相关试卷

1、
定义：在平面直角坐标系中，若函数 $y_{1}$ 的图象上存在点 $P$ ，函数 $y_{2}$ 的图象上存在点 $Q$ ，且点 $P$ 与点 $Q$ 关于 $y$ 轴对称，则称函数 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 具有“对偶关系”，此时点 $P$ 或点 $Q$ 的纵坐标称为这两个函数的“对偶值”．
【问题探究】
【概念初探】
（1）已知函数 $y_{1} = x + 2$ 与函数 $y_{2} = 3 x + 6$ 具有“对偶关系”，请求它们的“对偶值”；
【模型构建】
（2）如图①，将直线 $l_{1} : y_{1} = x + 2$ 向下平移 $m (m > 0)$ 个单位长度得到直线 $l_{3}$ ．若直线 $l_{1}$ 与 $l_{3}$ 的“对偶值”为 $h$ ，求 $h$ 与 $m$ 满足的关系式；
【深度探索】
（3）如图②，直线 $l_{2} : y_{2} = 3 x + 6$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴相交于A、B两点，直线 $l_{3}$ 与 $y$ 轴相交于点 $D$ ，直线 $l_{3}$ 上是否存在一个点 $M$ ，使得 $∠ M O D = ∠ A B O$ ，且 $△ M O D$ 的面积等于3？若存在，请求出 $m$ 的值；若不存在，请说明理由．

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2、随着“低空经济”被写入政府工作报告，某市物流公司率先启动了“空中快递”服务，利用无人机进行同城急送．某数学兴趣小组对该服务的运营数据进行了调研，整理素材如表：

类别

素材内容

素材1

（效率对比）

配送时间计算模型：

传统骑手：受红绿灯和拥堵影响，平均时速为 $20 km / h$ ，且取货加送货上楼固定消耗10分钟．

无人机：沿直线飞行，无拥堵，平均时速为 $60 km / h$ ，起飞与降落（含装卸）固定消耗5分钟．

（注：配送总时长=行驶时长+固定消耗时长）

素材2

（运营成本）

某咖啡店的配送账单：

上周六，该市一家网红咖啡店共发出了50单外卖，采用“传统骑手”和“无人机”两种方式共同完成配送，且全部配送完毕．已知传统骑手每单运费6元，无人机每单运费10元，该店当天的总运费支出为380元．

素材3

（运力升级）

新机型采购计划：

为了提升运力，公司决定淘汰部分旧机型，购入“旋翼A型”和“旋翼B型”两种新型无人机共建新机队．

旋翼A型：单价 $0.4$ 万元，最大载重15千克；

旋翼B型：单价 $0.6$ 万元，最大载重25千克．

公司计划正好投入5万元预算用于采购这两种无人机，且两种型号都必须购买．

问题解决：

任务	内容
任务1	现有一份紧急文件需要从A地送往B地，两地直线距离为12公里．若仅考虑配送时长，使用“无人机”比使用“传统骑手”能节省__________分钟．（假设骑手行驶路程等于直线距离）
任务2	根据素材2，利用二元一次方程组的知识，求上周六该咖啡店使用“无人机”配送了多少单？
任务3	根据素材3的预算限制，请你帮助公司设计采购方案： ①共有哪几种满足条件的采购方案？请列出所有可能的情况； ②在上述方案中，哪一种方案能使这批新购入无人机的总载重最大？最大总载重是多少？

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3、如图，已知 $∠ 1 + ∠ 2 = 180 °, ∠ 3 = ∠ C$ ．

(1)、求证： $D E ∥ B C$ ；

(2)、若 $B E$ 平分 $∠ A B C, ∠ 1 = 110 °, ∠ 3 = 40 °$ ，求 $∠ A D E$ 的度数．

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4、在学校举办的“劳动与科技”实践周中，八年级（1）班的同学负责照料两块草莓试验田．其中甲组地块采用“智能水肥一体化”技术种植，乙组地块采用“传统土壤”方式种植．为了评估两种种植方式的效果，成熟期时，同学们从甲、乙两地块中各随机采摘了10颗草莓进行甜度检测（单位：Brix，数值越大越甜）．
【数据收集】
甲组（智能水肥）：11，13，13，12，14，13，12，13，15，14
乙组（传统土壤）：10，16，12，14，11，13，13，16，13，12
【数据整理】同学们对数据进行了初步整理，并绘制了统计表和部分图表．
表：甲、乙两组草莓甜度统计分析表
组别
平均数
众数
中位数
方差
甲
13
a
13
1.2
乙
13
13
b
3.4
【问题解答】

(1)、填空：请直接写出表格中 $a$ 和 $b$ 的值： $a =$ ____， $b =$ ______；

(2)、绘图：请在答题卡相应位置画出乙组数据的箱线图（提示：请标出最小值、最大值、下四分位数、上四分位数和中位数）；

(3)、决策应用：如果高端超市收购草莓的标准是“甜度稳定且品质均匀”，你会向农户推荐哪种种植方式？请说明理由．

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5、如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点 $A$ 、点 $B$ 、点 $C$ 均在小正方形的顶点上．且坐标分别为 $A (- 1, 1), B (- 2, 4), C (- 4, 3)$ ．

(1)、在网格中建立平面直角坐标系；

(2)、画出 $△ A B C$ 关于 $x$ 轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(3)、点 $P$ 为 $y$ 轴上一点，且 $△ A_{1} O P$ 的面积为2，则点 $P$ 的坐标为______．

