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1、【问题原型】华师版数学教材八年级下册第141页有这样一道题：

(1)、如图①，在正方形 $A B C D$ 中， $C E ⊥ D F$ ，求证： $C E = D F$ ；
请你完成这一问题的证明过程；

(2)、【问题应用】在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $E$ 、 $F$ 分别是边 $A B$ 、 $B C$ 上的点，且 $A E = B F$ ．
如图②，连接 $C E$ 、 $D F$ 交于点 $G$ ， $H$ 为 $G E$ 的中点，连接 $D H$ 、 $F H$ ．当 $E$ 为 $A B$ 的中点时，四边形 $C D H F$ 的面积为；

(3)、如图③，连接 $D E$ 、 $D F$ ，当点 $E$ 在边 $A B$ 上运动时， $D E + D F$ 的最小值为．

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2、已知 $A$ 、 $B$ 两地之间有一条长为 $440 k m$ 的笔直公路，甲、乙两车分别从 $A$ 、 $B$ 两地同时出发，沿此公路相向而行．甲车先以 $100 k m / h$ 的速度匀速行驶，距离 $B$ 地 $240 k m$ 时与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶 $4 h$ 到达 $B$ 地；乙车匀速行驶至 $A$ 地，两车和 $B$ 地的距离 $y (k m)$ 与甲车的行驶时间 $x (h)$ 之间的函数关系图象如图所示．

(1)、填空： $m =$ ， $n =$ ；

(2)、求两车相遇后，甲车和 $B$ 地的距离 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

(3)、在两车行驶的过程中，甲车行驶多长时间时，两车相距 $80 k m$ ，请直接写出答案．

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3、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $F$ 是边 $D C$ 的中点，过点 $F$ 作 $F E ∥ A D$ ，交 $A B$ 于点 $E$ ．连接 $E D$ 、 $E C$ ，作 $C G ∥ D E$ ，交 $E F$ 的延长线于点 $G$ ，连接 $D G$ ．

(1)、求证：四边形 $D E C G$ 是平行四边形；

(2)、当 $D E$ 平分 $∠ A D C$ 时，求证：四边形 $D E C G$ 是矩形．

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4、某汽车厂去年每季度汽车销售辆数占当季度汽车生产辆数的百分比统计图如图所示，根据统计图有关信息解答下列问题．

(1)、若第三季度销售汽车3900辆．
①求第三季度的汽车产量；
②若每个季度的汽车生产辆数相同，求四个季度的汽车销售辆数的中位数；

(2)、已知该厂去年全年生产汽车20000辆，并通过两个不同渠道获得去年全年的汽车销售辆数分别为16500辆和15500辆的信息，请问哪个数据更有可信度？为什么？

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5、如图，直线 $l$ ： $y = a x + 3$ 交 $x$ 轴于点 $A (6, 0)$ ，将直线 $l$ 向下平移4个单位长度得到的直线分别交 $x$ 轴、 $y$ 轴于点 $B$ 、 $C$ ．

(1)、求 $a$ 的值及点 $B$ 的坐标；

(2)、点 $M$ 为线段 $O A$ 上一点，连接 $C M$ ，若 $△ B C M$ 是以 $B C$ 为腰的等腰三角形，直接写出符合条件的点 $M$ 的坐标．

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6、图①、图②、图③均是 $5 \times 5$ 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，图①、图②、图③中线段 $A B$ 的端点均在格点上．在图①、图②、图③中分别以 $A B$ 为对角线画一个四边形 $A C B D$ ，使该四边形的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图．

(1)、在图①中画一个矩形 $A C B D$ ，使其面积为3；

(2)、在图②中画一个正方形 $A C B D$ ；

(3)、在图③中画一个 $▱ A C B D$ ，使其面积为10．

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7、已知一次函数 $y = (10 - m) x - m$ ．

(1)、若 $y$ 随 $x$ 的增大而增大，求 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $m = 1$ ，当 $- \frac{1}{3} < x < 2$ 时，直接写出 $y$ 的取值范围．

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8、如图，已知矩形 $A B C D$ ， $A E$ 平分 $∠ D A B$ ，交 $D C$ 的延长线于点 $E$ ，过点 $E$ 作 $E F ⊥ A B$ ，垂足 $F$ 在边 $A B$ 的延长线上，求证：四边形 $A D E F$ 是正方形．

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9、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A B = 3$ ， $B C = C D = 2$ ， $A D = \sqrt{17}$ ．

