相关试卷

1、
综合与实践
【问题背景】
图1展示了光线反射定律： $E F$ 是镜面 $A B$ 的垂线，一束光线 $m$ 射到平面镜 $A B$ 上，被 $A B$ 反射后的光线为 $n$ ，则入射光线 $m$ ，反射光线 $n$ 与垂线 $E F$ 所夹的锐角相等，即 $∠ 1 = ∠ 2$ ．
【理解原理】
（1）在图1中，请判断 $∠ 3$ 与 $∠ 4$ 的数量关系，并说明理由．
（2）利用光的反射定律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图， $A B$ ， $C D$ 是平行放置的两面平面镜，已知光线经过平面镜反射时，有 $∠ 1 = ∠ 2, ∠ 3 = ∠ 4$ ．为什么进入潜望镜的光线 $E F$ 和离开潜望镜的光线 $G H$ 是平行的？
【尝试探究】
（3）改变两平面镜 $A B, C D$ 之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线与反射光线之间的位置关系会随之改变．图3中， $∠ A B C = α$ ，入射光线 $F E$ 经两次反射后，反射光线 $G H$ 与 $F E$ 平行但方向相反，请直接写出 $α$ 的值．

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2、阅读与探究

下面是张老师给出的例题及解答过程．

已知 $a, b$ 是有理数，并且满足： $\sqrt{3} a + 4 = a + 2 \sqrt{3} + 2 b$ ，求 $a, b$ 的值．

解： $∵ \sqrt{3} a + 4 = a + 2 \sqrt{3} + 2 b$ ，

$∴ \sqrt{3} a + 4 = 2 \sqrt{3} + (a + 2 b)$ ，

根据有理数部分和无理数部分分别对应相等，

可得 $a = 2, a + 2 b = 4$ ，

把 $a = 2$ 代入 $a + 2 b = 4$ ，解得 $b = 1$ ，

$∴ a$ 的值为 $2, b$ 的值为1．

请根据上述方法解答下列问题：

(1)、若有理数

a, b

满足

5 \sqrt{2} + 1 = b + \sqrt{2} a + 3

，求

a, b

的值；

(2)、若有理数

a, b

满足

4 b + \sqrt{3} (2 a - 1) = 1 + 5 \sqrt{3} - a

，求

3 a + 4 b - 3

的平方根．

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3、如图， $A B ∥ C D$ ， $∠ B C D = 70 °$ ， $∠ C B F = 20 °$ ， $∠ B F E = 130 °$ ．

(1)、请补全下面的解答过程，证明 $A B ∥ E F$ ．
证明： $∵ A B ∥ C D, ∠ B C D = 70 °$ ，
$∴ ∠ B C D =$ __________ $= 70 °$ （__________），
$∵ ∠ C B F = 20 °$ ，
$∴ ∠ A B F = ∠ A B C -$ __________ $= 70 ° - 20 ° = 50 °$ ，
$∵ ∠ B F E = 130 °$ ，
$∴ ∠ A B F + ∠ B F E = 50 ° + 130 ° = 180 °$ ，
$∴$ _____ $∥$ $E F$ （__________）．

(2)、若 $∠ C E F = 70 °$ ，求 $∠ A C B$ 的度数．

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4、春天到了，七年级（1）班组织同学到公园春游，出发前李明将部分地点的位置标注在平面直角坐标系中，如图所示，中心广场的坐标为 $(0, 0)$ ，牡丹园的坐标为 $(3, 3)$ ．

(1)、根据以上信息，请在示意图中画出建立的平面直角坐标系；

(2)、请写出下列各地点的坐标：竹林__________，湖心亭__________，西门__________；

(3)、 $(- 2, - 1)$ 表示的位置是__________（填地点名）；

(4)、已知游乐园 $A$ ，音乐台 $B$ 的坐标分别为 $(2, - 2)$ 和 $(0, 4)$ ，请在图中标出 $A$ ， $B$ 的位置．

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5、解方程组：

(1)、 $\{\begin{array}{l} x = 2 y ① \\ x - y = 6 ② \end{array}$

(2)、 $\{\begin{array}{l} 2 x + y = 5 ① \\ x - y = 1 ② \end{array}$

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6、计算：

(1)、 $|- 5| + 2^{2} + 2 \times (- 3)$ ；

(2)、 $3 + |1 - \sqrt{2}| + \sqrt[3]{- 8}$ ．

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7、如图，动点 $A$ 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点运动到点 $A_{1} (1, 1)$ ，第二次接着运动到点 $A_{2} (2, 0)$ ，第三次接着运动到点 $A_{3} (3, 2)$ ， ……按这样的运动规律，点 $A_{2026}$ 的坐标为．

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8、点 $A (- 1, 2)$ 在第象限．

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9、已知 $\sqrt{102.1} \approx 10.1, \sqrt{10.21} \approx 3.2$ ，则 $\sqrt{1.021} \approx$ （）

