相关试卷

1、平面直角坐标系 $x O y$ 中，对于点A，直线 $l$ （点A不在 $l$ 上）和 $⊙ C$ ，给出如下定义：若点A关于直线 $l$ 的对称点 $A^{'}$ 在 $⊙ C$ 上，则称点A是 $⊙ C$ 关于直线l的映像点，称线段 $A A^{'}$ 的长度为点A与 $⊙ C$ 的映像距离．

(1)、如图，⊙O的半径为1，直线 $l_{1} : y = x + 2$ ．
①在点 $A_{1} (- 2, 2)$ ， $A_{2} (- 1 ， \frac{3}{2})$ ， $A_{3} (- 2, 1)$ 中，点是 $⊙ O$ 关于直线 $l_{1}$ 的映像点，该点与 $⊙ O$ 的映像距离为．
②点B是 $⊙ O$ 关于直线 $l_{1}$ 的映像点，当点B与 $⊙ O$ 的映像距离最小时，点B的坐标为；

(2)、已知点 $E (- 2, - 1)$ ， $F (2, - 1)$ ，点D在y轴的正半轴上且 $△ D E F$ 为等边三角形．点 $T (t ， 2)$ ， $⊙ T$ 的半径为1．若 $△ D E F$ 上存在 $⊙ T$ 关于直线 $l_{2} : y = (k + 1) x - 2 k$ 的映像点，直接写出t的取值范围．

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2、在平面直角坐标系中，二次函数 $y = a x^{2} + b x + 3 a$ 的图象过点 $A (1, t)$ ， $B (3, t)$ ．

(1)、求a与b之间关系；

(2)、已知二次函数的 $y = a x^{2} + b x + 3 a$ 最小值为 $a^{2} - 6$ ．
①求该二次函数的表达式；
②若 $M (x_{1}, m)$ ， $N (x_{2}, m)$ 为该二次函数图象上的不同两点，且 $m \neq 0$ ，求证： $\frac{{(x_{1} - 3)}^{2}}{m} = \frac{1 - x_{2}}{2 (x_{1} - 1)}$ ．

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3、【综合与探究】
问题情境：将矩形 $A B C D$ 绕点C顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形 $A^{'} B^{'} C D^{'}$ ，点A，B，D的对应点分别为点 $A^{'}$ ， $B^{'}$ ， $D^{'}$ ，设直线 $A D$ 与直线 $A^{'} D^{'}$ 交于点E．
猜想证明：

(1)、猜想 $D E$ 与 $D^{'} E$ 的数量关系，并证明；

(2)、如图②，在旋转的过程中，当点 $B^{'}$ 恰好落在矩形 $A B C D$ 的对角线 $B D$ 上时，点 $A^{'}$ 恰好落在 $A D$ 的延长线上（即点 $A^{'}$ 与点E重合），连接 $A^{'} C$ ，求证：四边形 $A^{'} D B C$ 是平行四边形．

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4、
【项目背景】近年来，随着科技的飞速发展，人工智能（ $AI$ ）逐渐走进人们的日常生活． $AI$ 技术已广泛应用于手机、家居、医疗、教育等领域，为社会进步做出了巨大贡献．某研究小组对不同人工智能软件使用情况进行调查统计，为人工智能的开发者提供一些参考．
【数据收集与整理】
研究小组对市面上不同的 $AI$ 软件进行整理，请使用者进行评价打分．从使用较好甲、乙两款 $AI$ 软件的评价得分中，分别随机抽取了 $20$ 个使用者的打分（百分制）数据，进行整理．成绩均高于 $90$ 分（成绩得分用 $x$ 表示，共分为五组：
$A$ ： $98 < x \leq 100$ ； $B$ ： $96 < x \leq 98$ ； $C$ ： $94 < x \leq 96$ ； $D$ ： $92 < x \leq 94$ ； $E$ ： $90 < x \leq 92$ ）
下面给出了部分信息：
甲款 $AI$ 软件 $20$ 名使用者打分为：
$92, 94, 94, 94, 95, 95, 97, 97, 97, 98, 98, 99, 99, 99, 100, 100, 100, 100, 100, 100$ ．
乙款 $AI$ 软件 $20$ 名使用者打分在 $B$ 等级的数据是：
$97, 97, 98, 98, 98, 98$ ．
甲、乙两款 $AI$ 软件抽取的使用者打分统计表
软件
平均数
众数
中位数
甲款 $AI$ 软件
97.5
a
98
乙款 $AI$ 软件
97.5
99
b
根据所给信息，请完成以下所有任务．
（1）上述表中 $a =$ ； $b =$ ；
【数据分析与运用】
（2）求扇形统计图中 $A$ 组所占圆心角的度数；
（3）下列结论一定正确的是．
①甲乙两款 $AI$ 样本数据的中位数均在A组；
②得分 $96$ 分以上的样本数据甲乙一样多；
③甲乙两款 $AI$ 样本数据的满分一样多；
（4）根据甲、乙两款 $AI$ 软件样本的特征数，试估计哪款 $AI$ 更优，并说明理由．

