相关试卷

1、如图，在平面直角坐标系中， $△ O A B$ 是等腰直角三角形， $∠ O A B = 90 °$ ， $A O = A B$ ，点 $B$ 的坐标为 $(2, 0)$ ，点 $A$ 在第一象限内，将 $△ O A B$ 沿 $O$ 到 $A$ 的方向平移 $6$ 个单位至 $△ O^{'} A^{'} B^{'}$ 的位置，则点 $B^{'}$ 的坐标为（　　）

A、 $(8, 3 \sqrt{2})$ B、 $(2 + 3 \sqrt{2}, 3 \sqrt{2})$ C、 $(3 \sqrt{2}, 3 \sqrt{2})$ D、 $(2, 3 \sqrt{2})$

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2、如图，某市三个城镇中心 $A$ ， $B$ ， $C$ 恰好分别位于一个等边三角形的三个顶点处，在三个城镇中心之间铺设通信光缆（图示中的实线），以城镇中心 $A$ 为出发点设计了三种连接方案，记所需光缆的长度分别为 $L_{1}, L_{2}, L_{3}$ ，对于 $L_{1}, L_{2}, L_{3}$ ，它们之间的关系正确的是．（　　）

A、 $L_{1} > L_{2} > L_{3}$ B、 $L_{3} > L_{2} > L_{1}$ C、 $L_{1} > L_{3} > L_{2}$ D、 $L_{3} > L_{1} > L_{2}$

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3、如图， $△ A B C$ 中， $∠ C = 45 °$ ， $∠ B = 120 °$ ． $B C$ 、 $A B$ 的中垂线 $D E$ 、 $F H$ 分别交 $B C$ 、 $C A$ 、 $A B$ 于D、E、F、H．若 $A H = 6$ ，则 $C E$ 的长度是（　　）

A、3 B、2 C、 $\frac{5}{2}$ D、4

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4、如图，这是一款手推车的平面示意图，其中 $A B ∥ C D, ∠ 1 = 36 °, ∠ 2 = 86 °$ ，则 $∠ 3$ 的度数为（　　）

A、 $104 °$ B、 $128 °$ C、 $130 °$ D、 $156 °$

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5、如图，在四边形 $A C D B$ 中， $A B ∥ C D$ ，添加下列条件后，不能判断四边形 $A C D B$ 是平行四边形的是（　　）

A、 $B D ∥ A C$ B、 $A B = C D$ C、 $A D = B C$ D、 $∠ B = ∠ C$

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6、下列四个多项式，能因式分解的是（　　）

A、 $a - 1$ B、 $a^{2} + 1$ C、 $x^{2} - 4 y$ D、 $x^{2} - 16 x + 64$

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7、如图， $▱ A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ， $A E$ 平分 $∠ B A D$ ，交 $B C$ 于点 $E$ ，且 $∠ A D C = 60 °$ ．

(1)、求证： $△ A B E$ 是等边三角形．

(2)、若 $\frac{A B}{B C} = m (0 < m < 1)$ ， $A C = 3 \sqrt{3}$ ，连结 $O E$ ．
①若 $m = \frac{1}{2}$ ，求 $▱ A B C D$ 的面积；
②设 $\frac{S_{四边形 O E C D}}{S_{△ A O D}} = k$ ，试求 $k$ 与 $m$ 之间满足的关系．

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8、如果关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程 $x^{2} + x = 0$ 的两个根是 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = - 1$ ，则方程 $x^{2} + x = 0$ 是“邻根方程”．

(1)、通过计算，判断方程 $x^{2} + 3 x + 2 = 0$ 是否为“邻根方程”．

(2)、已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - (m + 2) x + 2 m = 0$ 是“邻根方程”，求 $m$ 的值．

(3)、若关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + 2 = 0 (a > 0)$ 是“邻根方程”，令 $t = 12 a - b^{2}$ ，试求 $t$ 的最大值．

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9、在物理中，沿着一条直线且速度均匀地增大或减小的运动，叫作匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时间段内，初速度为10米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为 $\bar{v} = \frac{10 + 30}{2} = 20$ （米/秒）．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即 $s = \bar{v} t$ ）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动．

(1)、小球的滚动速度平均每秒减少________米，从开始到滚动了 $t$ 秒后小球的速度为________米/秒．

(2)、小球从开始到滚动21米用了多少秒？

(3)、小球在最后一秒滚动了多少米？

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10、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A E ⊥ B C$ 于点 $E$ ， $A F ⊥ C D$ 于点 $F$ ， $A E = 4$ ， $A F = 6$ ．若 $F$ 刚好是 $C D$ 的中点，则 $A D =$ ．

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11、如图1是一张等腰直角三角形纸片， $A C = B C = 12 \sqrt{3} cm$ ，现要求按照图2的方法裁剪几条宽度都为 $3 \sqrt{3} cm$ 的长方形纸条，用这些纸条为一幅正方形美术作品 $E F G H$ 镶边（如图3，纸条不重叠），正方形美术作品的面积为（）

A、 $\frac{27}{8} {cm}^{2}$ B、 $\frac{27}{4} {cm}^{2}$ C、 $\frac{27}{2} {cm}^{2}$ D、 $27 {cm}^{2}$

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12、如图，在 $▱ A B C D$ 中，连接 $B D$ ，过点 $A$ 作 $A E ⊥ B D$ ，垂足为 $E$ ．若 $B A = B D$ ， $∠ C = 75 °$ ，则 $∠ B A E$ 的度数为（）

A、 $75 °$ B、 $65 °$ C、 $60 °$ D、 $40 °$

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13、某地区2023年使用 $AI$ 工具的人数约为236万人，2025年达到270万人，若2023年至2025年间，每年的增长率都为 $x$ ，则下面所列方程正确的是（）