(1)、求 $A C$ 的长；

(2)、求四边形 $A B C D$ 的面积．

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10、如图，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 是对角线 $A C$ 上的一点，作 $E F ⊥ A B$ 于点 $F$ ，连接 $D E$ ，若 $B C = 9$ ， $B F = 3$ ，则 $D E =$ ．

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11、如图，菱形 $A B C D$ 的周长为20， $E$ 是 $A C$ 的中点， $F$ 是 $A B$ 的中点，连接 $E F$ ，则 $E F =$ ．

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12、若一次函数 $y = k x + b$ （ $b$ 是常数）的图象经过第二、三、四象限，则 $k b$ 0（填“ $>$ ”或“ $<$ ”）．

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13、如图，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ， $∠ A O D = 120 °$ ，若 $A B = 3 c m$ ，则 $A C =$ $c m$ ．

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14、将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，小水杯中有部分水，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度 $h (c m)$ 与注水时间 $t (m i n)$ 的函数图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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15、如图，直线 $y = - 2 x + 1$ 与直线 $y = k x + b$ （ $k$ ， $b$ 为常数， $k \neq 0$ ）相交于点 $A (- 2, 5)$ ，则关于 $x$ 的不等式 $- 2 x + 1 < k x + b$ 的解集为（）

A、 $x > - 1$ B、 $x < - 2$ C、 $x > - 2$ D、 $x < - 1$

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16、如图，在 $▱ A B C O$ 中，顶点 $O$ 、 $A$ 、 $C$ 的坐标分别为 $(0, 0)$ 、 $(2, 3)$ 、 $(2 \sqrt{5}, 0)$ ，则顶点 $B$ 的坐标为（）

A、 $(6, 3)$ B、 $(3, 6)$ C、 $(0, 6)$ D、 $(2 + 2 \sqrt{5}, 3)$

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17、如图， $A C$ 为菱形 $A B C D$ 的对角线，已知 $∠ D = 140 °$ ，则 $∠ B C A$ 等于（）

A、 $40 °$ B、 $30 °$ C、 $20 °$ D、 $15 °$

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18、如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y = a x^{2} + \frac{3}{2} x + c (a \neq 0)$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A (- 1,0) 、 B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C (0,2)$ ．

(1)、求二次函数的表达式；

(2)、连接 $B C$ ，点 $P$ 是第一象限内二次函数图象上的点，过点 $P$ 作 $P H ⊥ B C$ 于点 $H$ ，求线段 $P H$ 的最大值；

(3)、连接 $A C$ ，点 $D$ 与点 $C$ 关于原点成中心对称，在二次函数的图象上找一点 $E$ ，作射线 $D E$ ，使 $∠ B D E = ∠ A C O$ ，求点 $E$ 的纵坐标．

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19、综合与实践 $— —$ 探索五角星的奥秘
节日前夕，有时需要制作许多五角星．我们用折纸的方法，探索五角星的制作过程．

(1)、如图 $1$ ，先将一张正方形的纸片沿 $M N$ 对折，再找到 $M N$ 的中点 $O$ ，将平角 $∠ M O N$ 五等分，得到图 $2$ ，接着沿图中的虚线依次对折，得到图 $3$ ，然后过点 $N$ 作 $N Q ⊥ O P$ 于点 $Q$ ，得到图 $4$ ，最后沿 $N Q$ 把图 $4$ 中的阴影部分剪掉，将余下部分展开，就得到图 $5$ 所示的一个正五边形．请直接写出正五边形的内角和为．

(2)、连接图 $5$ 中正五边形的对角线，得到图 $6 .$ 请根据图 $6$ ，完成下列问题：
①求 $∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 + ∠ 5$ 的度数；

(3)、把图 $4$ 剪掉阴影部分后，得到图 $7$ ，然后沿 $N R$ 把图 $7$ 中的阴影部分剪掉，展开余下部分，将得到一个五角星．例如，当 $∠ R N Q = 25^{\circ}$ 时，得到的五角星如图 $8$ 所示；若使展开后的五角星如图 $6$ 所示，则 $∠ R N Q$ 的度数为．

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20、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D ⊥ A B$ 于点 $E$ ，连接 $A C$ ，过点 $D$ 的直线分别与 $A B 、 A C$ 的延长线交于点 $F 、 G$ ，且 $∠ A = \frac{1}{2} ∠ C D G$ ．

(1)、求证： $D G$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A B = 10, C D = 6$ ，求 $B F$ 的长．

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