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5、定义：我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆．爱动脑筋的小明思考：任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖，那三角形的外接圆一定是该三角形的最小覆盖圆吗？如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 120 °$ ， $A C = 3$ ， $B C = 2$ ．

(1)、在图中，作出 $△ A B C$ 的外接圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

(2)、 $△ A B C$ 的外接圆是它的最小覆盖圆吗？如果是，请说明理由：如果不是，请求出该三角形的最小覆盖圆的直径．

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6、解不等式组： $\{\begin{matrix} 5 x - 2 < 3 (x + 1) \\ \frac{2 x - 2}{3} > x - 1 \end{matrix}$ ．

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7、《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：“用一根绳子去量一根木条的长，绳子还剩余4.5尺：将绳子对折再量木条，则木条还剩余1尺，问木条长多少尺？”现设木条长 $x$ 尺，绳子长 $y$ 尺，则可列方程组为（）

A、 $\{\begin{array}{l} x - y = 4.5 \\ 2 x - y = 1 \end{array}$ B、 $\{\begin{array}{l} x - y = 4.5 \\ 0.5 y - x = 1 \end{array}$ C、 $\{\begin{array}{l} y - x = 4.5 \\ 2 x - y = 1 \end{array}$ D、 $\{\begin{array}{l} y - x = 4.5 \\ x - \frac{y}{2} = 1 \end{array}$

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8、某校用标准视力表检查全校学生的视力，并将学生的视力情况绘制成如图所示的扇形统计图．若视力为“ $5.1$ 及以上”的学生有 $300$ 人，则下列说法中不正确的是（）

A、该校学生的总人数为 $2000$ B、视力为 $4.6 ~ 4.7$ 的学生有 $1000$ 人 C、视力为 $4.8 ~ 5.0$ 的学生有 $600$ 人 D、视力为 $4.6 ~ 4.7$ 的学生比视力为 $4.8 ~ 5.0$ 的学生多 $200$ 人

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9、如图，能使 $A B$ $∥ C D$ 的条件是（　　）

A、 $∠ 3 = ∠ 4$ B、 $∠ 1 = ∠ 2$ C、 $∠ B + ∠ B A D = 180 °$ D、 $∠ B = ∠ D$

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10、一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地， $\frac{2}{5}$ 小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向B地，货车到达B地装货耗时15分钟，然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：

(1)、求A，B两地之间的距离及a的值；

(2)、求线段 $F G$ 所在直线的函数表达式；

(3)、货车出发多少小时两车第一次相距15千米？

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11、如图，在 $▱ A B C D$ 中，点E，F分别是 $A B ， C D$ 上的两点．且 $A E = C F$ ． $A F ， D E$ 相交于点M， $B F ， C E$ 相交于点N．

(1)、写出图中除 $▱ A B C D$ 外的所有平行四边形；

(2)、求证： $E N = M F$ ．

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12、如图2 - 4所示，长方形ABCD的长为5 cm，宽为4 cm，如果将它的长和宽都减去x(cm)，那么它剩下的小长方形AB^'C^'D^'的面积为y(cm²)．
(1)写出y与x的函数关系式；
(2)上述函数是什么函数?
(3)自变量x的取值范围是什么?

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13、函数 $y_{1} = k x$ 与 $y_{2} = 5 - x$ 的图象如图所示，当 $y_{1} > y_{2} > 0$ 时， $x$ 的取值范围是．

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14、如图，在 $▱ A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ， $A B ⊥ A C$ ，垂足为点 $A$ ， $E F$ 过点 $O$ ，交 $A D$ 于点 $F$ ，交 $B C$ 于点 $E$ ．若 $A B = 6$ ， $B C = 10$ ，则图中阴影部分的面积是．

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15、如图，直线 $l ⊥ x$ 轴于点 $P$ ，且与反比例函数 $y = \frac{k_{1}}{x}$ 和 $y = \frac{k_{2}}{x}$ 的图象分别交于点 $A$ 和 $B$ ，连接 $O A$ 和 $O B$ ，若 $k_{1} - k_{2} = 5$ ，则 $△ A O B$ 的面积是（）