A、 $236 {(1 + x)}^{2} = 270$ B、 $270 {(1 + x)}^{2} = 236$ C、 $236 {(1 - x)}^{2} = 270$ D、 $270 {(1 - x)}^{2} = 236$

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14、数据0， $- 1$ ， 6，1， $x$ 的众数为 $- 1$ ，则这组数据的中位数是（）

A、6 B、 $- 1$ C、0 D、1

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15、若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 2 x + m - 1 = 0$ 有一个根为1，则 $m$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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16、综合与实践
【问题情境】“臻美数学客栈”社团课上，小班以改编教材课后习题的方式提出一个问题：如图1，在正方形 $A B C D$ 中，点E是 $B C$ 边上的任意一点， $A E ⊥ E P$ ， $E P$ 与正方形的外角 $∠ D C G$ 的平分线交于点P，说明 $A E = E P$ ．
【思考尝试】（1）①张金发现：在边 $A B$ 上截取 $A F = E C$ ，连接 $E F$ （如图2）便可以通过证明 $△ A E F ≌ △ E P C$ 解决这个问题．其中，说明 $∠ A F E = ∠ E C P$ 时，需先求得二者度数均为________；
②刘鼎有不一样的思路：延长 $A B$ 至点 $F$ ，使 $B F = B E$ ，连接 $C F$ ， $E F$ （如图3），通过证明四边形 $C F E P$ 是平行四边形后，巧妙地将证明 $A E = E P$ 的问题转化为证明 $A E = C F$ ．请写出刘鼎的证明过程．
【实践探究】（2）课后，张金受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图4，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $B C$ 边上一动点（点 $E$ ， $B$ 不重合）， $△ A E P$ 是等腰直角三角形， $∠ A E P = 90 °$ ，连接 $C P$ ， $∠ D C P$ 的大小是否改变？若不变，其度数为多少？请你思考并写出解答过程．
【拓展迁移】（3）刘鼎深入研究张金提出的这个问题后，在此基础上提出新的探究点：如图4，连接 $D P$ ．当正方形的边长确定时，可以确定 $A P + D P$ 的最小值．若记 $A B = a$ ，请你用含 $a$ 的代数式表示 $A P + D P$ 的最小值（直接写出答案）．

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17、

项目式学习．

项目背景

某校八年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，结合本阶段学习内容，他们对“勾股树”产生了浓厚的兴趣．

素材一

毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，被称为毕达哥拉斯树．

素材二

经过小组讨论，制定了如下规则：①画出不同类型三角形形成的树形图；②所画的基础三角形周长为 $8 cm$ ，其中一条边长固定为 $2 cm$ ，根据规则，三位同学分别画出了不同类型的树形图并进行探究．

【解决问题】

（1）任务一：小明画出了锐角 $△ A B C$ ， $A B = A C$ ， $B C = 2$ ，计算 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值，并写出过程；

（2）任务二：小金画出了直角 $△ D E F$ ， $∠ D F E = 90 °$ ， $E F = 2$ ，计算 $S_{2} + S_{3}$ 的值，并写出过程；

（3）任务三：小山画出了钝角 $△ G H I$ ， $∠ G I H = 120 °$ ， $H I = 2$ ，则 $S_{2} + S_{3} =$ ______．

【项目总结】

（4）综合以上三位同学的图形以及计算结果，小组成员大胆猜想结论：周长一定的情况下，由______（填“锐角”“直角”或“钝角”）三角形形成的 $(S_{1} + S_{2} + S_{3})$ 总面积最大．

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18、综合与实践
【问题情境】在数学课上，黄老师通过分组活动让同学们利用两个全等的含 $30 °$ 角的三角板进行拼图，并探究它们之间的关系．经测量，三角板斜边的长为 $12 cm$ ．
【操作探究】

(1)、如图1，逐梦组将三角板 $A B C$ 的边 $A C$ 与三角板 $D E F$ 的边 $F D$ 重合，得到的四边形 $A B C E$ ．证明四边形 $A B C E$ 是平行四边形．

(2)、如图2，追光组将三角板 $D E F$ 沿三角板 $A B C$ 的边 $C A$ 平移一定距离时，得到四边形 $B F E C$ 是矩形，且点 $D$ 在 $A C$ 上，求三角板 $D E F$ 平移的距离 $A F$ ．

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19、小芳在解决问题：已知 $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ，求 $2 a^{2} - 8 a + 1$ 的值．她是这样分析与解的：
$a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$ ， $∴ a = 2 - \sqrt{3}$ ，
$∴ {(a - 2)}^{2} = 3$ ， $a^{2} - 4 a + 4 = 3$ ， $∴ a^{2} - 4 a = - 1$ ，
$∴ 2 a^{2} - 8 a + 1 = 2 (a^{2} - 4 a) + 1 = 2 \times (- 1) + 1 = - 1$ ．
请你根据小芳的分析过程，解决如下问题：

(1)、计算： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2026} + \sqrt{2025}}$ ．

(2)、若 $a = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ ．
①求 $5 a^{2} - 10 a + 2$ 的值；
②求 $3 a^{3} - 12 a^{2} + 9 a - 10$ 的值．

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20、如图，阴影部分是某学校八（6）班的班级菜园，经测量， $A B = A C = 13 m$ ， $B D = 6 m$ ， $C D = 8 m$ ， $B C = 10 m$ ．

(1)、求证： $△ B C D$ 是直角三角形．

(2)、八（6）班计划将班级菜园全部种植西红柿，已知购买每平方米土地上栽种的西红柿苗需要9元，求购买西红柿苗总共需要的费用．

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