相关试卷

1、在菱形 $A B C D$ 中， $∠ B = α$ （ $0 ° < α \leq 90 °$ ），点 $O^{'}$ 在对角线 $A C$ 上运动（点 $O^{'}$ 不与点 $A$ 、点 $C$ 重合）， $\frac{O^{'} C}{A C} = k$ ，以点 $O^{'}$ 为顶点作 $∠ A^{'} O^{'} B^{'} = α$ ，在 $∠ A^{'} O^{'} B^{'}$ 绕点 $O^{'}$ 旋转的过程中， $O^{'} A^{'}$ 与边 $B C$ 交于点 $E$ ， $O^{'} B^{'}$ 与边 $C D$ 交于点 $F$ ．

(1)、如图1，当 $α = 90 °$ ， $k = \frac{1}{2}$ 时，则 $C E$ ， $C F$ ， $B C$ 之间满足的数量关系是______；

(2)、如图2，菱形 $A B C D$ 的边长为 $6$ ， $α = 60 °$ ，求 $C E + C F$ 的值（用含 $k$ 的代数式表示）；

(3)、在（2）的条件下，连接 $O^{'} B$ ，若 $O^{'} B = 2 \sqrt{7}$ ， $C E = \frac{5}{3}$ ，求 $C F$ 的长．

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2、

根据以下素材，探索完成任务．

背景

白头叶猴是我国广西特有的国家一级保护动物，大多生活在广西崇左的喀斯特石山地带，善攀援、爱嬉戏，是世界上最稀有的猴类之一．

素材一

为计算广西崇左某地区野生白头叶猴的生物密度，调查团队用红外相机在多个地点进行拍摄，并以此为依据计算和绘制出反映这一地区的白头叶猴活跃程度（次 ${/km}^{2}$ ）和时间（时）的关系图象（如图1），活跃程度指在 $1 {km}^{2}$ 范围内某一时刻猴的出现次数，如 $0 : 00$ 时，平均每 ${km}^{2}$ 猴的出现次数为 $0.01$ 次．

素材二

调查人员拍到了两只白头叶猴攀援石山的有趣场景：在一座高为210米的石山下有两只白头叶猴，猴子 $A$ 先从地面出发，花2分钟爬至这座石山的顶端，并在此停留了0.5分钟休息，之后花了爬山一半的时间爬回地面．在猴子 $A$ 刚到达山顶时，猴子 $B$ 也开始爬石山，并且只花了1.5分钟爬至山顶，过程中与猴子 $A$ 相遇．设两只白头叶猴距离地面的高度为y米，猴子 $A$ 所用的时间为t分钟，若将两只白头叶猴爬石山的过程视为匀速运动，绘制出两只白头叶猴爬山过程的图象（如图2）．

任务一：

（1）根据素材一回答问题：

①在______时，野生白头叶猴的活跃程度最高，在 $6 : 00$ 时，野生白头叶猴的活跃程度为______次 ${/km}^{2}$ ；

②若此地区的面积为 ${250km}^{2}$ ，估计这天 $18 : 00$ 野生白头叶猴出现的次数．

任务二：

（2）根据素材二回答问题：

①请根据表述，补全猴子 $A$ 下山过程的图象；

②请通过计算算出当两只白头叶猴相遇时t的值，并求出此时它们距离地面的高度．

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3、【阅读材料】学习了《二次根式》后，小颖同学发现：
当 $a > 0$ ， $b > 0$ 时：∵ ${(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2} \geq 0$ ， ∴ $a - 2 \sqrt{a b} + b \geq 0$ ， ∴ $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ 当且仅当 $a = b$ 时取等号，即当 $a = b$ 时， $a + b$ 有最小值为 $2 \sqrt{a b}$ ．
【学以致用】根据上面材料回答下列问题：

(1)、若a，b均为正数， $a + b = 8$ ，则 $\sqrt{a b}$ 的最大值为______；

(2)、若 $x > 0$ ，当x为何值时， $x + \frac{1}{x}$ 有最小值，最小值为多少；

(3)、如图，小颖同学要做一个面积为 $1800 {cm}^{2}$ 的菱形风筝（如图所示），请你计算用来做对角线的两根竹条的长度之和至少是多少 $cm$ ？

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4、如图，在 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ ，垂足为D， $A B = 2$ ， $A C = 1.5$ ， $D C = 0.9$ ．

(1)、求 $A D$ ， $B D$ 的长；

(2)、判断 $△ A B C$ 的形状，并说明理由．

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5、数学学习小组准备利用一根弹簧制作一个简易弹簧秤（用于称物体的质量），需在刻度盘上标注刻度．经过试验与测量，得到弹簧的长度 $y$ （ $cm$ ）与所挂物体的质量 $x$ （ $kg$ ）（ $0 \leq x \leq 10$ ）之间的对应关系如下表：
物体的质量x/ $kg$
0
1
2
3
4
弹簧的长度y/ $cm$
8
10
12
14
16
根据上表，解决下列问题．

(1)、在弹性限度内，直接写出y关于x的函数解析式；

(2)、当所挂物体的质量为 $5.5 kg$ 时，弹簧的长度为多少 $cm$ ？

(3)、学习小组观察弹簧挂物体后的长度为 $26 cm$ ，此时弹簧所挂物体质量为多少 $kg$ ？

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6、计算：

(1)、 $\sqrt{18} - (\sqrt{8} - \sqrt{2})$ ；

(2)、 $\sqrt{48} \div \sqrt{3} - {(\sqrt{2})}^{2}$ ．

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7、如图，在正方形 $A B C D$ 的内部，作等边三角形 $B C E$ ，过点E作 $A D$ 的平行线分别交 $A B$ 、 $D C$ 于点M，N，若 $B C = 2$ ，则 $A D$ ， $M N$ 之间的距离为．

