $r = \sqrt{2 R h},$ 其中 R 是地球半径， $R \approx 6400 k m .$

(1)、图 1的广州塔的塔高约为 600m，求从塔顶发射出广播电视节目信号的传播半径 r₁.

(2)、图 2的中央电视塔塔高约为 400m，从塔顶发射出广播电视节目信号的传播半径为 r₂ ，求 r₁与 r₂之比值.

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5、如图， E、F、M、N分别是正方形 ABCD四条边上的点，且 AE=BF=CM=DN.求证：四边形 EFMN是正方形.

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6、计算：

(1)、 $\sqrt{27} + \sqrt{12};$

(2)、 $(2 \sqrt{48} - 3 \sqrt{27}) \div \sqrt{6} .$

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7、如图，在四边形 ABCD中， AD∥BC， ∠B=90°， AD=12cm，BC=13cm，点 P从点 A 出发，以 1cm/s的速度向点 D运动；点 Q从点 C同时出发，以 3cm/s的速度向点 B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始，经过s，使 PQ=CD.

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8、在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为 12尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面 2尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这根芦苇的长度为尺.

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9、如图，菱形 ABCD的对角线 AC， BD相交于点 O，若∠ABC=120°， AB=4，则菱形ABCD的面积为.

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10、已知： $x = \sqrt{3} - 1, y = \sqrt{3} + 1,$ 则 $x^{2} - y^{2}$ 的值为.

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11、如图， △ACB和△ECD都是等腰直角三角形， CA=CB， CE=CD， △ACB的顶点 A在△ECD的斜边 DE上.下列结论中： ①△ACE≌△BCD；②∠CDB=45°； ③∠DAB=∠ACE； ④AE²+AD²=2AC² ，正确的有（ )

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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12、如图，在△ABC中， ∠A=90°， AB=6， AC=8， P为边 BC上一动点， PE⊥AB于点 E， PF⊥AC于点 F， M为 EF的中点，则 PM的最小值为（ )

A、2.1 B、2.2 C、2.3 D、2.4

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13、如图，在△ABC中， ∠BAC=90°，点 D为边 BC的中点，顶点 B， C分别对应刻度尺上的刻度 2cm和8cm，则 AD 的长为（ )

A、3cm B、4cm C、5cm D、6cm

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14、在正六边形中，下列说法正确的是（ )

A、它的内角和是 540° B、它的一个外角为 72 ° C、它具有稳定性 D、它共有 9条对角线

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15、下列计算正确的是（ )

A、 $\sqrt{{(- 2)}^{2}} = - 2$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{2}{3}$ C、 $\sqrt{8} - \sqrt{2} = \sqrt{6}$ D、 $\sqrt{4 \times 9} = 6$

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16、【实验操作】深圳某学校七年级同学“探寻古城墙、研读南头城”研学时，小明发现城墙某段道路（AB∥CD）两旁安置了两座可旋转探照灯，课后利用所学知识进行了综合实践学习.经观察，灯E射线从EB开始顺时针旋转至EA便立即回转，灯F射线从FC开始顺时针旋转至FD便立即回转，两灯不停交叉照射，光束交于点G.

(1)、【猜想验证】如图1，转至某刻，∠G=60°，∠AEG=25°，则求∠CFG=；

(2)、【应用迁移】灯E、灯F转动的速度分别是每秒2度、每秒4度.若两灯同时开始转动，如图2所示.则在灯E射线到达EA之前，灯F转动几秒时，∠EGF=90°？

(3)、【实践创新】交相辉映处，饱读南头城.小明设想E、F处各有一条彩色光线，始终分别平分∠BEG、∠CFG，在（2）的条件下，若两条角平分线所在直线交于点H，请你探究∠EHF与∠BGF的数量关系，不需说明理由直接写出答案.

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17、对于任意有理数a，b，c，d，我们规定（a，b）☆（c，d）=a²-bc+d².

(1)、填空：对于有理数x，k，若（x，k）☆（x，1）=（x±1）² ，则k= ；

(2)、对于有理数x，y，若x+y=12，（x+y，y）☆（2x+y，y）=104.
①求xy的值；
②将长方形ABCD和长方形CEFG按照如图方式进行放置，点E在边CD上，连接BD，BF.若AB=2x，AD=x，EF=2y，FG=y，求图中阴影部分的面积.

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18、如图，已知△ABC，CA=CB，点D在BC的延长线上.

(1)、请用尺规作图法，求作射线CP，使CP∥AB.（保留作图痕迹，不写作法）；

(2)、当∠B=70°时，证明射线CP平分∠ACD.

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19、如图，AD∥BC，∠1=∠C，∠B=60°，DE平分∠ADC交BC于点E，
试说明AB∥DE.请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据.
解：因为AD∥BC，（已知）
所以∠1=∠ =60°.
因为∠1=∠C，（已知）
所以∠C=∠B=60°.（等量代换）
因为AD∥BC，（已知）
所以∠C+∠ =180°.
所以∠ =180°-∠C=180°-60°=120°.（等式的性质）
因为DE平分∠ADC，（已知）
所以 $∠ A D E = \frac{1}{2} ∠ A D C = \frac{1}{2} \times 12 0^{\circ} = 6 0^{\circ}$ .
所以∠1=∠ADE.（等量代换）
所以AB∥DE.

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20、先化简再求值：[（3a+b）²-（3a+b）（3a-b）]÷2b，其中 $a = - \frac{1}{3}$ ， b=-2.

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