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1、配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形，并结合非负数的意义来解决问题．
例如 $x^{2} + 4 x + 6 = (x^{2} + 4 x + 4) + 2 = {(x + 2)}^{2} + 2$ ．可知当 ${(x + 2)}^{2} = 0$ ，即 $x = - 2$ 时， $x^{2} + 4 x + 6$ 有最小值，最小值是2．
根据阅读材料，解决下列问题：

(1)、代数式 $x^{2} - 4 x - 7$ 的最小值为________；

(2)、已知 $△ A B C$ 的三边长a，b，c，且满足 $a^{2} + b^{2} - 6 a - 10 b + 34 = 0$ ，求边c的取值范围；

(3)、已知 $P = 3 m^{2} + 4 n + 19$ ， $Q = m^{2} - n^{2} + 12 m - 4$ ，试比较P，Q的大小．

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2、定义：若一个两位数k，满足 $k = m^{2} + m n + n^{2}$ （m，n为正整数），则称该两位数k为“近似完全平方数”，记 $S_{(k)} = m + n$ ．例如： $39 = 2^{2} + 2 \times 5 + 5^{2}$ ，则39是一个“近似完全平方数”，且 $S_{(39)} = 2 + 5 = 7$ ．若两位数k是最小的“近似完全平方数”，则k的值为 $___________$ ；若两位数k是“近似完全平方数”且满足 $S_{(k)} = \frac{k + 35}{12}$ ，则k的最大值为．

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3、如图，一副直角三角板（ $∠ A B C = 45 °$ ， $∠ E F D = 60 °$ ）的斜边分别与直线 $a$ 、 $b$ 重合，且 $a ∥ b$ ，将 $△ A B C$ 、 $△ D E F$ 分别绕点 $B$ 、点 $E$ 以每秒 $4$ 度和每秒 $2$ 度的速度同时逆时针旋转， $△ A B C$ 转动一周回到初始位置时，两块三角板同时停止转动，设时间为 $t$ 秒，当 $A C$ 与 $△ D E F$ 的一边平行时， $t$ 的值为．

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4、如图，D是等边 $△ A B C$ 内一点，连接 $A D ， B D ， C D$ ，以 $A D$ 为边作等边 $△ A D E$ ，使得点E在直线 $A C$ 的右侧，若 $∠ A D B = x °$ ， $∠ B D C = y °$ ，且 $△ C D E$ 是以 $D E$ 为腰的等腰三角形，则x与y的关系是．

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5、如图，将 $△ A B C$ 的边 $A B, B C, C A$ 分别延长至点D，E，F，使得 $A B = B D$ ， $B C = C E$ ， $C A = A F$ ，再连接 $D E, E F, F D$ ．现随机向 $△ D E F$ 内投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率是．

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6、已知 $x + 2 y + 2 = 0$ ，则 $3^{x} \cdot 9^{y} =$ ．

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7、如图，已知 $△ A B C$ ，点D为 $B C$ 边上一点，点E为 $△ A B C$ 外一点，连接 $A E$ 交 $B C$ 于点F，连接 $A D$ ， $D E$ ，有 $∠ B = ∠ E = 40 °$ ， $∠ B A E = 60 °$ ，且 $∠ A D C = 70 °$ ．

(1)、求证： $B D = D E$ ；

(2)、若 $A B = C D$ ，求 $∠ A C D$ 的大小．

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8、如图所示的程序是一个数值转换程序，其中输入x的值满足 $- 3 \leq x \leq 4$ ．

(1)、若输入x的值为 $- 1$ ，求输出的结果为多少；

(2)、事件“输入任一符合条件的x，则输出的结果不小于1”是一个________事件（填随机或必然）；

(3)、若所输入的值是满足条件的整数，求输出结果为2的概率．

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9、先化简，再求值： $[{(x + 2 y)}^{2} - 2 (x + y) (x - y) + x (x - 2 y)] \div (- \frac{1}{3} y)$ ，其中x，y满足 ${(x + 1)}^{2} + | y - 2 | = 0$ ．

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10、计算下列各题

(1)、 $- 1^{2026} + {(π - 3)}^{0} - {(- \frac{1}{3})}^{2} + |- 2|$ ；

(2)、 ${(x + 3)}^{2} - (x - 2) (x - 3)$ ．

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11、若代数式 $x^{2} - k x + 9$ 是一个完全平方式，则实数 $k =$ ．

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12、有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为 $2 a + b$ 、宽为 $a + 3 b$ 的长方形，需要B类卡片张．

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13、如图，太阳能热水器的支架形状通常为三角形，其中蕴含的数学原理是．

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14、如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心 $O$ 的光线相交于点 $P$ ，点 $F$ 为该凸透镜的焦点．若 $∠ 2 = 25 °$ ， $∠ 3 = 60 °$ ，则 $∠ 1$ 的度数为（）

A、 $125 °$ B、 $130 °$ C、 $135 °$ D、 $145 °$

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15、下列结论正确的是（）

A、两直线被第三条直线所截，同位角相等 B、过一点有且只有一条直线与这条直线平行 C、直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到这条直线的距离 D、两直角边分别相等的两直角三角形全等

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16、在下列条件中，不能确定 $△ A B C$ 是直角三角形的条件是（）

A、 $∠ A = ∠ B - ∠ C$ B、 $∠ A - ∠ B = 90 °$ C、 $∠ A : ∠ B : ∠ C = 2 : 3 : 5$ D、 $∠ A = \frac{1}{2} ∠ B = \frac{1}{3} ∠ C$

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17、如图， $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 5$ ，点P是边 $B C$ 上的动点，则 $A P$ 长不可能是（）

A、4 B、6 C、7 D、8

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18、下列成语所反映的事件中，可能性大小最小的事件是（）

A、水中捞月 B、一箭双雕 C、旭日东升 D、绳锯木断

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19、《孙子算经》中记载的“蚕所吐丝为忽，十忽为秒，十秒为毫，十毫为厘，十厘为分”说明了长度计量单位之间的关系：1秒 $= 10$ 忽，1毫 $= 10$ 秒，1厘 $= 10$ 毫，1分 $= 10$ 厘，5忽 $=$ （）

A、 $5 \times 10^{3}$ 分 B、 $5 \times 10^{4}$ 分 C、 $5 \times 10^{- 3}$ 分 D、 $5 \times 10^{- 4}$ 分

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20、下列计算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{2} = 2 a^{4}$ B、 ${(a - 2)}^{2} = a^{2} - 4$ C、 $6 a^{2} \div (- 3 a^{2}) = - 2 a^{2}$ D、 ${(- a^{2})}^{3} = - a^{6}$

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