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8、如图，某数学兴趣小组要测量池塘两侧A，B两点间的距离，但无法直接测得，所以他们先在地面上取可以直接到达A，B的点C，连接 $A C$ 和 $B C$ ，分别取 $A C$ ， $B C$ 的中点E，F，测得线段 $E F$ 的长为 $10 m$ ，则A，B两点间的距离是 $m$ ．

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9、如图①，在矩形 $A B C D$ 中， $A B : A D = 3 : 5$ ，点P从点A出发以2cm/s的速度沿A $\to$ B $\to$ C $\to$ D的路线匀速移动．随着点P的移动， $△ A P D$ 的面积随时间变化情况如图②所示，则矩形 $A B C D$ 的面积为（）

A、8 B、15 C、30 D、60

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10、如图，将矩形 $A B C D$ 沿直线 $B D$ 折叠，使点C落在点 $C^{'}$ 处， $B C^{'}$ 交 $A D$ 于点E， $A D = 8$ ， $A B = 4$ ，则 $B E$ 的长为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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11、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = 80 °$ ， $∠ D = 110 °$ ，与 $∠ α$ 相邻的外角是 $70 °$ ，则 $∠ β$ 的度数是（　　）

A、 $50 °$ B、 $60 °$ C、 $70 °$ D、 $80 °$

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12、如图，分别以直角三角形的三边为边长，向外作三个正方形，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的边长为（）

A、4 B、6 C、8 D、10

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13、下列式子中，属于最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ B、 $\sqrt{4}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\sqrt{0.1}$

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14、如图，已知四边形 $A B C D$ 是平行四边形， $A C$ 为对角线， $∠ A C B = 40 °$ ，则 $∠ C A D$ 的度数是（）

A、 $20 °$ B、 $40 °$ C、 $50 °$ D、 $140 °$

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15、下列曲线中不能表示y是x的函数的是（）

A、 B、 C、 D、

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16、我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（）

A、3，4，5 B、6，7，8 C、8，9，10 D、4，12，13

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17、下列是二次根式的是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $- 4$

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18、在平面直角坐标系中， $A (0 ， a) ， B (b ， a) ， C (c ， 0) ， a, b, c$ 满足 $|a - 5| + {(3 a - 5 b)}^{2} + \sqrt{a + b - c} = 0 ．$

(1)、请直接写出点 $A, B, C$ 的坐标；

(2)、如图1，点 $D$ 在线段 $B C$ 上，点 $E$ 从点 $D$ 出发沿 $x$ 轴负方向平移，线段 $E F ∥ x$ 轴， $E F = 1$ ．
①当线段 $B E$ 最短时，则 $△ A F O$ 的面积是；
②点 $E$ 在运动过程中，探究 $∠ B E O$ ， $∠ A B E$ ， $∠ E O C$ 之间的关系，画出图形，直接写出结论；

(3)、点 $Q (1, 0)$ ，点 $P (m, n)$ 在线段 $B C$ 上，设四边形 $A O C B$ 面积为 $S_{1}$ ，三角形 $P C Q$ 面积为 $S_{2}$ ．若 $\frac{1}{5} \leq \frac{S_{2}}{S_{1}} \leq \frac{5}{6}$ 成立，请求出 $m$ 的取值范围．

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19、数学活动：

在数学活动课上，陈老师引导同学们探究画平行线的方法，张华通过折纸得出了过点P画直线 $A B$ 的平行线的方法，折纸过程如下．①-②-③-④．

张华在任务1的条件下继续探究．他在 $P 、 Q$ 两点处安装了绚丽的小射灯，灯P射线从 $P D$ 开始绕点 $P$ 顺时针旋转至 $P C$ 后立即回转，灯 $Q$ 射线从 $Q A$ 开始绕点 $Q$ 顺时针旋转至 $Q B$ 后立即回转两灯不停旋转交叉照射，且灯P，灯Q转动的速度分别是 $1 °$ /秒， $3 °$ /秒，若灯P射线转动20秒后，灯 $Q$ 射线开始转动．在灯 $P$ 射线第一次到达 $P C$ 之前，当灯 $Q$ 转动 $t$ 秒时，灯 $P$ 射线 $P N$ 转动到如图的位置．

张华按照上面要求转动灯 $P$ 、灯 $Q$ 过程中，发现当 $t$ 取某个值时，两灯的光束可以互相平行．

问题解决：

(1)、任务1：

通过上述的折纸过程，图②的折痕 $P Q$ 与直线 $A B$ 的位置关系是．如图． $∠ 1 = ∠ 2 =$ ．则 $A B$ 与 $C D$ 的位置关系为．

(2)、任务2：

①用含 $t$ 的式子表示 $∠ D P N =$ ，

②当 $t = 45 s$ 时，两条射线的夹角为．

(3)、任务3：

灯 $P$ 射线第一次到达 $P C$ 之前，求满足条件的 $t$ 的所有值并说明理由．

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20、2026马年央视春晚中，字树科技的机器人（武 $BOT$ ）展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买 $A 、 B$ 两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元．

(1)、求 $A 、 B$ 两种型号智能机器人的单价．

(2)、该企业现计划用960万元采购 $A$ 型和 $B$ 型机器人，两种机器人均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案．

(3)、每台A型机器人每月维护费 $0.5$ 万元，每台B型机器人每月维护费 $0.3$ 万元，在（2）的所有方案中，维护费最低的是哪个方案？最低维护费是多少？

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物体的质量x/ $kg$	0	1	2	3	4
弹簧的长度y/ $cm$	8	10	12	14	16