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1、问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究：
材料1.古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ （其中a、b、c为三角形的三边长， $p = \frac{a + b + c}{2}$ ， S为三角形的面积）.
材料2.我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式： $S = \sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} b^{2} - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})}^{2}]}$ ，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S.

(1)、利用材料1解决下面的问题：
当a=3，b=5，c=6时，求这个三角形的面积；

(2)、利用材料2解决下面的问题：
已知△ABC三条边的长度分别是 $a = \sqrt{x + 1}, b = \sqrt{{(5 - x)}^{2}}, c = 4 - {(\sqrt{4 - x})}^{2}$ ，记△ABC的周长为C_△_ABC.
①当x=2时，请直接写出△ABC中最长边的长度 ▲ ；
②若x是满足0＜x≤4的整数，当C_△_ABC取得最大值时，请用秦九韶公式求出△ABC的面积.

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2、已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两线相交于点P.

(1)、判断四边形CODP的形状，并说明理由；

(2)、若AB=6，AD=3，求四边形CODP的面积.

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3、阅读下列一段文字，然后回答下列问题．
已知平面内两点M（x₁ ， y₁），N（x₂ ， y₂），则这两点间的距离可用下列公式计算： $M N = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}$ ．
例如：已知P（5，1）、Q（3，-2），则这两点间的距离 $\sqrt{{(5 - 3)}^{2} + {(1 + 2)}^{2}} = \sqrt{13}$ ．特别地，如果两点M（x₁ ， y₁），N（x₂ ， y₂）所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂直于坐标轴，那么这两点间的距离公式可简化为MN=|x₁-x₂|或MN=|y₁-y₂|．

(1)、已知A（1，3）、B（-2，4），求A、B两点间的距离；

(2)、已知A、B在平行于y轴的同一条直线上，点A的纵坐标为8，点B的纵坐标为-2，求A、B两点间的距离；

(3)、已知△ABC的顶点坐标分别为A（1，2）、B（2，1）、C（5，4），你能判定△ABC的形状吗？请说明理由．

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4、如图，在梯形ABFE中，AE∥BF， $A E = \frac{1}{2} B F$ ，若点C为BF的中点，连接AC，BE交于点D.

(1)、求证：四边形ACFE是平行四边形；

(2)、若△ABC是等边三角形，且AE=3，求EF的长.

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5、为增加趣味性，某科技馆计划展出一款恐龙互动模型（图1），为避免在互动过程中模型出现关节卡顿、失衡等风险，该模型一条大腿支架AB与小腿支架BC需满足互相垂直的条件，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示意图如图2所示，实际测得数据如下：AB=8dm，BC=6dm，AC=10dm，∠CAD=90°.

(1)、AB与BC垂直吗？请说明理由；

(2)、据设计人员介绍，支架的CD比AD长2dm，求支架AD的长度.

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6、计算：

(1)、 $\sqrt{27} \times \sqrt{\frac{1}{3}} - (\sqrt{7} + \sqrt{3}) (\sqrt{7} - \sqrt{3})$ ；

(2)、 $\sqrt{4} + \sqrt[3]{- 8} - \sqrt{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}$ .

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7、如图，四边形ABCD，∠A=80°，∠C=140°，DG和BG分别是∠EDC和∠CBF的角平分线，那么∠DGB= .

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8、如图，在▱ABCD中，AD=3，AE平分∠DAB交CD于点E，BF平分∠ABC交CD于点F，已知EF=1，则▱ABCD的周长为.

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9、如图，正方体的棱长为3cm，蚂蚁从顶点A沿表面爬到顶点B的最短路程为 .

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10、若式子 $\sqrt{6 - m}$ 在实数范围内有意义，则m的取值范围是.

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11、如图，在等边三角形ABC中，D，E，F分别为三边BC，CA，AB的中点，则图中共有菱形（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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12、如图，公路AC，BC互相垂直，笔直公路AB的中点M与点C被湖面隔开.若测得AB长为2.4km，则点M，C之间的距离为（）

A、1.2km B、0.9km C、0.6km D、0.5km

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13、“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树…依此类推，如果第一个正方形面积为1，则第2026代勾股树中所有正方形的面积和为（）

A、1013 B、2027 C、2026 D、2025

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14、如图，为测量位于珠海那洲村某生态农庄中水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA，OB的中点C，D，量得CD=10m，则A，B之间的距离是（）m.

A、10 B、15 C、20 D、25

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15、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则点C到AB的距离为（）

A、4.8 B、5 C、3 D、4

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16、下列算式中，运算错误的是（）

A、 $\sqrt{{(- 7)}^{2}} = 7$ B、 $\sqrt{3} \times \sqrt{5} = \sqrt{15}$ C、 $\sqrt{6} \div \sqrt{3} = \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{7} + \sqrt{3} = \sqrt{10}$

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17、下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ B、 $\sqrt{1.5}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{8}$

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18、如图 1，在平面直角坐标系中，已知点 A (a，-4) ， B (-4， b) ，且满足 $\sqrt{a + 2} + ∣ b + 3 ∣ = 0,$ 点 C为 y轴正半轴上的一个动点.

(1)、 a= ， b=；

(2)、连接 AC、OB交于点 D，若三角形 ABD和三角形 COD的面积相等，求点 C的坐标；

(3)、如图 2，过点 C作 AB的平行线 l，点 M、N为直线 l上两个动点，线段 AM和线段 BN相交于点 E，且满足 AM=10， BN=8，求四边形 ABMN面积的最大值.

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19、如图 1，已知直线 MN∥PQ，点 A在直线 PQ上，点 B在直线 MN、PQ之间， ∠BAP=45°，点 C在直线MN上，记∠MCB=α.作∠ABD交直线 PQ于点 D (D在 A的右侧)使得 $∠ A B D = \frac{1}{3} ∠ A B C .$

(1)、当α=时， AB⊥BC；

(2)、求∠BDP (用含有α的式子表示) ；

(3)、点 E为平面内一点且满足 $∠ M C E = \frac{1}{2} ∠ B C E,$ 直线 CE与直线 BD交于点 F.问∠BFC是否为定值?若是，请求出这个值，若不是，则求出∠BFC与∠MCB的数量关系.

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20、在平面直角坐标系中，对于点 P (x₁ ， y₁) 、点 Q (x₂ ， y₂) ，若满足 x₁x₂+y₁y₂=m，其中 m为常数，则称点P 与点 Q互为“m阶元元点”，例如：点 P (-4， 3)与 Q (1， 2)互为“2阶元元点”.

(1)、下列选项中，是点 A (1，2)的“8阶元元点”的有(填序号)；
① (4， 2) ；
② (2， 1) ；
③ (-2， 5) .

(2)、点 A (1， 2)和点 B (4， a)互为“2026阶元元点”，求 a的值；

(3)、若点 C (m+7， 3m-1)到两条坐标轴的距离相等，且与点 A (1， 2)互为“a阶元元点”，求 a的值.

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