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6、解二元一次方程组：

(1)、 $\{\begin{array}{l} y = 3 x - 2 \\ 5 x - y = 6 \end{array}$ ；

(2)、 $\{\begin{array}{l} 2 x - 3 y = 4 \\ 4 x + 7 y = - 18 \end{array}$ ．

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7、计算：

(1)、 $\sqrt{12} - 3 \sqrt{\frac{1}{3}} + |\sqrt{3} - 2|$ ；

(2)、 $(3 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5}) - \frac{\sqrt{15} \times \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ ．

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8、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °, A C = 8, B C = 4$ ，点 $D$ 为斜边 $A B$ 的中点，连接 $D C$ ，过点 $D$ 作 $D E ⊥ D C$ 交直角边 $A C$ 于点 $E$ ，则线段 $A E$ 的长为．

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9、小明发现：在一次函数 $y = k x + b$ 中， $x$ 每增加1， $k x$ 增加k，b不变，因此 $y$ 也增加 $k$ ．即横坐标差为1时，纵坐标差等于 $k$ ．一次函数 $y = k x + b$ 经过点 $A (1, 1)$ ，当自变量 $x$ 增加2时，函数值 $y$ 增加4，则该一次函数的解析式为．

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10、为了提升校园安全管理效率，某中学在校门口安装了一套智能人脸识别闸机系统．如图所示，固定在闸机立柱上的摄像头（点 $A$ ）距离地面的高度 $A C$ 为1米．当一名身高（人脸距地面高度） $B D$ 为1.5米的学生站在距离闸机立柱水平距离1.2米（即 $C D = 1.2$ 米）的位置时，摄像头刚好能够对准该学生的人脸进行识别．则此时摄像头与该学生人脸之间的直线距离 $A B$ 为米．

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11、如图，在同一平面直角坐标系中，直线 $l_{1} : y = \frac{1}{3} x + b$ 与直线 $l_{2} : y = n x + 4$ 交于点 $A (3, - 1)$ ，则关于x，y的方程组 $\{\begin{matrix} y = \frac{1}{3} x + b \\ y = n x + 4 \end{matrix}$ 的解为．

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12、在平面直角坐标系中，有一个马的剪纸图案（如图），它盖住的点的坐标可能为．（写出一个满足条件的点即可）

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13、如图，在长方形自动化工作区 $A B C D$ 中，一台 $A G V$ 巡检小车 $P$ 从点 $A$ 出发，沿 $A \to B \to C \to D$ 的路径匀速运动，最终到达点 $D$ ．设小车运动的时间为 $x$ （秒）， $△ P A D$ 的面积为 $y$ （平方米）．已知 $y$ 与 $x$ 的函数图象是一个“梯形”，图象上的三个关键转折点坐标分别为 $(0, 0) 、 (4, 6) 、 (7, 6)$ ，最终在 $x = 11$ 时 $y$ 降为0．根据图像信息，下列关于工作区和运动过程的分析，错误的是（）

A、当 $x = 9$ 时， $△ P A D$ 的面积为3平方米 B、小车的运动速度为1米／秒 C、长方形 $A B C D$ 的周长为14米 D、在运动过程中， $△ P A D$ 的面积为2平方米的时间共有两个，且这两个时刻之和为10秒

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14、一次函数 $y = k x + b$ 的图象如图所示，则一次函数 $y = k x - k$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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15、下列命题中，真命题是（）

A、相等的角是对顶角 B、点 $P (3, 4)$ 到 $x$ 轴的距离是4 C、9的平方根是3 D、同旁内角相等，两直线平行

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16、《算法统宗》原文：“今有布三十尺，裁为衣与裙．裁衣每件用布四尺，裁裙每件用布二尺．衣裙共十件，布刚好用尽．问衣、裙各几何？”译文：“用三十尺布做衣服和裙子，做一件衣服要四尺布，做一条裙子要二尺布，最后总共做了十件，布正好用完．问衣服、裙子各做了几件？”设衣服做了 $x$ 件，裙子做了 $y$ 件，则下列方程组中正确的是（）

A、 $\{\begin{matrix} x + y = 10 \\ 4 x + 2 y = 30 \end{matrix}$ B、 $\{\begin{matrix} x + y = 10 \\ 2 x + 4 y = 30 \end{matrix}$ C、 $\{\begin{matrix} x + y = 30 \\ 4 x + 2 y = 10 \end{matrix}$ D、 $\{\begin{matrix} x + y = 30 \\ 2 x + 4 y = 10 \end{matrix}$

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17、五线谱是一种记谱法，通过五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律．如图，将一副三角尺的缩小模型摆放在五线谱上，其中 $∠ B C D = 30 °, ∠ B C E = 100 °$ ，则 $∠ F B D$ 的度数是（）

A、 $20 °$ B、 $30 °$ C、 $40 °$ D、 $50 °$

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18、某学校为了引入一款适合学生使用的“AI智能学习助手”，决定从五个维度对候选产品进行测试评分（满分100分）．这五个维度及其在总评分中的权重（比例）如表所示：
评价维度
交互响应速度
解题准确率
个性化推荐
内容丰富度
界面友好度
权重
$30 %$
$30 %$
$20 %$
$10 %$
$10 %$
候选产品A在这五项指标上的实测得分依次为：90分、80分、85分、90分、90分，则该产品A的最终加权平均得分是（）

A、 $85.5$ 分 B、86分 C、88分 D、87分

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19、下列各组数据中，能作为直角三角形的三边长的是（）

A、1，2，3 B、2，3，4 C、3，4，5 D、5，6，7

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20、下列各数中，无理数是（）

A、 $- \sqrt[3]{8}$ B、3.14 C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \sqrt{3}$

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评价维度	交互响应速度	解题准确率	个性化推荐	内容丰富度	界面友好度
权重	$30 %$	$30 %$	$20 %$	$10 %$	$10 %$

组别	平均数	众数	中位数	方差
甲	13	a	13	1.2
乙	13	13	b	3.4