A、5 B、3 C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{5}{2}$

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16、【综合与实践】
在第六章《几何图形初步》中，我们学习了角的平分线，通过折纸的方法可以作角的平分线．如图1，将纸片上的 $∠ P Q R$ 对折，使角的一边 $Q P$ 与角的另一边 $Q R$ 重合，得折痕 $Q M$ ，此时 $∠ P Q M$ 与 $∠ R Q M$ 完全重合，因此 $∠ P Q M = ∠ R Q M$ ．展开纸片后，射线 $Q M$ 即为 $∠ P Q R$ 的平分线．
【探究1】
（1）如图2，在长方形纸片 $A B C D$ 的边 $A B ， C D$ 上分别取点 $E ， F$ ，连接 $E F$ ．若将 $∠ B E F$ 对折，点 $B$ 落在直线 $E F$ 上的点 $B^{'}$ 处，得折痕 $E M$ ；再将 $∠ A E F$ 对折，点 $A$ 落在直线 $E F$ 上的点 $A^{'}$ 处，得折痕 $E N$ ，则 $∠ N E M =$ ___________ $°$ ．
【探究2】
（2）如图3，在长方形纸片 $A B C D$ 的边 $A B$ 上取点 $E$ ，边 $C D$ 上取点 $F ， G$ （点 $G$ 在点 $F$ 右侧），分别连接 $E F ， E G$ ．若将 $∠ B E G$ 对折，点 $B$ 落在直线 $E G$ 上的点 $B^{'}$ 处，得折痕 $E M$ ；再将 $∠ A E F$ 对折，点 $A$ 落在直线 $E F$ 上的点 $A^{'}$ 处，得折痕 $E N$ ．
①若 $∠ A E N = 36 °$ ， $∠ B E M = 49 °$ ，则 $∠ F E G =$ ___________ $°$ ；
②若 $∠ F E G = 20 °$ ，则 $∠ N E M =$ ___________ $°$ ；
③若 $∠ F E G = α (0 ° < α < 180 °)$ ，则 $∠ N E M =$ ___________（用含 $α$ 的式子表示），并写出你的推导过程．
【探究3】
（3）如图4，在长方形纸片 $A B C D$ 的边 $A B$ 上取点 $E$ ，边 $C D$ 上取点 $F ， G$ （点 $G$ 在点 $F$ 右侧），分别连接 $E F ， E G$ ．若将 $∠ B E F$ 对折，点 $B$ 落在直线 $E F$ 上的点 $B^{'}$ 处，得折痕 $E M$ ；再将 $∠ A E G$ 对折，点 $A$ 落在直线 $E G$ 上的点 $A^{'}$ 处，得折痕 $E N$ ．若 $∠ F E G = α$ $(0 ° < α < 180 °)$ ，则 $∠ N E M =$ ___________（用含 $α$ 的式子表示）．

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17、如图，已知线段 $A B = 15$ ，点 $C$ 在线段 $A B$ 的延长线上，且 $B C = \frac{1}{3} A B ， D$ 为线段 $A C$ 的中点．

(1)、求线段 $A D$ 的长；

(2)、点 $E$ 为线段 $D B$ 的中点，求线段 $A E$ 的长．

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18、如图，某学校操场最内侧的跑道由两段直道和两段半圆形弯道组成，其中直道的长为 $l$ ，半圆形弯道的半径为 $r$ ．

(1)、用代数式表示这条跑道的周长；

(2)、当 $l = 84 m$ ， $r = 37 m$ 时，计算这条跑道的周长（ $π$ 取 $3.14$ ，结果取整数）．

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19、如图，平面上有三个点 $A ， B ， C$ ．

(1)、画直线 $A C$ ，画射线 $A B$ ；

(2)、在线段 $A B$ 的延长线上作线段 $B D = A B$ ，再连接 $C D$ （尺规作图，保留作图痕迹）；

(3)、 $A C + C D$ ___________ $A D$ （填“ $>$ ”“ $<$ ”或“ $=$ ”），依据是___________．

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20、“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一，图1即洛书．数出图1中各处的圆圈和圆点个数，并按顺序把它们填入正方形方格中，就得到一个幻方（图2）．在图3的幻方中，每一横行，每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和都相等，则 $m =$ ， $n =$ ．

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软件	平均数	众数	中位数
甲款 $AI$ 软件	97.5	a	98
乙款 $AI$ 软件	97.5	99	b