A、 $0.32$ B、 $0.101$ C、 $0.032$ D、 $1.01$

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10、下列算式中正确的是（）

A、 $\sqrt[3]{- 1} = - 1$ B、 $\sqrt{{(- 2)}^{2}} = - 2$ C、 $\sqrt[3]{{(- 7)}^{3}} = 7$ D、 $\sqrt{64} = \pm 8$

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11、若点 $P (m + 2, m)$ 在 $x$ 轴上，则点 $P$ 坐标为（）

A、 $(2, 0)$ B、 $(- 2, 0)$ C、 $(0, 2)$ D、 $(0, - 2)$

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12、数学兴趣小组研究三角板中的数学问题，在 $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 中， $∠ A C B = ∠ D F E = 90 °$ ， $∠ B A C = 30 ° ， ∠ D E F = 45 °$ ，且有两条互相平行的直线 $M N ∥ P Q$ ．

(1)、如题1图，将三角尺 $△ A B C$ 的顶点A、B分别置于直线 $M N$ 、 $P Q$ 上，当线段 $A C$ 恰好平分 $∠ N A B$ 时，求证： $B C$ 平分 $∠ A B Q$ ；

(2)、如题2图，将三角尺 $△ A B C$ 的边 $A B$ 与直线 $P Q$ 重合，另一块三角尺 $△ D E F$ 沿 $A C$ 所在直线向上平移，平移后 $△ D E F$ 与直线 $M N$ 交于点G、H．若 $H I$ 平分 $∠ N H D$ ， $D I$ 平分 $∠ A D H$ ，求 $∠ H I D$ 的度数；

(3)、如题3图，初始状态下，三角尺 $△ A B C$ 的顶点A，C与三角尺 $△ D E F$ 的顶点D，E共线，且 $△ A B C$ 的边 $A B$ 与直线 $P Q$ 重合．现让 $△ A B C$ 绕点A以每秒 $5 °$ 的速度顺时针旋转，当边 $A C$ 与直线 $P Q$ 重合时停止运动．在旋转过程中，若 $B C$ 的对应边 $B^{'} C^{'}$ 与 $△ D E F$ 的某一条边平行，直接写出旋转的时间．

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13、
综合与实践
活动主题：借助图形直观感受数与形之间的关系
初步应用
（1）如图，一个大长方形被分割为4个大小不同的小长方形，通过用两种不同方法计算大长方形的面积，可推导出整式乘法的运算规律，请用图中标注的字母写出对应的等式：．
拓展创新
（2）仿照（1）中面积法的思路，画出图形，并计算 $(2 a + b) (a + b + c)$ ．
迁移应用
（3）若式子 $(2 x + p) (x + p + 1) = 2 x^{2} + 8 x + m$ 无论x为多少时恒成立，求m的值．

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14、如图，在 $△ A B C$ 中，延长 $B C$ 至点D．

(1)、尺规作图：在 $∠ A C D$ 内部作射线 $C E$ ，使得 $C E ∥ A B$ ；

(2)、在（1）的条件下，若 $C E$ 平分 $∠ A C D$ ，判断 $∠ A$ 与 $∠ B$ 的关系，并说明理由．

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15、在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共40个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数
58
96
116
295
484
601
摸到白球的频率
0.58
0.64
0.58
0.59
0.605
0.601

(1)、若从口袋里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为（精确到0.01）；

(2)、估算口袋里黑球的个数；

(3)、若向口袋里再放入n个除颜色以外其他完全相同的球，这n个球中白球有2个，然后每次将球搅拌均匀后，任意取出一个球，记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在 $50 %$ 附近，估算n的值．

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16、如图， $F G ∥ C D, ∠ 1 = ∠ 2, ∠ A C B = 70 °$ ．求 $∠ D E C$ 的度数．

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17、先化简，再求值： $[{(x y - 2)}^{2} - 2 (x^{2} y^{2} + 2)] \div (x y)$ ．其中 $x = 1, y = - \frac{1}{2}$ ．

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18、计算：

(1)、 ${(- 2)}^{3} + 2026^{0} + {(\frac{1}{2})}^{- 2}$ ；

(2)、 ${(- 2 x^{2})}^{3} + x^{2} \cdot x^{4} - {(- 3 x^{3})}^{2}$

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19、如图，两个正方形的边长分别为 $a$ 和 $b$ ，若 $a + b = 4$ ， $a^{2} + b^{2} = 12$ ，则阴影部分的面积为．

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20、如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝45°，AD是△ABC的一条角平分线，则∠ADB＝．

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摸球的次数	100	150	200	500	800	1000
摸到白球的次数	58	96	116	295	484	601
摸到白球的频率	0.58	0.64	0.58	0.59	0.605	0.601